Verifica se relazione è una funzione
Buongiorno a tutti,
in preparazione ad un esame universitario mi trovo di fronte a questo quesito:
$T={(a,b) in QQ-{0} X QQ-{0} : a/b^2 in {-1}}$
la seguente è una funzione?
Secondo me è una funzione. Ad es: $(-4,2) in T$ ma la stessa coppia non potrà mai portarmi a due risultati diversi. O sbaglio?
Grazie mille. Seguiranno altre domande....
in preparazione ad un esame universitario mi trovo di fronte a questo quesito:
$T={(a,b) in QQ-{0} X QQ-{0} : a/b^2 in {-1}}$
la seguente è una funzione?
Secondo me è una funzione. Ad es: $(-4,2) in T$ ma la stessa coppia non potrà mai portarmi a due risultati diversi. O sbaglio?
Grazie mille. Seguiranno altre domande....
Risposte
A me sembra che anche $(-4,-2) in T$
Mi correggo, non è una funzione.
$T={(-4,2),(-4,-2),(-9,3),(-9,-3)}$
quindi un punto del dominio porta a due punti diversi del codominio....corretto?
$T={(-4,2),(-4,-2),(-9,3),(-9,-3)}$
quindi un punto del dominio porta a due punti diversi del codominio....corretto?
Esatto, non è una funzione perchè $(-4,2) in T$ e $(-4,-2) in T$.
Cioè, c'è un elemento del primo insieme (cioè $-4$) che è in relazione con due elementi distinti del secondo insieme.
PS: $T$ non ha solo gli elementi che hai scritto. Ce ne sono infiniti.
Cioè, c'è un elemento del primo insieme (cioè $-4$) che è in relazione con due elementi distinti del secondo insieme.
PS: $T$ non ha solo gli elementi che hai scritto. Ce ne sono infiniti.
Vedi sopra....
Chiaramente ho preso quattro coppie come esempio...
Chiaramente ho preso quattro coppie come esempio...
Delle seguenti invece chiedo solo conferme:
$U={(a,b) in ZZ X NN : a = -b^2 }$ è una funzione
$V={(a,b) in NN X NN : a = b^2 }$ è una funzione
$W={(a,b) in QQ-{0} X QQ-{0} : a^2/b in {-1}}$ è una funzione
$Z={(q,(a,b)) in QQ X (ZZ X ZZ-{0})): a/b=q}$ non è funzione perchè $Z={(3,{9,3}),(3,{6,2})}$
corretto?
$U={(a,b) in ZZ X NN : a = -b^2 }$ è una funzione
$V={(a,b) in NN X NN : a = b^2 }$ è una funzione
$W={(a,b) in QQ-{0} X QQ-{0} : a^2/b in {-1}}$ è una funzione
$Z={(q,(a,b)) in QQ X (ZZ X ZZ-{0})): a/b=q}$ non è funzione perchè $Z={(3,{9,3}),(3,{6,2})}$
corretto?
Le prime due non sono funzioni (basta che scrivi la definizione di funzione e te ne accorgi)
Le ultime due sono corrette
Le ultime due sono corrette
potresti essere più chiaro perpiacere?
Certo: scrivi la definizione di funzione
Dati due insiemi $A$ e $B$ si chiama funzione da $A rarr B$ una relazione $f$ tale che per ogni $x in A$ esiste uno e un solo $y in B $ tale che $(x,y) in f$.
Credo sia corretta no?
Credo sia corretta no?
Per quanto riguarda la $U$ ho notato che se $a=-4$ ho $-4=-b^2$ quindi $b= +-2$ e di conseguenza ho due coppie $(-4,2) e (-4,2)$ quindi non è giustamente una funzione...
Per la $V$ invece se prendo $a=2$ non trovo alcun $b$ in relazione con $a$.
Per la $V$ invece se prendo $a=2$ non trovo alcun $b$ in relazione con $a$.
"Pozzetto":Attenzione: se guardi come è definito $U$, vedi che $b in NN$, dunque non puoi prendere $b= -2$.
Per quanto riguarda la $U$ ho notato che se $a=-4$ ho $-4=-b^2$ quindi $b= +-2$ e di conseguenza ho due coppie $(-4,2) e (-4,2)$ quindi non è giustamente una funzione...
"Pozzetto":Bravo, ecco il motivo per cui $U$ e $V$ non sono funzioni.
Per la $V$ invece se prendo $a=2$ non trovo alcun $b$ in relazione con $a$.
