Veniamo all'induzione
RiCiao a tutti gli amici del forum,
riguardo l'induzione, devo dimostrare che $AA>=2$ vale $(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/n)=1/n$
Il caso base per $n=2$ funziona.
Ora per il passo induttivo supponiamo che sia vera $P(n)$ ovver che $(1-1/n)=1/n$, voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $(1-1/(n+1))=1/(n+1)$.
Idee?
riguardo l'induzione, devo dimostrare che $AA>=2$ vale $(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/n)=1/n$
Il caso base per $n=2$ funziona.
Ora per il passo induttivo supponiamo che sia vera $P(n)$ ovver che $(1-1/n)=1/n$, voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $(1-1/(n+1))=1/(n+1)$.
Idee?
Risposte
Un'altra sempre con la disuguaglianza:
Devo dimostrare per induzione che $AA n >=1$ vale $1/1+1/2^2+...+1/n^2<=2-1/n$
Caso base:banale
Passo induttivo:
Assumiamo che sia vero $P(n)$ ovvero che $1/1+1/2^2+...+1/n^2<=2-1/n$, voglio dimostrare che è vero anche $P(n+1)$ ovvero che $1/1+1/2^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2<=2-1/(n+1)$
Ma:
$1/1+1/2^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2<=2-1/(n+1)+1/(n+1)^2=(2n^2+3n+2)/(n+1)^2$.
Riassumendo ho:
$1/1+1/2^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2<=(2n^2+3n+2)/(n+1)^2$
Ora non so come continuare....
Devo dimostrare per induzione che $AA n >=1$ vale $1/1+1/2^2+...+1/n^2<=2-1/n$
Caso base:banale
Passo induttivo:
Assumiamo che sia vero $P(n)$ ovvero che $1/1+1/2^2+...+1/n^2<=2-1/n$, voglio dimostrare che è vero anche $P(n+1)$ ovvero che $1/1+1/2^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2<=2-1/(n+1)$
Ma:
$1/1+1/2^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2<=2-1/(n+1)+1/(n+1)^2=(2n^2+3n+2)/(n+1)^2$.
Riassumendo ho:
$1/1+1/2^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2<=(2n^2+3n+2)/(n+1)^2$
Ora non so come continuare....
Dopo che hai scritto "Ma:" c'è un errore:
la scrittura corretta è $1/1+1/2^2+... +1/n^2 +1/(n+1)^2 <= 2-1/n+1/(n+1)^2$
Ora bisogna dimostrare che $-1/n+1/(n+1)^2 <= -1/(n+1)$.
la scrittura corretta è $1/1+1/2^2+... +1/n^2 +1/(n+1)^2 <= 2-1/n+1/(n+1)^2$
Ora bisogna dimostrare che $-1/n+1/(n+1)^2 <= -1/(n+1)$.
Mi conviene svolgere il membro di sinistra?
"Gi8":
Ora bisogna dimostrare che $-1/n+1/(n+1)^2 <= -1/(n+1)$.
Ok.
Consiglio di lavorare su $2-1/n+1/(n+1)^2$ per dimostrare che è $<=2-1/(n+1)$. Prova a fare i calcoli su quelle frazioni algebriche.
@Pozzetto : Sì che è vera. Per dimostrarlo, porta tutto da una parte e fai denominatore comune
@Gi8...hai ragione, avevo sbagliato un segno...
Il problema è che quando ho uguaglianze con induzione riesco a ragionare, quando invece ho il segno $<=$ oppure $>=$ vado in confusione e non riesco a scrivere le cose correttamente...
Svolgendo i calcoli su $(-1/n)+1/(n+1)^2<=-1/(n+1)$
Ottengo:
$(-n(n+1)-1)/(n(n+1)^2)<=-1/(n+1)$
Ovvero:
$-1/(n+1)-1/(n(n+1)^2)<=-1/(n+1)$
Corretto?Concluso?
Ottengo:
$(-n(n+1)-1)/(n(n+1)^2)<=-1/(n+1)$
Ovvero:
$-1/(n+1)-1/(n(n+1)^2)<=-1/(n+1)$
Corretto?Concluso?
C'è un errore quando fai denominatore comune a primo membro: il numeratore viene $-(n+1)^2 +n$
Comunque avevo suggerito di portare tutto da una parte e poi fare denominatore comune:
$-1/n +1/[(n+1)^2]<= -1/(n+1) <=> -1/n +1/[(n+1)^2]+1/(n+1)<=0 <=> (-(n+1)^2+n+n(n+1))/(n*(n+1)^2)<=0 <=> $
$<=>(-1)/(n*(n+1)^2)<=0 <=> 1/(n*(n+1)^2)>=0$
Quest'ultima disuguaglianza è vera per ogni $n$ naturale.
edit: in realtà quello che hai scritto è corretto
Comunque avevo suggerito di portare tutto da una parte e poi fare denominatore comune:
$-1/n +1/[(n+1)^2]<= -1/(n+1) <=> -1/n +1/[(n+1)^2]+1/(n+1)<=0 <=> (-(n+1)^2+n+n(n+1))/(n*(n+1)^2)<=0 <=> $
$<=>(-1)/(n*(n+1)^2)<=0 <=> 1/(n*(n+1)^2)>=0$
Quest'ultima disuguaglianza è vera per ogni $n$ naturale.
edit: in realtà quello che hai scritto è corretto
Semplificando la mia, otteniamo lo stesso risultato @Gi8....no?
