$y^2=x^3-2$

[Lord K]

Prima faccio vedere la curva:

[asvg]xmin=-1; xmax=10;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("sqrt(x^3-2)");
plot("-sqrt(x^3-2)");[/asvg]

E poi richiedo quali e quanti sono i punti interi della curva.

Hint: usando alcuni metodi di teoria degli anelli si arriva semplicemente alla soluzione, ma il punto è che mi interesserebbe l'analisi che utilizzi la teoria delle curve ellittiche!

[aleph_91]

Purtroppo non ho una tale soluzione, ma scrivo per sapere qual è quella che usa la teoria degli anelli... per ora ho trovato solo $(3,+-5)$, ma non ho idea su come mostrare che nn ce ne sono altre.

[Lord K]

Il metodo da seguire è quello di considerare:

$x^3=y^2+2$

Osserva che necessariamente $y\equiv 1(2)$ e dal fatto che $ZZ[sqrt(-2)]$ è un dominio a fattorizzazione unica:

$x+sqrt(-2) = (a+b*sqrt(-2))^3$

da cui:

${(a^3-6ab^2=x),(3a^2b-2b^3=1):}$

da cui $b=1$, $a=+-1$, $x=+-5$, allora l'equazione $y^2=(+-5)^2+2$ è risolta solo da $y=3$.

La soluzione al problema è $(+-5,3)$.