Infatti non esiste alcun $b in NN$ tale che $(2,b) in U$ (perchè dovrebbe essere $2= -b^2$, cioè $b^2= -2$),
e non esiste nemmeno alcun $b in NN$ tale che $(2,b) in V$ (perchè dovrebbe essere $b^2=2$).
Ecco, nè $U$ nè $V$ sono funzioni.
Devo complimentarmi (sinceramente) con te: cerchi sempre di fare lo sforzo per arrivare a capire.
Grazie, ma devo cercare di capire altrimenti poi quando mi trovo davanti l'esame non combino un bel nulla....
Rimanendo in topic pongo un altro quesito, questa volta riguardante alcuni esercizi su dimostrazioni di iniettività e suriettività di funzioni.
Ho $f: ZZ x ZZ rarr ZZ x ZZ$ definita da $f(n,m)=(n-m,n+m)$.
Lasciando perdere esempi numerici che mi sono chiari, devo dimostrare formalmente il tutto.
HP)$f(n,m)=f(n',m')$
TESI)$(n,m)=(n',m')$
DIM:
$(n-m,n+m)=(n'-m',n'+m')$
$\{(n-m=n'-m'),(n+m=n'+m'):}$
a lezione abbiamo parlato della somma per colonne ma non ho ben capito come si effettua e quando si può effettuare.
Rimanendo in topic pongo un altro quesito, questa volta riguardante alcuni esercizi su dimostrazioni di iniettività e suriettività di funzioni.
Ho $f: ZZ x ZZ rarr ZZ x ZZ$ definita da $f(n,m)=(n-m,n+m)$.
Lasciando perdere esempi numerici che mi sono chiari, devo dimostrare formalmente il tutto.
HP)$f(n,m)=f(n',m')$
TESI)$(n,m)=(n',m')$
DIM:
$(n-m,n+m)=(n'-m',n'+m')$
$\{(n-m=n'-m'),(n+m=n'+m'):}$
a lezione abbiamo parlato della somma per colonne ma non ho ben capito come si effettua e quando si può effettuare.
Sommando membro a membro queste due equazioni ottieni $2n=2n'$ da cui $n=n'$
Poi, sostituendo nella seconda equazione si ha $n+m=n+m'$ da cui $m=m'$
PS: per ottenere $ZZ times ZZ$ devi scrivere: ZZ times ZZ
Poi, sostituendo nella seconda equazione si ha $n+m=n+m'$ da cui $m=m'$
PS: per ottenere $ZZ times ZZ$ devi scrivere: ZZ times ZZ
Si può sempre effettuare una operazione di questo tipo quando si è davanti ad un sistema?
Certo: in generale, se $a=b$ e $c=d$, vale $a+c=b+d$
Gentilissimo e chiarissimo...Purtroppo per motivi lavorativi ho dovuto saltare alcune lezioni e molte cose non mi sono chiare...
Per quanto riguarda la suriettività so che tutti i punti del codominio devono essere "raggiunti" da almeno un punto del dominio. Ora, sarebbe facile dimostrare se ciò è vero o no tramite esempi numerici, ma è possibile fare questo anche formalmente?
Certo. Abbiamo la funzione: $f: (ZZ times ZZ) \to (ZZ times ZZ)$ definita da $f(n,m)=(n-m,n+m)$
Per dimostrare la suriettività dobbiamo dimostrare che per ogni $(a,b) in ZZ times ZZ$ esiste $(n,m) in ZZ times ZZ$ tale che $f(n,m)=(a,b)$.
Equivalentemente, $(n-m,n+m)=(a,b)<=> {(n-m=a),(n+m=b):}<=> ...$
Per dimostrare la suriettività dobbiamo dimostrare che per ogni $(a,b) in ZZ times ZZ$ esiste $(n,m) in ZZ times ZZ$ tale che $f(n,m)=(a,b)$.
Equivalentemente, $(n-m,n+m)=(a,b)<=> {(n-m=a),(n+m=b):}<=> ...$
$\{(n=m+a),(n=-m+b):}$ quindi $m+a=-m+b$ e $2m=-a+b$ ma qui purtroppo mi blocco....
$2m= -a+b=> m=1/2(-a+b)$.
Dunque $n=1/2(-a+b)+a=> n=1/2(a+b)$. Quindi ${(n= (a+b)/2),(m=(b-a)/2):}$
Questo cosa ci porta a concludere?
Dunque $n=1/2(-a+b)+a=> n=1/2(a+b)$. Quindi ${(n= (a+b)/2),(m=(b-a)/2):}$
Questo cosa ci porta a concludere?
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