Unione disgiunta tra insiemi
Salve,
mi sto trovando in un piccolo vicolo cieco per la formulazione di una stuttura algebrica adeguata (collegato a questo).
Avrei un dubbio, forse banale, ma che è abbastanza importante per finire.
Devo applicare una disjoint sum (o Disjoint Union che sia...) tra due insiemi.
Considerando la definizione di wiki per capirci. Sia $B$ il mio macroinsieme:
\(B = \bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}\) con $i$ indice dell'insieme.
Io dovrei creare un insieme $B'$ formato dall'unione disgiunta di poweset.
\(B' = \bigsqcup_{i\in I} \wp(A_i) = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in \wp(A_i)\}\) con $i$ indice dell'insieme e $x$ insieme.
Per voi ci sono problemi formali se si fa ciò? Io direi di no.
Dato che devo unire dei powerset ma non devo perdere l'informazione da dove deriva l'elemento, questa mi sembra la strada più facile (aggiungo che su $B'$ definisco una relazione d'ordine per far in modo che il minimo di ciascun powerset, l'insieme vuoto, sia un'entità diversa per ogni insieme). Che ne dite, è possibile o devo utilizzare altri accrocchi?
Ringrazio anticipatamente
mi sto trovando in un piccolo vicolo cieco per la formulazione di una stuttura algebrica adeguata (collegato a questo).
Avrei un dubbio, forse banale, ma che è abbastanza importante per finire.
Devo applicare una disjoint sum (o Disjoint Union che sia...) tra due insiemi.
Considerando la definizione di wiki per capirci. Sia $B$ il mio macroinsieme:
\(B = \bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}\) con $i$ indice dell'insieme.
Io dovrei creare un insieme $B'$ formato dall'unione disgiunta di poweset.
\(B' = \bigsqcup_{i\in I} \wp(A_i) = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in \wp(A_i)\}\) con $i$ indice dell'insieme e $x$ insieme.
Per voi ci sono problemi formali se si fa ciò? Io direi di no.
Dato che devo unire dei powerset ma non devo perdere l'informazione da dove deriva l'elemento, questa mi sembra la strada più facile (aggiungo che su $B'$ definisco una relazione d'ordine per far in modo che il minimo di ciascun powerset, l'insieme vuoto, sia un'entità diversa per ogni insieme). Che ne dite, è possibile o devo utilizzare altri accrocchi?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Va bene, per me.
Ricorda molto da vicino la costruzione di un fibrato tangente, tra l'altro! XD
Ricorda molto da vicino la costruzione di un fibrato tangente, tra l'altro! XD
"maurer":
Va bene, per me.
uuh grandioso, così mi evito altre "seghe mentali" per sta roba
Ricorda molto da vicino la costruzione di un fibrato tangente, tra l'altro! XD
interessante, mi fa piacere vedere altre costuzioni.
Ma una cosa, che mi fa dubitare; la proiezione io avrei pensato di definirla come una funzione iniettiva (l'ho definita tale), ma noto che nella costruzione del fibrato tangente non è così (almeno non è scritto), è un particolare di esso o son io che ho sbagliato?
per il momento ti ringrazio
Che proiezione?
Seguendo l'analogia con il fibrato tangente qui definiresti la proiezione [tex]\sqcup_{i \in I} \mathfrak p(A_i) \to I[/tex], [tex](x,i) \mapsto i[/tex] e questa, benché suriettiva, non può decisamente essere iniettiva.
La tua proiezione come sarebbe definita?
Seguendo l'analogia con il fibrato tangente qui definiresti la proiezione [tex]\sqcup_{i \in I} \mathfrak p(A_i) \to I[/tex], [tex](x,i) \mapsto i[/tex] e questa, benché suriettiva, non può decisamente essere iniettiva.
La tua proiezione come sarebbe definita?
"maurer":
Che proiezione?
