Veniamo all'induzione
RiCiao a tutti gli amici del forum,
riguardo l'induzione, devo dimostrare che $AA>=2$ vale $(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/n)=1/n$
Il caso base per $n=2$ funziona.
Ora per il passo induttivo supponiamo che sia vera $P(n)$ ovver che $(1-1/n)=1/n$, voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $(1-1/(n+1))=1/(n+1)$.
Idee?
riguardo l'induzione, devo dimostrare che $AA>=2$ vale $(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/n)=1/n$
Il caso base per $n=2$ funziona.
Ora per il passo induttivo supponiamo che sia vera $P(n)$ ovver che $(1-1/n)=1/n$, voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $(1-1/(n+1))=1/(n+1)$.
Idee?
Risposte
Comunque $1-1/(n+1)=n/(n+1)$. Quindi?
@anonymous_c5d2a1, il tuo suggerimento dovrebbe aiutarmi a risolvere la dimsotrazione?
Prova tu.
Sinceramente ci ho già provato ma non riesco a dimostrare quanto sopra..
Sfrutta l'induzione, cioè che $AAn>=2$ $(1-1/2)*(1-1/3)*...*(1-1/n)=1/n$
Ci sono riuscito.
Allora:
$P(n)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/n)$
$P(n+1)=P(n)(1-1/(n+1))$
$P(n+1)=(1/n)(n/(n+1))=1/(n+1)$
corretto?
Allora:
$P(n)=(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/n)$
$P(n+1)=P(n)(1-1/(n+1))$
$P(n+1)=(1/n)(n/(n+1))=1/(n+1)$
corretto?
Certo. Hai visto che da solo sei riuscito?
Già....grazie comunque per avermi "sostenuto"....
Se invece ho una disuguaglianza del tipo:
Dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$.
CASO BASE: $P(1): 1>=1$ VERO
PASSO INDUTTIVO:
Assumo che sia vera $P(n)$ ovvero che $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$ e voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$
Ma: $P(n+1)$ è $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$
Per ipotesi induttiva ho che $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$
Come faccio a dire che qualcosa che è $>=sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$ ?
Grazie...
Dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$.
CASO BASE: $P(1): 1>=1$ VERO
PASSO INDUTTIVO:
Assumo che sia vera $P(n)$ ovvero che $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$ e voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$
Ma: $P(n+1)$ è $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$
Per ipotesi induttiva ho che $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$
Come faccio a dire che qualcosa che è $>=sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$ ?
Grazie...
"Pozzetto":
Se invece ho una disuguaglianza del tipo:
Dimostrare per induzione che $AA n>=1$ vale $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$.
CASO BASE: $P(1): 1>=1$ VERO
PASSO INDUTTIVO:
Assumo che sia vera $P(n)$ ovvero che $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$ e voglio dimostrare che è vera anche $P(n+1)$ ovvero $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$
Ma: $P(n+1)$ è $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$
Per ipotesi induttiva ho che $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)>=sqrt(n)$
Come faccio a dire che qualcosa che è $>=sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$ ?
Grazie...
Il primo passo è questo: $1/sqrt(1)+1/sqrt(2)+...+1/sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrtn+1/sqrt(n+1)$ (sfruttiamo il passo induttivo). Poi dovresti lavorare su questo $sqrtn+1/sqrt(n+1)$ per arrivare alla soluzione.
Praticamente mi devo chiedere se $sqrt(n)+1/sqrt(n+1)>=sqrt(n+1)$, corretto?
Facendo le opportune manipolazioni e minorando.
Eh, è proprio quello il mio problema....
[ot]Quella roba lì si dimostra anche senza induzione.
Infatti:
\[
\begin{split}
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}}_{n \text{ addendi } \geq 1/\sqrt{n}} &\geq \underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}}_{n \text{ addendi } = 1/\sqrt{n}} \\
&= \frac{n}{\sqrt{n}}\\
&= \sqrt{n}
\end{split}
\]
[/ot]
Infatti:
\[
\begin{split}
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}}_{n \text{ addendi } \geq 1/\sqrt{n}} &\geq \underbrace{\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}}_{n \text{ addendi } = 1/\sqrt{n}} \\
&= \frac{n}{\sqrt{n}}\\
&= \sqrt{n}
\end{split}
\]
[/ot]
Si ok...
Ma la dimostrazione deve essere fatta tramite induzione...
Ma la dimostrazione deve essere fatta tramite induzione...
Propongo questa:
$1/sqrt1+1/sqrt2+...+1/sqrtn+1/sqrt(n+1)>=sqrtn+1/sqrt(n+1)=(sqrt(n^2+n)+1)/sqrt(n+1)>=(n+1)/sqrt(n+1)=sqrt(n+1)$. Prova così.
$1/sqrt1+1/sqrt2+...+1/sqrtn+1/sqrt(n+1)>=sqrtn+1/sqrt(n+1)=(sqrt(n^2+n)+1)/sqrt(n+1)>=(n+1)/sqrt(n+1)=sqrt(n+1)$. Prova così.
"anonymous_c5d2a1":
Propongo questa:
$=(sqrt(n^2+n)+1)/sqrt(n+1)>=(n+1)/sqrt(n+1)=sqrt(n+1)$
Non ho capito questi ultimi passaggi purtroppo...
In base a cosa $sqrt(n^2+n)+1>=n+1$ ?
"Pozzetto":Dato che per ogni $n>=0$ si ha $n^2+n>=n^2$, facendo la radice quadrata otteniamo $sqrt(n^2+n)>=n$.
In base a cosa $sqrt(n^2+n)+1>=n+1$ ?
Aggiungendo $1$ ad entrambi i membri si ha $sqrt(n^2+n)+1>=n+1$
Grazie a tutti, ora mi è chiaro...
Si scusa @Pozzetto se non ti ho risposto. Era proprio il ragionamento fatto da Gi8 quello che avrei dovuto scrivere. Sono stato impegnato. Basta che sia tutto chiaro.
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