Unicità di un sottogruppo con un certo ordine
Devo dimostrare che dato un gruppo di ordine 66 (non si sa se ciclico) esso contiene un unico sottogruppo di ordine 11.
Il fatto che non si sa se ciclico mi rende la vita difficile nel dimostrare l'assunto.
Avete dei consigli?
Grazie in anticipo
Emanuele
Il fatto che non si sa se ciclico mi rende la vita difficile nel dimostrare l'assunto.
Avete dei consigli?
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
"emanuele78":Ma come fai a dire che [tex]HK[/tex] e' un gruppo?
[...] essendo l'ordine del gruppo $HK$ [...]
Mi sembra che tu stia dicendo "HK ha 33 elementi e 33 divide 66, quindi HK e' un sottogruppo di G". Questo argomento e' sbagliato: non basta che un sottoinsieme A di un gruppo G abbia un numero di elementi che divide |G| per concludere che A e' un sottogruppo di G. Prendi per esempio [tex]G=S_3[/tex] e [tex]A=\{1,(12),(123)\}[/tex]. Si ha che A ha 3 elementi e 3 divide [tex]6=|G|[/tex], ma [tex]A[/tex] non e' un sottogruppo di G.
Oppure prendi [tex]G=S_4[/tex] e [tex]H=\langle (12) \rangle[/tex], [tex]K=\langle (23) \rangle[/tex]. Allora [tex]HK[/tex] ha 4 elementi, e 4 divide [tex]24=|G|[/tex], ma [tex]HK[/tex] non e' un sottogruppo di G.
Ribadisco il mio suggerimento: riguardati i prodotti diretti interni dei sottogruppi di un gruppo: che tipo di sottogruppi devono essere [tex]$H$[/tex] e [tex]$K$[/tex] in [tex]$G$[/tex]?
"j18eos":
Ribadisco il mio suggerimento: riguardati i prodotti diretti interni dei sottogruppi di un gruppo: che tipo di sottogruppi devono essere [tex]$H$[/tex] e [tex]$K$[/tex] in [tex]$G$[/tex]?
Ho seguito il tuo consiglio e sono arrivato a tale dimostrazione.
Dal teorema di Cauchy so per certo che in $G$ esistono i seguenti sottogruppi $H$ di ordine $2$, $K$ di ordine $3$, e $W$ di ordine $11$, tramite un corollario so che ogni $p$-gruppo è isoformo al gruppo ciclico di ordine $p$ $=>$ $H~=C_2$; $K~=C_3$; $W~=C_11$, inoltre ogni gruppo ciclico è abeliano infatti $g^t*g^s =g^(t+s) = g^(s+t) = g^s*g^t$. Quindi $H$; $K$, $W$ sono abeliani e quindi normali.
Inoltre dal teorema di Lagrange sappiamo che ogni $p$-gruppo non ammette sottogruppi.
Consideriamo adesso i due sottogruppi normali $K$ e $W$ poichè sono dei $p$-gruppi $=>$ che $KnnW ={1}$. Allora $kw =wk$ $AA$ $k in K$, $w in W$. Sia $J$ un gruppo tale che $J = KW$ con $KnnW ={1}$, allora $ AA j in J$ ammette un'unica scrittura $j = kw$ con $k in K$ e $w in W$.
Se $J$ è un gruppo prodotto diretto interno di due suoi sottogruppi $K$ e $W$, allora, per quanto sopra detto risulta $J ~= K*W$.
Per completare la dimostrazione devo utilizzare anche la seguente proposizione:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Ritornando al problema dell'esistenza del sottogruppo di ordine $33$ in $G$ di ordine $66$ posso scrivere che $G = H*K*W$, ma $K*W ~= J$ con $|J| = 33$, quindi posso scrivere che $G = H*J$, per la proposizione sopra $G$ ammette sottogruppi che sono isoformi ai gruppi dal cui prodotto si è generato $G$ quindi $EE!$ un sottogruppo di $G$ di ordine $33$ isoformo a $J$.
Spero di aver dimostrato l'esistenza.
Aspetto un vostro commento.
PS
Ho trovato anche un corollario che afferma che se $G$ è un gruppo di ordine $2m$ con $m$ dispari allora $G$ ammette un sottogruppo di ordine $m$.
Nel caso sarebbe stato più facile utilizzare questo per dimostrare l'esistenza di un sottogruppo di ordine $33$ in $G$ di ordine $66$. Ma la dimostrazione di tale corollario è più complessa rispetto agli strumenti sopra utilizzati.
"emanuele78":No, no! Un sottogruppo abeliano non e' necessariamente normale. Per esempio il sottogruppo [tex]\langle (12) \rangle[/tex] di [tex]S_3[/tex] e' abeliano ma non normale in [tex]S_3[/tex].
$K$, $W$ sono abeliani e quindi normali.
"Martino":No, no! Un sottogruppo abeliano non e' necessariamente normale. Per esempio il sottogruppo [tex]\langle (12) \rangle[/tex] di [tex]S_3[/tex] e' abeliano ma non normale in [tex]S_3[/tex].[/quote]
[quote="emanuele78"]$K$, $W$ sono abeliani e quindi normali.
Dal teorema 3 di Sylow risulta che se il numero dei $p$_Sylow è uguale a $1$ allora il sottogruppo $p$_Sylow è normale. Quindi nel caso specifico avendo dimostrato che $G$ ammette solo $1$ sottogruppo $p$_Sylow per ogni $p$, risulta che ogni $p$-Sylow di $G$ è normale.
Aspetto news per la parte rimanente della dimostrazione.
Grazie per le osservazioni, come sempre molto puntuali e corredate da esempio (cosa apprezzatissima)
PS
Nella dimostrazione sopra postata, ho cercato di dimostrare la normalità dei sottogruppi di $G$ perchè le successive asserzioni relative al prodotto di gruppi che ho trovato necessitano della normalità dei gruppi. Tuttavia mentre cercavo una dimostrazione per affermare che i sottogruppi di $G$ erano anche normali, mi sono imbattuto in un'altra fonte, che reputo attendibile, che ripropone l'asserto sul prodotto dei gruppi, necessitando della abelianità dei gruppi e non quindi della loro normalità, che come si è visto è più restrittiva della sola abelianità.
Alcune riflessioni.
Rivedendo ieri la dimostrazione dell'esistenza di sottogruppi, mi sono accorto che gran parte dei lemmi che ho utilizzato sono superflui rispetto all'obiettivo, infatti ritengo sufficiente a dimostrare l'esistenza di certi sottogruppi di un gruppo la sola seguente proposizione:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Infatti basta che siano dati due gruppi $G_1$ e $G_2$ tali che il loro prodotto è uguale a $G$, allora in $G$ esistono sottogruppi $H_i$ che sono isomorfi a $G_1$ e $G_2$. Nel caso basta prendere $G_1$ di ordine $33$ e $G_2$ di ordine $2$ ed ottengo un gruppo di ordine $66$, dalla proposizione sopra ottengo che in $G$ esistono sottogruppi $H_i ~= G_i$, e quindi ci sarà in $G$ un sottogruppo di ordine $33$.
Ho ancora una perplessità, essa riguarda il fatto che in realtà la proposizione sopra non sia altro che una tautologia. Voglio dire se $G$ è il prodotto di due o più gruppi, deve necessariamente contenerli, e quindi i suoi sottogruppi sono sicuramente i gruppi che l'hanno formato(+ eventualmente altri). In realtà questa affermazione misembra vera per definizione, non riesco a comprenderne l'informazione aggiuntiva.
Rivedendo ieri la dimostrazione dell'esistenza di sottogruppi, mi sono accorto che gran parte dei lemmi che ho utilizzato sono superflui rispetto all'obiettivo, infatti ritengo sufficiente a dimostrare l'esistenza di certi sottogruppi di un gruppo la sola seguente proposizione:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Infatti basta che siano dati due gruppi $G_1$ e $G_2$ tali che il loro prodotto è uguale a $G$, allora in $G$ esistono sottogruppi $H_i$ che sono isomorfi a $G_1$ e $G_2$. Nel caso basta prendere $G_1$ di ordine $33$ e $G_2$ di ordine $2$ ed ottengo un gruppo di ordine $66$, dalla proposizione sopra ottengo che in $G$ esistono sottogruppi $H_i ~= G_i$, e quindi ci sarà in $G$ un sottogruppo di ordine $33$.
Ho ancora una perplessità, essa riguarda il fatto che in realtà la proposizione sopra non sia altro che una tautologia. Voglio dire se $G$ è il prodotto di due o più gruppi, deve necessariamente contenerli, e quindi i suoi sottogruppi sono sicuramente i gruppi che l'hanno formato(+ eventualmente altri). In realtà questa affermazione misembra vera per definizione, non riesco a comprenderne l'informazione aggiuntiva.
"emanuele78":Non mi sembra che tu abbia dimostrato che c'e' un solo 3-Sylow. Potresti farlo?
Dal teorema 3 di Sylow risulta che se il numero dei $p$_Sylow è uguale a $1$ allora il sottogruppo $p$_Sylow è normale. Quindi nel caso specifico avendo dimostrato che $G$ ammette solo $1$ sottogruppo $p$_Sylow per ogni $p$, risulta che ogni $p$-Sylow di $G$ è normale.
PS. Fai attenzione: un gruppo finito si dice "p-gruppo" se il suo ordine e' una potenza di p (dove p e' un primo). A me sembra che tu chiami p-gruppi i gruppi di ordine p.
"emanuele78":Ma il risultato che hai riportato richiede che ogni [tex]G_i[/tex] sia normale. Se prendi un qualsiasi sottogruppo di ordine 2 esso puo' non essere normale.
Infatti basta che siano dati due gruppi $G_1$ e $G_2$ tali che il loro prodotto è uguale a $G$, allora in $G$ esistono sottogruppi $H_i$ che sono isomorfi a $G_1$ e $G_2$. Nel caso basta prendere $G_1$ di ordine $33$ e $G_2$ di ordine $2$ ed ottengo un gruppo di ordine $66$, dalla proposizione sopra ottengo che in $G$ esistono sottogruppi $H_i ~= G_i$, e quindi ci sarà in $G$ un sottogruppo di ordine $33$.
La normalita' di un sottogruppo non discende da proprieta' intrinseche di tale sottogruppo!
"Martino":Non mi sembra che tu abbia dimostrato che c'e' un solo 3-Sylow. Potresti farlo?
[quote="emanuele78"]Dal teorema 3 di Sylow risulta che se il numero dei $p$_Sylow è uguale a $1$ allora il sottogruppo $p$_Sylow è normale. Quindi nel caso specifico avendo dimostrato che $G$ ammette solo $1$ sottogruppo $p$_Sylow per ogni $p$, risulta che ogni $p$-Sylow di $G$ è normale.
PS. Fai attenzione: un gruppo finito si dice "p-gruppo" se il suo ordine e' una potenza di p (dove p e' un primo). A me sembra che tu chiami p-gruppi i gruppi di ordine p.[/quote]
Mi sembrava di averlo dimostrato nei precedenti thread, in ogni caso dal 3° teorema di Sylow so che l'ordine di un gruppo è $p^tm$, il numero dei $p$-sottogruppi con $p$ numero primo è congruo a $1$ modulo $p$, e $n_p$ divide $m$. Ora nel caso specifico l'ordine di $G$ potrebbe essere dato dalla seguente espressione $3*22$, $(3,22) =1$, il numero dei sottogruppi di $G$ di ordine $3$ è congruo a $1$ modulo $3$, cioè $n_p = 1 +3t$, vi sarebbero molti sottogruppi di ordine $3$ se non fosse che $n_p$ deve dividere $22$ si osserva subito che non esiste $t$ tale che $n_p$ divide $22$, quindi necessariamente $t = 0$ $=>$ $n_p =1$.
"emanuele78":No, sbagliato: può succedere che [tex]t=7[/tex], cioè [tex]n_p=22[/tex].
$n_p = 1 +3t$, vi sarebbero molti sottogruppi di ordine $3$ se non fosse che $n_p$ deve dividere $22$ si osserva subito che non esiste $t$ tale che $n_p$ divide $22$, quindi necessariamente $t = 0$ $=>$ $n_p =1$.
"Martino":No, sbagliato: può succedere che [tex]t=7[/tex], cioè [tex]n_p=22[/tex].[/quote]
[quote="emanuele78"]$n_p = 1 +3t$, vi sarebbero molti sottogruppi di ordine $3$ se non fosse che $n_p$ deve dividere $22$ si osserva subito che non esiste $t$ tale che $n_p$ divide $22$, quindi necessariamente $t = 0$ $=>$ $n_p =1$.
Non mi è chiaro un aspetto molto importante se io so che il gruppo di ordine $33$ è unico, lo è anche se sottogruppo di un gruppo più grande per esempio quello di ordine $66$?
L'esercizio mi chiedeva di dimostrare l'unicità del sottogruppo di ordine $33$ in $G$ di ordine $66$?
E questo non è forse vero se e solo se sono unici i $p$ sottogruppi che lo formano ? Quindi $3$ e $11$?
Ma in $G$ di ordine $66$ come si è visto il sottogruppo di ordine $3$ non è unico.
D'altra parte affermare che il gruppo di ordine $33$ è unico non implica che un sottorgruppo di ordine $33$ in un gruppo di ordine $66$ è unico. O sbaglio?
Sono un pò confuso.
"emanuele78":Sarebbe unico a meno d'isomorfismi, mi spiego: sia [tex]$G_{33}$[/tex] tale gruppo; unico a meno d'isomorfismi, in [tex]$G_{33}\times G_{33}$[/tex] ve ne sarebbero 2 copie distinte!
...Non mi è chiaro un aspetto molto importante se io so che il gruppo di ordine $33$ è unico, lo è anche se sottogruppo di un gruppo più grande per esempio quello di ordine $66$?...
"emanuele78":Devi comunque dimostrare che esiste, dimostrando che tali [tex]$p$[/tex]-sottogruppi di Sylow sono normali in [tex]$G$[/tex]. Riguardandoti le loro proprietà si fa subito!
...E questo non è forse vero se e solo se sono unici i $p$ sottogruppi che lo formano ? Quindi $3$ e $11$?...
"emanuele78":Usi un linguaggio impreciso. Cosa sono i sottogruppi che lo "formano"? Stai parlando di sottogruppi normali?
E questo non è forse vero se e solo se sono unici i $p$ sottogruppi che lo formano ? Quindi $3$ e $11$?
Ma in $G$ di ordine $66$ come si è visto il sottogruppo di ordine $3$ non è unico.No. Non hai dimostrato questo. Hai dimostrato che se c'è più di un 3-Sylow allora ce ne sono 22. Non hai dimostrato che ci sono 22 3-Sylow. Ora dovresti escludere appunto il fatto che ce ne siano 22, usando altri argomenti.
D'altra parte affermare che il gruppo di ordine $33$ è unico non implica che un sottorgruppo di ordine $33$ in un gruppo di ordine $66$ è unico. O sbaglio?Non sbagli! Come ti dicevo, le proprietà intrinseche di un sottogruppo di G non dicono niente sulle sue proprietà come sottogruppo di G.
Sono un pò confuso.Prova a dare una letta a un po' di cose di teoria. Per esempio, credo che dopo i teoremi di Sylow vengano proposti esempi. Prova a darci un'occhiata.
"j18eos":Sarebbe unico a meno d'isomorfismi, mi spiego: sia [tex]$G_{33}$[/tex] tale gruppo; unico a meno d'isomorfismi, in [tex]$G_{33}\times G_{33}$[/tex] ve ne sarebbero 2 copie distinte![/quote]Più di due copie in generale: per esempio c'è la diagonale [tex]\{(g,g)\ |\ g \in G_{33}\}[/tex].
[quote="emanuele78"]...Non mi è chiaro un aspetto molto importante se io so che il gruppo di ordine $33$ è unico, lo è anche se sottogruppo di un gruppo più grande per esempio quello di ordine $66$?...
"j18eos":Devi comunque dimostrare che esiste, dimostrando che tali [tex]$p$[/tex]-sottogruppi di Sylow sono normali in [tex]$G$[/tex]. Riguardandoti le loro proprietà si fa subito![/quote]Non serve che siano entrambi normali, in realtà. E la loro normalità non segue "subito" dai teoremi di Sylow (vedi il caso [tex]n_3=22[/tex]).
[quote="emanuele78"]...E questo non è forse vero se e solo se sono unici i $p$ sottogruppi che lo formano ? Quindi $3$ e $11$?...
"j18eos":Sarebbe unico a meno d'isomorfismi, mi spiego: sia [tex]$G_{33}$[/tex] tale gruppo; unico a meno d'isomorfismi, in [tex]$G_{33}\times G_{33}$[/tex] ve ne sarebbero 2 copie distinte!
[quote="emanuele78"]...Non mi è chiaro un aspetto molto importante se io so che il gruppo di ordine $33$ è unico, lo è anche se sottogruppo di un gruppo più grande per esempio quello di ordine $66$?...
"emanuele78":Devi comunque dimostrare che esiste, dimostrando che tali [tex]$p$[/tex]-sottogruppi di Sylow sono normali in [tex]$G$[/tex]. Riguardandoti le loro proprietà si fa subito![/quote]
...E questo non è forse vero se e solo se sono unici i $p$ sottogruppi che lo formano ? Quindi $3$ e $11$?...
Dell'esistenza dei sottogruppi in $G$ l'ho già dimostrato attraverso la seguente proposizione:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Rileggendola bene(la proposizione) ho notato che non mi impone la normalità dei gruppi $G_1,G_2..........,G_n$ il cui prodotto da $G$, anzi mi dice che i sottogruppi di $G$, $H_i$ sono normali in $G$.
Basta scegliere i gruppi $G_33$ e $G_2$ per dire che esistono in $G$ i sottogruppi $H_33$ e $H_2$.
Sebbene abbia dimostrato l'esistenza del sottogruppo di ordine $33$ e la sua normalità ho ancora perplessità
In particolare dagli appunti che ho (nonchè dal libro), mi risulta che se i $p$-Sylow non sono unici essi non sono mai normali.
Ora in $G$ il sottogruppo di ordine $11$ è un $p$-Sylow unico e quindi normale, mentre per esempio quello di ordine $3$ non è unico, quindi non sarebbe normale.
Come si concilia questo con la proposizione precedente per cui posso costruirmi $G$ di ordine $66$ con $G_2*G_3*G_11$, e per ciascuno di essi so che esiste un sottogruppo in $G$, $H_i$ che è isoformo a tali gruppi e normale? Mi sembrano in contraddizione.
Cmq grazie a tutti per il contributo.
PS
La cosa strana è che il mio professore nel dimostrare ad esempio l'unicità del sottogruppo di ordine $11$ in $G$ di ordine $66$, l'ho ha fatto in due passaggi, utilizzando un approccio completamente diverso, il ragionamento per assurdo. Anche se non mi ha completamente convinto, da qui il mio post. Devo dire che forse arriverò a capirlo, ma solo grazie a questi approfondimenti sto cominciando a comprendere bene la teoria dei gruppi.
"Martino":
Non serve che siano entrambi normali, in realtà.
Forse questo è il tassello che mi mancava.
Rimane sempre il fatto che secondo quella proposizione (che non riporto) in $G$ i sottogruppi $H_i$ sono normali ed isoformi ai gruppi che l'hanno prodotto, quindi risulterebbe che $H_3$ è normale. (E così non dovrebbe essere)
"Martino":
No. Non hai dimostrato questo. Hai dimostrato che se c'è più di un 3-Sylow allora ce ne sono 22. Non hai dimostrato che ci sono 22 3-Sylow. Ora dovresti escludere appunto il fatto che ce ne siano 22, usando altri argomenti.
E questo è esattamente il tassello finale che mi mancava e che fa quadrare tutto. Avevo intuito che in realtà ci fosse qual'cosa dietro.
Mi sto studiando questa parte di teoria.
Quindi rettifico le mie precedenti osservazione, che a questo punto sono superate.
Ad intuito mi viene da dire che se ci sono $22$ sottogruppi di ordine $3$ ci sono $44$ elementi di periodo $3$.
Manca qual'cosa ma credo che sia la strada giusta.
Grazie
@Martino Riprendendo quello che ho scritto nell'ultimo post, preciso che in [tex]$G_{33}\times G_{33}$[/tex] non ho escluso l'esistenza di altri sottogruppi isomorfi a [tex]$G_{33}$[/tex]. 
@emanuele78 Credo che tu ti stia avvicinando alla risoluzione definitiva. In quanto al ringraziamento: prego, di nulla!
@emanuele78 Credo che tu ti stia avvicinando alla risoluzione definitiva. In quanto al ringraziamento: prego, di nulla!
"j18eos":
@Martino Riprendendo quello che ho scritto nell'ultimo post, preciso che in [tex]$G_{33}\times G_{33}$[/tex] non ho escluso l'esistenza di altri sottogruppi isomorfi a [tex]$G_{33}$[/tex].
@emanuele78 Credo che tu ti stia avvicinando alla risoluzione definitiva. In quanto al ringraziamento: prego, di nulla!
Per dimostrare che il sottogruppo $H_33$ di $G_66$ è unico in $G$ si possono utilizzare diverse strade.
1)
Sia $G$ un gruppo finito e sia $p$ il suo più piccolo divisore primo di $|G|$. Allora il sottogruppo $H < G$ | $[G : H] = p$ è normale.
2)
(Metodo utilizzato dal mio Prof, credo) Siano per assurdo $H_33$ e $K_33$ due sottogruppi distinti di $G$ di ordine $33$ | $[H nn K = {1}]$, per il teorema del prodotto dei gruppi ottengo che l'ordine del gruppo prodotto è $(33*33)/1$ che chiaramente ha ordine superiore a $66$, quindi assurdo.
C'è ne sono altri, ma quello che più mi incuriosisce è quello successivo di cui ho trovato un esempio con un numero diverso da $66$ ma che cmq ha il seguente procedimento e che vorrei comprendere appieno visto che mi sfugge qual'cosa.
Da quanto abbiamo detto $n_3 = 1, 22$ e $n_11 = 1$.
Consideriamo il caso $n_3 = 22$ allora ci saranno nel gruppo $G$ di ordine $66$ $44$ elementi di periodo $3$. Sappiamo che il numero di $p$-Sylow di ordine $11$ è al più $1$ quindi $11$-Sylow è normale in $G$. Analizzando il gruppo quoziente normale $G/C_11$ ha ordine $6$ che contiene un solo sottogruppo normale di ordine $3$. A cui corrisponde il sottogruppo normale $H$ di ordine $33$ in $G$ che non può contenere $44$ elementi, $=>$ che $n_3 = 1$.
In particolare non riesco a comprendere come fa a collegare il sottogruppo $H$ di ordine $33$ in $G$ al sottogruppo di ordine $3$ in $G/C_11$. Infine perchè trova assurdo che non possano esserci $44$ elementi in $H$, non dovrebbe riferirsi a $G$ di ordine $66$?
Mi manca qualche passaggio ma non ho trovato molto in termini di esempio.
Grazie
Emanuele
"emanuele78":Questo c'entra con l'unicità, non con l'esistenza.
1)
Sia $G$ un gruppo finito e sia $p$ il suo più piccolo divisore primo di $|G|$. Allora il sottogruppo $H < G$ | $[G : H] = p$ è normale.
Siano per assurdo $H_33$ e $K_33$ due sottogruppi distinti di $G$ di ordine $33$ | $[H nn K = {1}]$+In base a cosa dici che [tex]H \cap K[/tex] ha un solo elemento?
Per quanto riguarda il resto, le cose stanno così: prendi l'11-Sylow H e un 3-Sylow K. Allora [tex]H \cap K=\{1\}[/tex] perché [tex]|H|[/tex] e [tex]|K|[/tex] sono coprimi (ah, tra parentesi: osserva che in generale se [tex]H \cap K = \{1\}[/tex] non è detto che [tex]|H|[/tex] e [tex]|K|[/tex] siano coprimi). Inoltre siccome H è normale [tex]HK[/tex] è un sottogruppo di G (questo è un fatto noto e facile da dimostrare: prova). Quindi HK è un sottogruppo di G di ordine [tex]|HK|=|H||K|/|H \cap K|=|H||K|=11\cdot 3 = 33[/tex], e l'esistenza è provata.
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