Seguendo l'analogia con il fibrato tangente qui definiresti la proiezione [tex]\sqcup_{i \in I} \mathfrak p(A_i) \to I[/tex], [tex](x,i) \mapsto i[/tex] e questa, benché suriettiva, non può decisamente essere iniettiva.
La tua proiezione come sarebbe definita?
ah certo certo, non può esser iniettiva
ho semplicemente confuso le applicazioni che avevo definito, mi ha ingannato l'esempio del fibrato tangente.
Nel mio caso ho tre funzioni, che semplifico nella notazione:
- funzione costruttore (iniettiva) \(\text{in}_i: A_i \rightarrow \sqcup A_i\) tk \(\text{in}_i(a) = (j,x)\ |\ i=j\)
- funzione selettore, definito simile al tuo, che è suriettiva
- funzione applicazione $f_i: A_i -> E$ è una funzione semantica...
comunque devo ringraziarti maurer anche questa volta
mi hai dato uno spunto davvero importante su cui riflettere (anche se implicitamente), non so oggi mi sembrava tutto chiaro e limpido, fenomenale!
Sì. Sei consapevole, vero?, che qui ci scappa la proprietà universale dei coprodotti?
"maurer":
Sì. Sei consapevole, vero?, che qui ci scappa la proprietà universale dei coprodotti?
Esatto!!
Non ho approfondito la faccenda ulteriormente (perchè non era tema della tesi) ma quello che ho definito è proprio una categoria dotata di coprodotti (tramite quest'ultima definzione), prodotti e spazi di funzione perciò cartesiana chiusa (ricordi il discorso di questo post)
Devo dire che, questo argomento di semantica, mi ha aperto un mondo su tantissime piccole parti di matematiche che mai avrei incontrato: teoria delle categorie, universal algebra, topologia, .... meraviglioso
"hamming_burst":
[quote="maurer"]Sì. Sei consapevole, vero?, che qui ci scappa la proprietà universale dei coprodotti?
Esatto!!
Non ho approfondito la faccenda ulteriormente (perchè non era tema della tesi) ma quello che ho definito è proprio una categoria dotata di coprodotti (tramite quest'ultima definzione), prodotti e spazi di funzione perciò cartesiana chiusa (ricordi il discorso di questo post)
[/quote]Sì, ricordo. Ma... addirittura cartesiana chiusa? Posso chiedere se sai chi sono gli oggetti gruppo interni? Mi sembra interessante come argomento! XD
"hamming_burst":
Devo dire che, questo argomento di semantica, mi ha aperto un mondo su tantissime piccole parti di matematiche che mai avrei incontrato: teoria delle categorie, universal algebra, topologia, .... meraviglioso
Come dice giustamente killing_buddha, le aree più fertili sono quelle al confine tra più discipline!
"maurer":
Posso chiedere se sai chi sono gli oggetti gruppo interni?
mmm non mi dice nulla. Ma non mi stupisce, conosco solo alla superficie, definizioni al di fuori di ciò che è legato a questo argomento
La definizione di gruppo interno è semplice. Te la dico perché così divento io quello che fa la domanda e tu quello che mi devi rispondere!
Allora, sia [tex](\mathbf C, \times, 1)[/tex] una categoria cartesiana (non serve che sia chiusa per adesso). Un oggetto gruppo interno è una 4-pla [tex](G,\mu,\eta,i)[/tex] dove [tex]G \in \mathbf C[/tex] è un oggetto e [tex]\mu \colon G \times G \to G[/tex], [tex]\eta \colon 1 \to G[/tex], [tex]i \colon G \to G[/tex] sono frecce in [tex]\mathbf C[/tex] (moralmente la moltiplicazione, l'elemento neutro e l'inverso) tali che i seguenti diagrammi siano commutativi:
[tex]\xymatrix{ (C \times C) \times C \ar[r] \ar[d]^{\mu \times \text{id}} & C \times (C \times C) \ar[r]^-{\text{id} \times \mu} & C \times C \ar[d]^\mu \\ C \times C \ar[rr]^\mu & & C }[/tex]
[tex]\xymatrix { 1 \times C \ar[dr] \ar[r]^{\eta \times \text{id}} & C \times C \ar[d]^\mu & C \times 1 \ar[dl] \ar[l]_{\text{id} \times \eta} \\ & C }[/tex]
e
[tex]\xymatrix{ C \ar[d] \ar[r]^-{\Delta} & C \times C \ar[r]^{\text{id} \times i} & C \times C \ar[d]^\mu \\ 1 \ar[rr]^\eta & & C }[/tex]
dove [tex]\Delta[/tex] è la mappa diagonale canonica.
