Unione disgiunta tra insiemi
Salve,
mi sto trovando in un piccolo vicolo cieco per la formulazione di una stuttura algebrica adeguata (collegato a questo).
Avrei un dubbio, forse banale, ma che è abbastanza importante per finire.
Devo applicare una disjoint sum (o Disjoint Union che sia...) tra due insiemi.
Considerando la definizione di wiki per capirci. Sia $B$ il mio macroinsieme:
\(B = \bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}\) con $i$ indice dell'insieme.
Io dovrei creare un insieme $B'$ formato dall'unione disgiunta di poweset.
\(B' = \bigsqcup_{i\in I} \wp(A_i) = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in \wp(A_i)\}\) con $i$ indice dell'insieme e $x$ insieme.
Per voi ci sono problemi formali se si fa ciò? Io direi di no.
Dato che devo unire dei powerset ma non devo perdere l'informazione da dove deriva l'elemento, questa mi sembra la strada più facile (aggiungo che su $B'$ definisco una relazione d'ordine per far in modo che il minimo di ciascun powerset, l'insieme vuoto, sia un'entità diversa per ogni insieme). Che ne dite, è possibile o devo utilizzare altri accrocchi?
Ringrazio anticipatamente
mi sto trovando in un piccolo vicolo cieco per la formulazione di una stuttura algebrica adeguata (collegato a questo).
Avrei un dubbio, forse banale, ma che è abbastanza importante per finire.
Devo applicare una disjoint sum (o Disjoint Union che sia...) tra due insiemi.
Considerando la definizione di wiki per capirci. Sia $B$ il mio macroinsieme:
\(B = \bigsqcup_{i\in I} A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in A_i\}\) con $i$ indice dell'insieme.
Io dovrei creare un insieme $B'$ formato dall'unione disgiunta di poweset.
\(B' = \bigsqcup_{i\in I} \wp(A_i) = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) : x \in \wp(A_i)\}\) con $i$ indice dell'insieme e $x$ insieme.
Per voi ci sono problemi formali se si fa ciò? Io direi di no.
Dato che devo unire dei powerset ma non devo perdere l'informazione da dove deriva l'elemento, questa mi sembra la strada più facile (aggiungo che su $B'$ definisco una relazione d'ordine per far in modo che il minimo di ciascun powerset, l'insieme vuoto, sia un'entità diversa per ogni insieme). Che ne dite, è possibile o devo utilizzare altri accrocchi?
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Avrei una piccola questione in sospeso con l'unione disgiunta.
Parlando di diagrammi commutativi, mi è venuto il dubbio se realmente l'unione disgiunta è un'operatore commutativo.
Sia $Z,P$ insiemi qualunque, e $R,S$ l'insieme unione disgiunta risultante:
\[Z\ \sqcup\ P\ \Longrightarrow\ \cup \ =\ R\]
la commutatività dichiara che \[Z\ \sqcup\ P\ \equiv\ P\ \sqcup\ Z\]
costruiamo l'insieme equivalente (congruo) \[P\ \sqcup\ Z\ \Longrightarrow\ \cup \ =\ S\]
guardando cosa ci sta dentro $S$ ed $R$ io direi che \(S\not\!\!\!\ \equiv\ R\), cioè gli indici non collidono e le funzioni (uniche) di iniezione e proiezione non possono esser commutative.
Dove sta l'errore del ragionamento, se ogni slide che trovo dice che è un operatore commutativo?
Nei miei scopi non è importantissima questa proprietà, ma mi semplifica la vita di 3 pagine da scrivere...
Ringrazio
PS: $\equiv$ inteso come operatore delle classi di congruenza, intendelo come ugaglianza in caso di problemi.
Parlando di diagrammi commutativi, mi è venuto il dubbio se realmente l'unione disgiunta è un'operatore commutativo.
Sia $Z,P$ insiemi qualunque, e $R,S$ l'insieme unione disgiunta risultante:
\[Z\ \sqcup\ P\ \Longrightarrow\
la commutatività dichiara che \[Z\ \sqcup\ P\ \equiv\ P\ \sqcup\ Z\]
costruiamo l'insieme equivalente (congruo) \[P\ \sqcup\ Z\ \Longrightarrow\
guardando cosa ci sta dentro $S$ ed $R$ io direi che \(S\not\!\!\!\ \equiv\ R\), cioè gli indici non collidono e le funzioni (uniche) di iniezione e proiezione non possono esser commutative.
Dove sta l'errore del ragionamento, se ogni slide che trovo dice che è un operatore commutativo?
Nei miei scopi non è importantissima questa proprietà, ma mi semplifica la vita di 3 pagine da scrivere...
Ringrazio
PS: $\equiv$ inteso come operatore delle classi di congruenza, intendelo come ugaglianza in caso di problemi.