Sì, giusto, pardon. (è che hai fatto due passaggi in uno, e questo mi ha fregato 
)
Bene, ora hai finito
)Bene, ora hai finito
Molte grazie a tutti e due...
Ultima dimostrazione:
Devo dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale che $5^(2n-1)+1$ è divisibile per $6$.
Caso base:
$P(1): 5^1+1=6$ divide $6$
Passo induttivo:
Ammettiamo che sia vera $P(n)$ ovvero che $5^(2n-1)+1$ è divisibile per $6$, vogliamo dimostrare che anche $P(n+1)$ ovvero che anche $P(n+1)$ ovvero $5^(2(n+1)-1)+1$ è divisibile per $6$.
Come iniziare?
Grazie nuovamente.
Devo dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale che $5^(2n-1)+1$ è divisibile per $6$.
Caso base:
$P(1): 5^1+1=6$ divide $6$
Passo induttivo:
Ammettiamo che sia vera $P(n)$ ovvero che $5^(2n-1)+1$ è divisibile per $6$, vogliamo dimostrare che anche $P(n+1)$ ovvero che anche $P(n+1)$ ovvero $5^(2(n+1)-1)+1$ è divisibile per $6$.
Come iniziare?
Grazie nuovamente.
L'unica cosa che mi viene in mente è quella di separare
$5^(2n+2-1)+1$ in $5^(2n-1)* 5^2+1$
ma non so se sia la strada corretta perchè non riesco a proseguire oltre...
$5^(2n+2-1)+1$ in $5^(2n-1)* 5^2+1$
ma non so se sia la strada corretta perchè non riesco a proseguire oltre...
Forse sono riuscito, propongo la soluzione:
Voglio verificare che $5^(2(n+1)-1)+1=5^(2n+1)+1$ sia divisibile per $6$.
Ma $5^(2n-1)*5^2=5^(2n+1)+1$
$5^(2n+1)+1$ possiamo scriverlo come $25*5^(2n-1)+25-24=25*(5^(2n-1)+1)-24$.
Ora per hp induttiva $5^(2n-1)+1)$ è divisibile per $6$ ma allora anche $25*5^(2n-1)+1)$ è divisibile per $6$.
Anche $-24$ è divisibile per $6$ e quindi la differenza di due numeri divisibili per $6$ è divisibile per $6$.
Corretto?
Voglio verificare che $5^(2(n+1)-1)+1=5^(2n+1)+1$ sia divisibile per $6$.
Ma $5^(2n-1)*5^2=5^(2n+1)+1$
$5^(2n+1)+1$ possiamo scriverlo come $25*5^(2n-1)+25-24=25*(5^(2n-1)+1)-24$.
Ora per hp induttiva $5^(2n-1)+1)$ è divisibile per $6$ ma allora anche $25*5^(2n-1)+1)$ è divisibile per $6$.
Anche $-24$ è divisibile per $6$ e quindi la differenza di due numeri divisibili per $6$ è divisibile per $6$.
Corretto?
E se invece deveo dimostrare che $AAn>=1$ vale $2^n<=5^n-3^n$ ?
Ho provato così:
Assumiamo vera $P(n)$, dimostriamo che è vera anche $P(n+1)$ ovvero che $2^(n+1)<=5^(n+1)-3^(n+1)$
Ma,
$5^(n+1)-3^(n+1)=5*5^n-3*3^n=(5^n-3^n)+(5^n-3^n)+(5^n-3^n)+5^n+5^n>=2^n+2^n+2^n+5^n+5^n=3*2^n+2*5^n$
Ho quindi che $2^n*2<=2^n*3+2*5^n$,
un pò contorta ma funziona?
Ho provato così:
Assumiamo vera $P(n)$, dimostriamo che è vera anche $P(n+1)$ ovvero che $2^(n+1)<=5^(n+1)-3^(n+1)$
Ma,
$5^(n+1)-3^(n+1)=5*5^n-3*3^n=(5^n-3^n)+(5^n-3^n)+(5^n-3^n)+5^n+5^n>=2^n+2^n+2^n+5^n+5^n=3*2^n+2*5^n$
Ho quindi che $2^n*2<=2^n*3+2*5^n$,
un pò contorta ma funziona?
Ti do un input:
$2^(n+1)<=2*(5^n-3^n)<=3*(5^n-3^n)$. Adesso hai la strada spianata.
$2^(n+1)<=2*(5^n-3^n)<=3*(5^n-3^n)$. Adesso hai la strada spianata.
@anonymous_c5d2a1, la soluzione da me proposta non va bene?
L'obiettivo è quello di dimostrare che $2^(n+1)<=5^(n+1)-3^(n+1)$.
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