Ad esempio: in [tex](\mathbf{Set},\times,\{*\})[/tex] gli oggetti gruppo interni sono esattamente i gruppi. In [tex](\mathbf{Top},\times, \{*\})[/tex] gli oggetti gruppo interni sono esattamente i gruppi topologici.
La mia domanda è: nel tuo contesto si riescono a caratterizzare i gruppi interni?
Allora, sia [tex](\mathbf C, \times, 1)[/tex] una categoria cartesiana (non serve che sia chiusa per adesso). Un oggetto gruppo interno è una 4-pla [tex](G,\mu,\eta,i)[/tex] dove [tex]G \in \mathbf C[/tex] è un oggetto e [tex]\mu \colon G \times G \to G[/tex], [tex]\eta \colon 1 \to G[/tex], [tex]i \colon G \to G[/tex] sono frecce in [tex]\mathbf C[/tex] (moralmente la moltiplicazione, l'elemento neutro e l'inverso) tali che i seguenti diagrammi siano commutativi:
[tex]\xymatrix{ (C \times C) \times C \ar[r] \ar[d]^{\mu \times \text{id}} & C \times (C \times C) \ar[r]^-{\text{id} \times \mu} & C \times C \ar[d]^\mu \\ C \times C \ar[rr]^\mu & & C }[/tex]
[tex]\xymatrix { 1 \times C \ar[dr] \ar[r]^{\eta \times \text{id}} & C \times C \ar[d]^\mu & C \times 1 \ar[dl] \ar[l]_{\text{id} \times \eta} \\ & C }[/tex]
e
[tex]\xymatrix{ C \ar[d] \ar[r]^-{\Delta} & C \times C \ar[r]^{\text{id} \times i} & C \times C \ar[d]^\mu \\ 1 \ar[rr]^\eta & & C }[/tex]
dove [tex]\Delta[/tex] è la mappa diagonale canonica.
Ad esempio: in [tex](\mathbf{Set},\times,\{*\})[/tex] gli oggetti gruppo interni sono esattamente i gruppi. In [tex](\mathbf{Top},\times, \{*\})[/tex] gli oggetti gruppo interni sono esattamente i gruppi topologici.
La mia domanda è: nel tuo contesto si riescono a caratterizzare i gruppi interni?
Sarei portato a dirti di sì.
Ci sono le definizioni di funzione invera, funzione identità che se applicate dicono se esiste isomorfismo tra due CPO.
La moltiplicazione è il prodotto e sì è definito anche quello. E sono tutti componibili (composizione tra funzioni continue).
Giocando con delle particolari funzioni chiamate apply() e curry() si fa un po' di tutto.
Ma se parli di elemento neutro dove anch'esso è un CPO (categoria dei CPO) non ne sarei sicuro, domani in università controllo su qualche libro più approfondito in materia, sembra interessante.
PS: quale è la terminologia inglese per "gruppo interno"?
Ci sono le definizioni di funzione invera, funzione identità che se applicate dicono se esiste isomorfismo tra due CPO.
La moltiplicazione è il prodotto e sì è definito anche quello. E sono tutti componibili (composizione tra funzioni continue).
Giocando con delle particolari funzioni chiamate apply() e curry() si fa un po' di tutto.
Ma se parli di elemento neutro dove anch'esso è un CPO (categoria dei CPO) non ne sarei sicuro, domani in università controllo su qualche libro più approfondito in materia, sembra interessante.
PS: quale è la terminologia inglese per "gruppo interno"?
"hamming_burst":
Sarei portato a dirti di sì.
Non ho capito molto bene...
Chi sono i tuoi candidati ad essere oggetto gruppo?
In inglese si chiamano "group objects" o "internal group objects (in a cartesian category)". Confronta qui.
"maurer":
[quote="hamming_burst"]Sarei portato a dirti di sì.
Non ho capito molto bene...
Chi sono i tuoi candidati ad essere oggetto gruppo?
In inglese si chiamano "group objects" o "internal group objects (in a cartesian category)". Confronta qui.[/quote]
non ho ancora avuto modo di vedere la questione per esser più specifico sulla tua domanda, ho qualche impegno in questi giorni.
Per il momento se interessa l'argomento, in questo pdf: Basic Category Theory - Jaap van Oosten
c'è una parte che descrive un po' quello che sto studiando ed applicando. Rispetto a quella descrizione (v. 7. Cartesian Closed and $\lambda$-calculus, specialmente paragrafo 7.2 pag. 67) me ne sto occupando in modo meno algebrico, ma le basi teoriche sono quelle.
Ti dico che sui gruppi interni ne riparliamo
Ti ringrazio! Come sempre è bello vedere che ci sono più applicazioni di quello che penso!
Come sempre è bello vedere che ci sono più applicazioni di quello che penso!
Categorie monoidali! Lambda-calcolo! Topologia della logica, logica della topologia! La vita e' bella!
Mi leggo tutto con calma appena posso, non dimostrate P=NP in mia assenza, mi raccomando a zio.
Mi leggo tutto con calma appena posso, non dimostrate P=NP in mia assenza, mi raccomando a zio.
@maurer:
Allora ho gurdato un po', ma di gruppi interni non se ne trova traccia (con questa terminologia). Non si trova la tua definizione dove ogni schema/diagramma sia commutativo.
In generale ci sono le definizioni che hai elencato (si parla di "funzioni universali"), e per questo ero preposto a dirti di Sì, ma non si parla di commutatività ma solo di composizione.
Se vuoi ho trovato queste slide: http://www.dicom.uninsubria.it/~mbenini ... slides.pdf (vedi slide 436 in poi, prima di questa è la teoria generale, applicata all'incirca al mio contesto è dopo). Penso che tu conosca meglio l'argomento di me, e forse troverai risposta
PS: non lo ho scritto, ma la branca delle Scienze Informatiche che tratta questi argomenti, dove collidono e si intersecano così tante teorie si chiama Teoria dei Domini (questa in modo maggiore) e Teoria dei Tipi.
Allora ho gurdato un po', ma di gruppi interni non se ne trova traccia (con questa terminologia). Non si trova la tua definizione dove ogni schema/diagramma sia commutativo.
In generale ci sono le definizioni che hai elencato (si parla di "funzioni universali"), e per questo ero preposto a dirti di Sì, ma non si parla di commutatività ma solo di composizione.
Se vuoi ho trovato queste slide: http://www.dicom.uninsubria.it/~mbenini ... slides.pdf (vedi slide 436 in poi, prima di questa è la teoria generale, applicata all'incirca al mio contesto è dopo). Penso che tu conosca meglio l'argomento di me, e forse troverai risposta
PS: non lo ho scritto, ma la branca delle Scienze Informatiche che tratta questi argomenti, dove collidono e si intersecano così tante teorie si chiama Teoria dei Domini (questa in modo maggiore) e Teoria dei Tipi.
"killing_buddha":
non dimostrate P=NP in mia assenza
Scusa, hai visto la reference? XD
Mi viene solo da dirti: che figata!
@killing_buddha:
Se lo sapevi e non me l'hai mai detto...