Non capisco il tuo problema, l'unione disgiunta è commutativa in qualsiasi categoria, nel senso che [tex]A \sqcup B \cong B \sqcup A[/tex] a meno di un unico isomorfismo. Nel tuo caso, definisci [tex]f \colon Z \sqcup P \to P \sqcup Z[/tex] semplicemente ponendo [tex]f(x,i) := (x, 1- i)[/tex], e questa è palesemente una biezione! Poi, se i tuoi morfismi hanno più struttura da conservare, non c'è problema, anche quella viene conservata (infatti, avrei potuto farti la dimostrazione in una categoria qualsiasi).
Prima mi confermeresti due cose:
Allora le funzioni sulle uninioni disgiunte sono tutte fissate sugli indici, perciò non importa cosa ci sia dentro quell'insieme. Ogni funzione non è tipizzate ed è valida sugli interi, reali qualunque cosa. confermi?
Per la funzione che proponi come fa a mappare l'indice corretto?
mettiamo che ho:
$R =,,, $
facccio uno swap (commuto) 1 con 3 con qualche funzione:
$S =,,,$
come riesco a dire che $R$ è congruo ad $S$? se le funzioni di proiezione è fissata sull'indice
$\pi_1(x in R) = B$
$\pi_1(x in S) = D$
il risultato è differente...
PS: per il momento parliamo di insiemi. Categorie, strutture algebriche od altro vengono poi...
Allora le funzioni sulle uninioni disgiunte sono tutte fissate sugli indici, perciò non importa cosa ci sia dentro quell'insieme. Ogni funzione non è tipizzate ed è valida sugli interi, reali qualunque cosa. confermi?
Per la funzione che proponi come fa a mappare l'indice corretto?
mettiamo che ho:
$R =
facccio uno swap (commuto) 1 con 3 con qualche funzione:
$S =
come riesco a dire che $R$ è congruo ad $S$? se le funzioni di proiezione è fissata sull'indice
$\pi_1(x in R) = B$
$\pi_1(x in S) = D$
il risultato è differente...
PS: per il momento parliamo di insiemi. Categorie, strutture algebriche od altro vengono poi...
No, ma guarda che cambiano anche le funzioni di proiezione! Vanno composte con la permutazione degli indici che stai utilizzando!
In altre parole, tu avrai che [tex]\pi_1 \colon R \to I[/tex] e [tex]\pi_2 \colon S \to I[/tex] sono funzioni distinte (è chiaro, cambia il dominio!). Ma avrai anche che
[tex]\xymatrix{ R \ar[rr]^f \ar[dr]_{\pi_1} & & S \ar[dl]^{\pi_2} \\ & I }[/tex]
è commutativo, ed è questo che dovrebbe servirti.
Il punto è proprio che [tex]R \equiv S[/tex], ma [tex]R \ne S[/tex]! Per cercare di essere ancora più chiaro:
La scrittura [tex]\pi_1(x \in S)[/tex] non ha senso, perché [tex]\pi_1[/tex] è una funzione definita su [tex]R[/tex] e [tex]R \ne S[/tex].
In altre parole, tu avrai che [tex]\pi_1 \colon R \to I[/tex] e [tex]\pi_2 \colon S \to I[/tex] sono funzioni distinte (è chiaro, cambia il dominio!). Ma avrai anche che
[tex]\xymatrix{ R \ar[rr]^f \ar[dr]_{\pi_1} & & S \ar[dl]^{\pi_2} \\ & I }[/tex]
è commutativo, ed è questo che dovrebbe servirti.
Il punto è proprio che [tex]R \equiv S[/tex], ma [tex]R \ne S[/tex]! Per cercare di essere ancora più chiaro:
"hamming_burst":
$\pi_1(x in R) = B$
$\pi_1(x in S) = D$
il risultato è differente...
La scrittura [tex]\pi_1(x \in S)[/tex] non ha senso, perché [tex]\pi_1[/tex] è una funzione definita su [tex]R[/tex] e [tex]R \ne S[/tex].
fenomenale! mi hai rattoppato i dubbi a dovere.
Perciò gli insiemi sono congruenti a meno dell'indice. E devo definirmi una funzione permutazione (da comporre) per rendere la commutatività vera. Giusto?
Perciò gli insiemi sono congruenti a meno dell'indice. E devo definirmi una funzione permutazione (da comporre) per rendere la commutatività vera. Giusto?
Sì, ma quella ce l'hai praticamente data implicitamente con la costruzione di [tex]R[/tex] e [tex]S[/tex]!
