1-forma differenziale
Buongiorno! Ecco l'esercizio che mi sta facendo penare:
Sia $A={(x,y)inR^2:x>0}$
$w(x,y)= ( (2yx^(alpha))/(1+x^2) + arctan y)*dx + (log(1+x^2) + (x^alpha)/(1+y^2))*dy$
---> Determinare i valori di $alphainR$ tali che w sia esatta
Ora, essendo A un insieme semplicemente connesso, w sarà esatta se e solo se w è chiusa
Pongo per semplicità: $w(x,y) = a_(1)(x,y)*dx + a_(2)(x,y)*dy$
Cerco quindi gli $alpha$ per i quali w è chiusa derivando il primo termine ($a_(1)$) rispetto y ed il secondo ($a_(2)$) rispetto x, ottenendo:
$ \partiala_(1)(x,y)//partialy = (2x^(alpha))/(1+x^2) + 1/(1+y^2)$
$ \partiala_(2)(x,y)//partialx = (2x/(1+x^2)+ (alpha*x^(alpha-1))/(1+y^2))$
Uguagliando ottengo: $(2x^(alpha)-2x)/(1+x^2) = (alpha*x^(alpha-1)-1)/(1+y^2)$
Qua il professore dice che per $alpha=1$ l'uguaglianza è verificata, mentre per $alpha!=1$ bisogna separare le variabili, portando le x da una parte e le y dall'altra; conclude dicendo che entrambi i membri devono essere costanti, e ciò non è vero.
Ecco, io fino a trovare le derivate parziali ci arrivo, ma poi... Help please!
Sia $A={(x,y)inR^2:x>0}$
$w(x,y)= ( (2yx^(alpha))/(1+x^2) + arctan y)*dx + (log(1+x^2) + (x^alpha)/(1+y^2))*dy$
---> Determinare i valori di $alphainR$ tali che w sia esatta
Ora, essendo A un insieme semplicemente connesso, w sarà esatta se e solo se w è chiusa
Pongo per semplicità: $w(x,y) = a_(1)(x,y)*dx + a_(2)(x,y)*dy$
Cerco quindi gli $alpha$ per i quali w è chiusa derivando il primo termine ($a_(1)$) rispetto y ed il secondo ($a_(2)$) rispetto x, ottenendo:
$ \partiala_(1)(x,y)//partialy = (2x^(alpha))/(1+x^2) + 1/(1+y^2)$
$ \partiala_(2)(x,y)//partialx = (2x/(1+x^2)+ (alpha*x^(alpha-1))/(1+y^2))$
Uguagliando ottengo: $(2x^(alpha)-2x)/(1+x^2) = (alpha*x^(alpha-1)-1)/(1+y^2)$
Qua il professore dice che per $alpha=1$ l'uguaglianza è verificata, mentre per $alpha!=1$ bisogna separare le variabili, portando le x da una parte e le y dall'altra; conclude dicendo che entrambi i membri devono essere costanti, e ciò non è vero.
Ecco, io fino a trovare le derivate parziali ci arrivo, ma poi... Help please!
Risposte
Se una quantità che dipende solo da \(x\) è uguale ad una che dipende solo da \(y\), entrambe devono essere costanti: infatti se \(f(x) = g(y)\) allora, derivando rispetto ad \(x\) ambo i membri, ottieni che \(\frac{df}{dx} = 0\) e quindi \(f\) è costante, e similmente per \(g\).
Pheegata 
Grazie mille, gentilissimo! 
Grazie mille, gentilissimo!
Ma per la cosa di $alpha=1$ ci è solo voluto occhio? O c'è un procedimento analitico?
Se $\alpha =1$ ottieni $0=0$, si vede ad occhio.
Solo per volere aggiungere una cosa che, a mio parere, semplifica un po' la vita. Uguagliando le due derivate parziali, si ottiene che entrambe sono formate da due frazioni che hanno denominatori, rispettivamente, uguali, per cui si può concludere che i numeratori devono esserlo. Pertanto si hanno le condizioni $2x^\alpha=2x,\ \alpha x^{\alpha-1}=1$ che portano a concludere $\alpha=1$.
Fantastici come sempre
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