Edit: comunque risponde alla mia domanda, o sembra farlo ad una rapida lettura. Si trova nella lezione 23, dove parla di C-monoidi (un gruppo è un monoide particolare; io ho chiesto dei gruppi perché per parlarne hai proprio bisogno della struttura cartesiana, mentre puoi parlare di monoidi in una qualsiasi categoria monoidale). E dopo dice che ogni C-monoide dà origine ad un [tex]\lambda[/tex]-calcolo... Sono sempre più convinto che 'sta roba sia fighissima!
Se non fosse chiaro, sono esaltato!
Theorems and proofs follow the treatment as given in Chapter D4.2 of P. Johnstone, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium volume 2, Oxford University Press (2002). ISBN: 978-0198515982
Mi viene solo da dirti: che figata!
@killing_buddha:
The purpose of this lesson is to show a correspondence between Cartesian closed categories and a typed¸[tex]\lambda[/tex]-calculus. In this way, we can associate to each Cartesian closed category a ¸[tex]\lambda[/tex]-theory and, vice versa, we can interpret any ¸[tex]\lambda[/tex]-theory in a suitable Cartesian closed category.
Se lo sapevi e non me l'hai mai detto...
Edit: comunque risponde alla mia domanda, o sembra farlo ad una rapida lettura. Si trova nella lezione 23, dove parla di C-monoidi (un gruppo è un monoide particolare; io ho chiesto dei gruppi perché per parlarne hai proprio bisogno della struttura cartesiana, mentre puoi parlare di monoidi in una qualsiasi categoria monoidale). E dopo dice che ogni C-monoide dà origine ad un [tex]\lambda[/tex]-calcolo... Sono sempre più convinto che 'sta roba sia fighissima!
Se non fosse chiaro, sono esaltato!
"maurer":
Scusa, hai visto la reference? XD
Theorems and proofs follow the treatment as given in Chapter D4.2 of P. Johnstone, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium volume 2, Oxford University Press (2002). ISBN: 978-0198515982
Mi viene solo da dirti: che figata!
non lo conosco, ma leggendo il commento appena sotto, è per matematici sopraffini
Edit: comunque risponde alla mia domanda, o sembra farlo ad una rapida lettura. Si trova nella lezione 23, dove parla di C-monoidi (un gruppo è un monoide particolare; io ho chiesto dei gruppi perché per parlarne hai proprio bisogno della struttura cartesiana, mentre puoi parlare di monoidi in una qualsiasi categoria monoidale). E dopo dice che ogni C-monoide dà origine ad un [tex]\lambda[/tex]-calcolo... Sono sempre più convinto che 'sta roba sia fighissima!
interessante!
perchè il simbolo che utilizza per l'operatore unario \((-)^\text{*}\) di solito è la notazione per la funzione di lifting (una particolare funzione semantica) direi che questo potrebbe spiegare da dove deriva. Sempre più interessante
Se non fosse chiaro, sono esaltato!
son contento ti piaccia
mmm farai una virata nell'informatica teorica
"hamming_burst":
non lo conosco, ma leggendo il commento appena sotto, è per matematici sopraffini
Quella è matematica di altissimo livello, come tutta la matematica in cui ha messo lo zampino Dio...
"hamming_burst":
interessante!
perchè il simbolo che utilizza per l'operatore unario \((-)^\text{*}\) di solito è la notazione per la funzione di lifting (una particolare funzione semantica) direi che questo potrebbe spiegare da dove deriva. Sempre più interessante
Non ho chiara l'interpretazione sintattica (ancora per poco, spero!), ma è davvero una figata.
"hamming_burst":
mmm farai una virata nell'informatica teorica
Mi sa proprio che mi avete preso nella rete dell'"applicativo" (rispetto a quello che faccio di solito, posso definirlo applicativo! XD).
@maurer: lo sapevo e non te l'ho detto, non credevo ti interessasse XD non uccidermi!
Non preoccuparti, non credevo nemmeno io che mi interessasse... ma devo ricredermi! XD
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