(Comunque se ragionassi per proprietà universale sarebbe tutto più semplice e chiaro
)
(Comunque se ragionassi per proprietà universale sarebbe tutto più semplice e chiaro
)
"maurer":
Sì, ma quella ce l'hai praticamente data implicitamente con la costruzione di [tex]R[/tex] e [tex]S[/tex]!
ti ringrazio molto
Il problema è nato dalla definizione semantica di queste funzioni, ogni step di valutazione deve essere ben definito se no cade tutta la dimostrazione. Come qualunque teorema o derivazione.
Nelle varie teorie che si parlava nei post precedenti nulla da dire sulla comuttatività dell'unione disgiunta, me la hai riconfermate (perchè si basano sulle categoire con coprodotto).
Ma in un'altra semantica (operazionale) che si basa più su definzioni della Logica la commutatività di un operatore NON è gratuita. Ma deve esistere una regola precisa ed esplicita che la implementi. Oppure si semplifica passando per le classi di congruenza (si parla di congruenza strutturale)
riassunto: un bel casino ad ogni definizione.
Ho un'altra piccola questione terminologica da risolvere su un tipo di unione che utilizza il Paper che sto leggendo.
La notazione è questa:
Dovrebbe essere semplicemente l'unione di insiemi che rispettano la proprietà $p$ per questo li chiama famiglia.
giusto?
Ringrazio
La notazione è questa:
\(\displaystyle{\bigcup \{A\ |\ p\}}\) distributed union of a family \(\displaystyle{\{A\ |\ p\}}\) of sets
Dovrebbe essere semplicemente l'unione di insiemi che rispettano la proprietà $p$ per questo li chiama famiglia.
giusto?
Ringrazio
Ma è fissato un universo...?
Ciao maurer
intendi l'universo dei valori dell'insieme? Se è questo uno dei più semplici, su cui è definito, è $NN_0$ o $ZZ$
"maurer":
Ma è fissato un universo...?
intendi l'universo dei valori dell'insieme? Se è questo uno dei più semplici, su cui è definito, è $NN_0$ o $ZZ$
No, no. Se tu consideri una famiglia di insiemi soddisfacenti ad una proprietà P, dovresti restringerti agli insiemi che sono sottoinsiemi di un dato universo, altrimenti rischi paradossi.
Assodato questo, sì, solitamente si usa famiglia per denotare un insieme di insiemi.
Assodato questo, sì, solitamente si usa famiglia per denotare un insieme di insiemi.
ok, grazie mille
ma perchè sottolinea essere ditributiva?
ma perchè sottolinea essere ditributiva?
Più che distributiva sembra "distribuita". Sinceramente non saprei. Non puoi riportare un po' più di contesto intorno?
"maurer":
Più che distributiva sembra "distribuita". Sinceramente non saprei.
eh avevo il dubbio che fosse una traduzione sbagliata, ma non ne capisco il senso che vor dì "distribuita"
Non puoi riportare un po' più di contesto intorno?
proviamo...
Il contesto è sempre lo stesso di questo thread. Io però lo specializzo in "insiemi" particolari simili a dei power-set questo per dirti il perchè dell'utilizzo di famiglie di insiemi e della loro unione (sono power-set di CPO chiamati powerdomain).
L'unione che introduce il paper è una generalizzazione di un opratore unione chiamato collettore:
1) \(A \triangledown B\) collector of sets A and B (different for each of H, S, and P above)
2) \(\triangledown \{A\ |\ p\}\) distributed collector of a family ${A\ |\ p}$ of sets
un suo utilizzo può essere questo, con \(z_1,z_2 \in \wp(\mathbb{N_{\bot}})\) la notazione $\mathbb{N}_{\bot} \equiv \mathbb{N} \cup \bot$:
1) \(R = z_1 \triangledown z_2\)
2) \(R = \{r_1\ |\ r_1 \in z_1\}\ \triangledown\ \{r_2\ |\ r_2 \in z_2\}\)
per avere significati più profondi \(\wp(\mathbb{N_{\bot}})\) deve essere definito in domini di ordine superiore cioè es. su coppie o funzioni (HOFL).
La cosa che differenzia \(\triangledown\) da \(\bigcup\) è che nel primo caso l'insieme vuoto (sostituito da un valore speciale $\bot$) può essere sostituito da un insieme speciale (singoletto) oppure utilizzare l'unione. Es. per capirci:
\(\triangledown A = \Bigg\{ \begin{matrix} \{\bot\}\ \text{ if } \bot \in \bigcup A \\ \bigcup A \text{ other} \end{matrix}\)
se hai dubbi su ciò che ho scritto, semplifico, ma non penso serva.
ti ringrazio
EDIT:
Googlando una definizione di "unione distribuita" sembrerebbe essere semplicemente la generelazzazione dell'unione, invece che binaria, multivariata: http://www.docstoc.com/docs/26464630/IMSE-Set-Theory
quell'operatore è importante, perciò meglio che comprenda bene cosa comporti utilizzarlo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo