Unicità di un sottogruppo con un certo ordine
Devo dimostrare che dato un gruppo di ordine 66 (non si sa se ciclico) esso contiene un unico sottogruppo di ordine 11.
Il fatto che non si sa se ciclico mi rende la vita difficile nel dimostrare l'assunto.
Avete dei consigli?
Grazie in anticipo
Emanuele
Il fatto che non si sa se ciclico mi rende la vita difficile nel dimostrare l'assunto.
Avete dei consigli?
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
"Martino":Questo c'entra con l'unicità, non con l'esistenza.
[quote="emanuele78"]1)
Sia $G$ un gruppo finito e sia $p$ il suo più piccolo divisore primo di $|G|$. Allora il sottogruppo $H < G$ | $[G : H] = p$ è normale.
Siano per assurdo $H_33$ e $K_33$ due sottogruppi distinti di $G$ di ordine $33$ | $[H nn K = {1}]$+In base a cosa dici che [tex]H \cap K[/tex] ha un solo elemento?
Per quanto riguarda il resto, le cose stanno così: prendi l'11-Sylow H e un 3-Sylow K. Allora [tex]H \cap K=\{1\}[/tex] perché [tex]|H|[/tex] e [tex]|K|[/tex] sono coprimi (ah, tra parentesi: osserva che in generale se [tex]H \cap K = \{1\}[/tex] non è detto che [tex]|H|[/tex] e [tex]|K|[/tex] siano coprimi). Inoltre siccome H è normale [tex]HK[/tex] è un sottogruppo di G (questo è un fatto noto e facile da dimostrare: prova). Quindi HK è un sottogruppo di G di ordine [tex]|HK|=|H||K|/|H \cap K|=|H||K|=11\cdot 3 = 33[/tex], e l'esistenza è provata.[/quote]
Provo a tentare una dimostrazione:
Per dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ devo prima dimostrare che se $H$ è normale lo sarà pure $HK$ a prescidere della normalità di $K$.
Infatti se $H$ è normale $HK$ $=$ $uuu_(k in K)$ $Hk$ $=$ $uuu_(k in K)$ $kH$ $=$ $KH$
Detto questo otteniamo che se $HK = KH$ e $ HK sub G$,
- $1 = 1*1 in HK$;
- $AA$ $h, h' in H$ e $k, k' in K$ $=>$ $hk(h'k') = h(h'k')k = (hh')(kk') in HK$;
- $ AA hk in HK$ $:$ $(hk)^-1$ $=$ $k^(-1)h^(-1)$ $=$ $h^(-1)k^(-1)$ $in HK$.
Che per la definizione di sottogruppo risulta:
$HK$ $<$ $G$
"emanuele78":No, sbagliato. Non e' detto che HK sia normale. Comunque non c'entra con quanto segue.
Per dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ devo prima dimostrare che se $H$ è normale lo sarà pure $HK$ a prescidere della normalità di $K$.
- $AA$ $h, h' in H$ e $k, k' in K$ $=>$ $hk(h'k') = h(h'k')k = (hh')(kk') in HK$;No! Il fatto che sia [tex]HK=KH[/tex] non ti dice che [tex]hk=kh[/tex] per ogni [tex]h \in H,\ k \in K[/tex], ti dice che per ogni [tex]h \in H,\ k \in K[/tex] esistono [tex]h' \in H,\ k' \in K[/tex] tali che [tex]hk=k'h'[/tex].
- $ AA hk in HK$ $:$ $(hk)^-1$ $=$ $k^(-1)h^(-1)$ $=$ $h^(-1)k^(-1)$ $in HK$.
Riprova.
"Martino":No, sbagliato. Non e' detto che HK sia normale. Comunque non c'entra con quanto segue.
[quote="emanuele78"]Per dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ devo prima dimostrare che se $H$ è normale lo sarà pure $HK$ a prescidere della normalità di $K$.
- $AA$ $h, h' in H$ e $k, k' in K$ $=>$ $hk(h'k') = h(h'k')k = (hh')(kk') in HK$;No! Il fatto che sia [tex]HK=KH[/tex] non ti dice che [tex]hk=kh[/tex] per ogni [tex]h \in H,\ k \in K[/tex], ti dice che per ogni [tex]h \in H,\ k \in K[/tex] esistono [tex]h' \in H,\ k' \in K[/tex] tali che [tex]hk=k'h'[/tex].
- $ AA hk in HK$ $:$ $(hk)^-1$ $=$ $k^(-1)h^(-1)$ $=$ $h^(-1)k^(-1)$ $in HK$.
Riprova.[/quote]
Si è vero non è detto che $HK$ sia normale, tuttavia i gruppi $H$ e $K$ commutano globalmente quindi $HK$ $=$ $KH$ .
Per quanto riguarda la dimostrazione sarò sincero l'ho trovata. Non ci sarei riuscito in tempi umani.
In particolare la dimostrazione che ho trovato riguarda la seguente asserzione:
Siano $H$, $K$ due sottogruppi di $G$. Risulta:
$HK$ $=$ $KH$ $<=>$ $HK$ è un sottogruppo di $G$
Per dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ devo dimostrare inzialmente che $HK sube KH$ e che $KH sube HK$. Siano $hk$ $in$ $HK$. Allora $(hk)^-1$ $=$ $k^(-1),h^(-1)$ $in HK$. Quindi $k^(-1)h^(-1)$ $=$ $h_1k_1 in HK$. Allora $hk$ $=$ $((hk)^-1)^(-1)$ $=$ $(h_1,k_1)^(-1)$ $=$ $k_1^(-1)h_1^(-1)$ $in$ $KH$. In maniera analoga si dimostra che $kh$ $in$ $KH$.
Bisogna verificare che $ AA hk, h_1k_1$ $in$ $HK$, risulta: $(hk)(h_1k_1)^-1$ $in$ $HK$. Infatti: $(hk)(h_1k_1)^-1$ $=$ $hkk_1^(-1)h_1^(-1)$ $=$ $h(kk_1^(-1))h_1^(-1)$ $=$ $hk_2h_1^(-1)$ $=$ $h(k_2h_1^(-1))$ $=$ $h(h_2k_3)$ $=$ $(hh_2)k_3$ $in$ $HK$.
Grazie.
"emanuele78":Ma questa non è l'ipotesi da cui parti?
...Siano $H$, $K$ due sottogruppi di $G$. Risulta:
$HK$ $=$ $KH$ $<=>$ $HK$ è un sottogruppo di $G$
Per dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ devo dimostrare inzialmente che $HK sube KH$ e che $KH sube HK$...
"j18eos":Ma questa non è l'ipotesi da cui parti?
[quote="emanuele78"]...Siano $H$, $K$ due sottogruppi di $G$. Risulta:
$HK$ $=$ $KH$ $<=>$ $HK$ è un sottogruppo di $G$
Per dimostrare che $HK$ è un sottogruppo di $G$ devo dimostrare inzialmente che $HK sube KH$ e che $KH sube HK$...
[/quote]Vista la doppia implicazione, ho, erroneamente invertito le dimostrazioni. Nel libro si afferma che se $HK$ $=$ $KH$ allora $HK$ è un sottogruppo di $G$ (Chiaramente $H$, $K$ sottogruppi di $G$), e vale anche il viceversa, cioè si può affermare che se $HK$ è sottoinsieme di $G$ allora $HK$ $=$ $KH$.
Aggiungo che effettivamente questo è un importante risultato per affermare l'esistenza di un sottogruppo.
Ma cosa mi dite invece del teorema (già da me enunciato)che afferma:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Mi sembra che sia utile a dimostrarne l'esistenza nonchè l'unicità. (dei sottogruppi intendo)
Le sue implicazioni risolvono molteplici problematiche relative ai gruppi.
Voi cosa ne pensate?
"emanuele78":Mi sembra che dica semplicemente che dato il prodotto diretto [tex]G = G_1 \times ... \times G_n[/tex] (e' questo che intendi per [tex]G_1 \cdot ... \cdot G_n[/tex], no?), i sottogruppi [tex]H_1=G_1 \times 1 \times ... \times 1[/tex], [tex]H_2=1 \times G_2 \times 1 \times ... \times 1[/tex], ..., [tex]H_n=1 \times ... \times 1 \times G_n[/tex] hanno le proprieta' che elenchi.
Ma cosa mi dite invece del teorema (già da me enunciato)che afferma:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Mi sembra che sia utile a dimostrarne l'esistenza nonchè l'unicità. (dei sottogruppi intendo)
Le sue implicazioni risolvono molteplici problematiche relative ai gruppi.
Quali sono le problematiche di cui parli risolte da questo?
"Martino":Mi sembra che dica semplicemente che dato il prodotto diretto [tex]G = G_1 \times ... \times G_n[/tex] (e' questo che intendi per [tex]G_1 \cdot ... \cdot G_n[/tex], no?), i sottogruppi [tex]H_1=G_1 \times 1 \times ... \times 1[/tex], [tex]H_2=1 \times G_2 \times 1 \times ... \times 1[/tex], ..., [tex]H_n=1 \times ... \times 1 \times G_n[/tex] hanno le proprieta' che elenchi.
[quote="emanuele78"]Ma cosa mi dite invece del teorema (già da me enunciato)che afferma:
Se $G = G_1*G_2*G_3.......*G_n$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i = 1,2.....n$ tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2*H_3*.......H_n$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Mi sembra che sia utile a dimostrarne l'esistenza nonchè l'unicità. (dei sottogruppi intendo)
Le sue implicazioni risolvono molteplici problematiche relative ai gruppi.
Quali sono le problematiche di cui parli risolte da questo?[/quote]
Per problematiche intendo i quesiti dei problemi sui gruppi, come nel caso da me postato.
Voglio dire se ad esempio in un'esame abbiamo un problema analogo a quello da me postato, basta conoscere tale asserto per risolvere l'esercizio nella sua interezza, piuttosto che conoscere molteplici teoremi per dimostrare esistenza ed unicità dei sottogruppi.
Poi chiaramente, grazie a questo enorme thread oggi sono consapevole di molte più cose sui gruppi rispetto a 10 gg fa.
"emanuele78":Mi dici esattamente dove si usa per risolvere il problema da te postato?
Per problematiche intendo i quesiti dei problemi sui gruppi, come nel caso da me postato.
"Martino":Mi dici esattamente dove si usa per risolvere il problema da te postato?[/quote]
[quote="emanuele78"]Per problematiche intendo i quesiti dei problemi sui gruppi, come nel caso da me postato.
Io devo dimostrare che $G$ di ordine $66$ contiene un sottogruppo di ordine $33$ e questo è unico.
Allora se io prendo il Gruppo $K_33$ di ordine $33$ e $K_2$ di ordine $2$, tali che $G$ $=$ $K_33$$*$$K_2$.
Allora posso affermare in base a quel teorema che in $G$ esistono i sottogruppi $H_33$ e $H_2$ che sono isoformi a $K_33$ e $K_2$.
"emanuele78":No aspetta, io proprio non riesco a seguirti.
Io devo dimostrare che $G$ di ordine $66$ contiene un sottogruppo di ordine $33$ e questo è unico.
Allora se io prendo il Gruppo $K_33$ di ordine $33$ e $K_2$ di ordine $2$, tali che $G$ $=$ $K_33$$*$$K_2$.
Allora posso affermare in base a quel teorema che in $G$ esistono i sottogruppi $H_33$ e $H_2$ che sono isoformi a $K_33$ e $K_2$.
Cosa intendi con [tex]K_{33}[/tex] e [tex]K_2[/tex]? E cosa intendi con [tex]K_{33} \cdot K_2[/tex]? Il puntino [tex]\cdot[/tex] e' il prodotto diretto? Semidiretto? Un prodotto interno? Ma se e' interno allora [tex]K_{33}[/tex] e [tex]K_2[/tex] sono gia' sottogruppi di G. Che sottogruppi sono?
"Martino":No aspetta, io proprio non riesco a seguirti.
[quote="emanuele78"]Io devo dimostrare che $G$ di ordine $66$ contiene un sottogruppo di ordine $33$ e questo è unico.
Allora se io prendo il Gruppo $K_33$ di ordine $33$ e $K_2$ di ordine $2$, tali che $G$ $=$ $K_33$$*$$K_2$.
Allora posso affermare in base a quel teorema che in $G$ esistono i sottogruppi $H_33$ e $H_2$ che sono isoformi a $K_33$ e $K_2$.
Cosa intendi con [tex]K_{33}[/tex] e [tex]K_2[/tex]? E cosa intendi con [tex]K_{33} \cdot K_2[/tex]? Il puntino [tex]\cdot[/tex] e' il prodotto diretto? Semidiretto? Un prodotto interno? Ma se e' interno allora [tex]K_{33}[/tex] e [tex]K_2[/tex] sono gia' sottogruppi di G. Che sottogruppi sono?[/quote]
Alloa si il puntino indica il prodotto. Invece $K_33$ e $K_2$ sono due gruppi scelti in modo tale che il loro prodotto dia $G_66$, ma non significa che sono sottogruppi di $G_66$.
Voglio dire ho scelto due gruppi il cui prodotto da $G_66$, quindi sono che in $G_66$ esistono due sottogruppi isoformi a due gruppi scelti.
"emanuele78":Non capisco. Cosa intendi con [tex]G_{66}[/tex]? E di che tipo di prodotto stai parlando? Diretto? Semidiretto?
Alloa si il puntino indica il prodotto. Invece $K_33$ e $K_2$ sono due gruppi scelti in modo tale che il loro prodotto dia $G_66$, ma non significa che sono sottogruppi di $G_66$.
Voglio dire ho scelto due gruppi il cui prodotto da $G_66$, quindi sono che in $G_66$ esistono due sottogruppi isoformi a due gruppi scelti.Qualsiasi cosa tu intenda con "prodotto" di due gruppi, due gruppi in genere sono sottogruppi del loro "prodotto".
"Martino":Non capisco. Cosa intendi con [tex]G_{66}[/tex]? E di che tipo di prodotto stai parlando? Diretto? Semidiretto?
[quote="emanuele78"]Alloa si il puntino indica il prodotto. Invece $K_33$ e $K_2$ sono due gruppi scelti in modo tale che il loro prodotto dia $G_66$, ma non significa che sono sottogruppi di $G_66$.
Voglio dire ho scelto due gruppi il cui prodotto da $G_66$, quindi sono che in $G_66$ esistono due sottogruppi isoformi a due gruppi scelti.Qualsiasi cosa tu intenda con "prodotto" di due gruppi, due gruppi in genere sono sottogruppi del loro "prodotto".[/quote]
Innanzitutto grazie della pasienza, e potrebbe essere che sbaglio a scrivere. Tuttavia a quanto ho capito l'asserto del mio libro, non da per scontato che dati due gruppi essi generano un'altro gruppo, se no non capirei la necessità della proposizione (non teorema come erroneamente da me indicato).
Il pensiero è il seguente (copiato direttamente dal libro)
Sul gruppo prodotto $G$ $=$ $G_1$ $X$ $G_2$ sono definiti due omomorfismi suriettivi
pr$_i$ $:$ $G$ $ ->$ $G_i$, pr$_i$$(g_1,g_2)$ $=$ $g_i$ $i$ $=$ $1,2$
detti rispettivamente, la prima e la seconda proiezione. Il risultato seguente mostra come i gruppi $G_1$ e $G_2$ possano essere ricostruiti dal prodotto.
Proposizione. Sia $G$ $=$ $G_1$ $X$ $G_2$ il prodotto dei gruppi $G_1$ e $G_2$. Allora esistono sottogruppi $H_i$ in $G$, $i =1,2$, tali che:
1. $H_i ~= G_i$
2. $H_i$ è normale in $G$
3. $G =H_1*H_2$
4. $H_1 nn H_2 = {1}$ (sono a due a due coprimi)
Dim Poniamo $H_1$ $=$ ${(g_1,1)}$ $=$ $ker$ (pr$_2$) e $H_2$ $=$ ${(1,g_2)}$ $=$ $ker$ (pr$_1$). I punti 1,2,4 sono evidenti. Per il punto 3 basta osservare che $(g_1,g_2)$ $=$ $(g_1,1)(1,g_2)$
Fine
Successivamente si dimostra che tale proposizione è vera anche per $i = n$
In pratica il mio ragionamento, indotto dalla seguente proposizione è, prendo due gruppi di cui so che il prodtto è un gruppo $G$ di ordine $66$, devo dimostrare l'esistenza e l'unicità di certi sottogruppi in $G$, data la proposizione sopra mi vado a scegliere i due gruppi che so essere isoformi ai sottogruppi in $G$ da me cercati. Nel caso vado a prendermi i due gruppi $G_33$ di ordine $33$ e $G_2$ di ordine $2$. E quindi mi ritrovo che in $G$ è dimostrata la presenza dei sottogruppi $H_33$ di ordine $33$ e $H_2$ di ordine $2$ in quanto isomorfi a $G_33$ e $G_2$.
"emanuele78":Scusa, ma non ci siamo
In pratica il mio ragionamento, indotto dalla seguente proposizione è, prendo due gruppi di cui so che il prodtto è un gruppo $G$ di ordine $66$, devo dimostrare l'esistenza e l'unicità di certi sottogruppi in $G$, data la proposizione sopra mi vado a scegliere i due gruppi che so essere isoformi ai sottogruppi in $G$ da me cercati. Nel caso vado a prendermi i due gruppi $G_33$ di ordine $33$ e $G_2$ di ordine $2$. E quindi mi ritrovo che in $G$ è dimostrata la presenza dei sottogruppi $H_33$ di ordine $33$ e $H_2$ di ordine $2$ in quanto isomorfi a $G_33$ e $G_2$.
Ancora non hai chiarito cosa intendi con [tex]G_{33}[/tex] e [tex]G_2[/tex]. Inoltre sembri voler dimostrare che ogni gruppo di ordine 66 e' un prodotto diretto di un gruppo di ordine 33 e uno di ordine 2, ma questo e' falso: per esempio il gruppo [tex]S_3 \times C_{11}[/tex] (dove [tex]S_3[/tex] e' il gruppo simmetrico su tre oggetti e [tex]C_{11}[/tex] e' il gruppo ciclico di ordine 11) ha ordine 66 ma non e' il prodotto diretto di un gruppo di ordine 2 e uno di ordine 33, perche' i suoi 2-Sylow non sono normali.
Se ho capito male mi spiace, ma secondo me dovresti cercare di dire le cose un po' piu' chiaramente...
"Martino":Scusa, ma non ci siamo
[quote="emanuele78"]In pratica il mio ragionamento, indotto dalla seguente proposizione è, prendo due gruppi di cui so che il prodtto è un gruppo $G$ di ordine $66$, devo dimostrare l'esistenza e l'unicità di certi sottogruppi in $G$, data la proposizione sopra mi vado a scegliere i due gruppi che so essere isoformi ai sottogruppi in $G$ da me cercati. Nel caso vado a prendermi i due gruppi $G_33$ di ordine $33$ e $G_2$ di ordine $2$. E quindi mi ritrovo che in $G$ è dimostrata la presenza dei sottogruppi $H_33$ di ordine $33$ e $H_2$ di ordine $2$ in quanto isomorfi a $G_33$ e $G_2$.
Ancora non hai chiarito cosa intendi con [tex]G_{33}[/tex] e [tex]G_2[/tex]. Inoltre sembri voler dimostrare che ogni gruppo di ordine 66 e' un prodotto diretto di un gruppo di ordine 33 e uno di ordine 2, ma questo e' falso: per esempio il gruppo [tex]S_3 \times C_{11}[/tex] (dove [tex]S_3[/tex] e' il gruppo simmetrico su tre oggetti e [tex]C_{11}[/tex] e' il gruppo ciclico di ordine 11) ha ordine 66 ma non e' il prodotto diretto di un gruppo di ordine 2 e uno di ordine 33, perche' i suoi 2-Sylow non sono normali.
Se ho capito male mi spiace, ma secondo me dovresti cercare di dire le cose un po' piu' chiaramente...[/quote]
Mi spiace che non ci stiamo intendendo, visto l'impegno che ci hai messo tu e altri, di cui sono profondamente riconoscente. Detto questo ho chiaro tanti altri aspetti che prima mi erano totalmente oscuri e in cui ci siamo ritrovati.
Vorrei tentare un ultimo approccio rispetto a quella proposizione.
Praticamente vorrei fare a te e agli altri questa semplice domanda.
Attraverso quella sola proposizione è possibile dimostrare l'esistenza e l'unicità di sottogruppi di un gruppo quando questi è esprimibile come prodotto di gruppi?
Detto in altri termini a che serve quella proposizione? Che informazioni aggiuntive mi da? Dove la applico?
"emanuele78":No, quella "proposizione" e' una semplice osservazione, dice solo (nel caso di due fattori) che in [tex]H \times K[/tex] ci sono i sottogruppi [tex]H \times \{1\}[/tex] e [tex]\{1\} \times K[/tex] e che questi sono isomorfi rispettivamente a [tex]H[/tex] e a [tex]K[/tex].
Attraverso quella sola proposizione è possibile dimostrare l'esistenza e l'unicità di sottogruppi di un gruppo quando questi è esprimibile come prodotto di gruppi?
Detto in altri termini a che serve quella proposizione? Che informazioni aggiuntive mi da? Dove la applico?Non ha una vera utilita', diciamo che si propone di iniziare a capire un po' i prodotti diretti.
Ti faccio un esempio:
(*) Se tutti i sottogruppi di Sylow di un gruppo G sono normali in G allora G e' il prodotto diretto (interno) dei suoi sottogruppi di Sylow.
Non so se nella tua interpretazione delle cose questo sia implicato dalla proposizione di cui parli, sicuramente e' implicato da questa:
Proposizione. Siano G un gruppo finito, e siano [tex]H_1,...,H_n[/tex] sottogruppi normali di G tali che:
1) [tex]H_1 ... H_n = G[/tex] (dove [tex]H_1...H_n[/tex] e' l'usuale prodotto interno, la generalizzazione naturale di [tex]HK:=\{hk\ |\ h \in H,\ k \in K\}[/tex]);
2) [tex](H_1H_2...H_{i-1}H_{i+1}H_{i+2}...H_n) \cap H_i = \{1\}[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex].
Allora [tex]G = H_1...H_n \cong H_1 \times ... \times H_n[/tex], in altre parole G e' il prodotto diretto interno di [tex]H_1,...,H_n[/tex].
Per dimostrare (*) usando questa proposizione osservi semplicemente che 1) vale perche' l'ordine di G e' uguale al prodotto degli ordini dei suoi sottogruppi di Sylow, e 2) vale perche' gli ordini [tex]|H_1H_2...H_{i-1}H_{i+1}H_{i+2}...H_n|[/tex] e [tex]|H_i|[/tex] sono coprimi.
A questo proposito, la 2) non dice che gli ordini [tex]|H_1H_2...H_{i-1}H_{i+1}H_{i+2}...H_n|[/tex] e [tex]|H_i|[/tex] sono coprimi, dice una cosa piu' debole, spero che questo ti sia chiaro.
Te lo dico perche' mi sembra che tu faccia spesso questo tipo di errore (scusa se ho frainteso): se [tex]H \cap K = \{1\}[/tex] non e' detto che [tex]|H|[/tex] e [tex]|K|[/tex] siano coprimi: prendi per esempio [tex]H=\langle (12) \rangle[/tex] e [tex]K=\langle (13) \rangle[/tex] in [tex]G=S_3[/tex].
Vorrei chiarire proprio quest'ultimo aspetto.
Abbiamo per assurdo che esistono due gruppi distinti di ordine $11$ in $G$ di ordine $66$. Il mio prof. per dimostrare appunto che ciò fosse assurdo, scrive che se $H$, $K$ sono di ordine $11$ ma distinti in $G$ allora $H nn K$ $=$ ${1}$. Non mi è chiaro questo aspetto. Può essere perchè i due gruppi, per assurdo distinti, hanno in comune solo l'identità?
Infatti da tale asserzione si perveniva all'assurdo, poiche se $H$, $K$ sono distinti in $G$ l'ordine di $HK$ $=$ $(|H|*|K|)$ $/$ $H nn K$ $=>$ $|HK|$ $=$ $121$, assurdo, avevamo supposto che $G$ avesse come ordine $66$. $=>$ esiste un solo sottogruppo di ordine $11$.
Proprio come hai affermato tu, anche da quella dimostrazione del mio prof. non era detto che se $H nn K$ $=$ ${1}$ i due fossero coprimi (infatti non lo erano) ma erano distinti, cosa diversa, appunto.
Abbiamo per assurdo che esistono due gruppi distinti di ordine $11$ in $G$ di ordine $66$. Il mio prof. per dimostrare appunto che ciò fosse assurdo, scrive che se $H$, $K$ sono di ordine $11$ ma distinti in $G$ allora $H nn K$ $=$ ${1}$. Non mi è chiaro questo aspetto. Può essere perchè i due gruppi, per assurdo distinti, hanno in comune solo l'identità?
Infatti da tale asserzione si perveniva all'assurdo, poiche se $H$, $K$ sono distinti in $G$ l'ordine di $HK$ $=$ $(|H|*|K|)$ $/$ $H nn K$ $=>$ $|HK|$ $=$ $121$, assurdo, avevamo supposto che $G$ avesse come ordine $66$. $=>$ esiste un solo sottogruppo di ordine $11$.
Proprio come hai affermato tu, anche da quella dimostrazione del mio prof. non era detto che se $H nn K$ $=$ ${1}$ i due fossero coprimi (infatti non lo erano) ma erano distinti, cosa diversa, appunto.
"emanuele78":Ogni elemento di H diverso da 1 genera H, e lo stesso vale per K (hanno ordine primo). Quindi H e K essendo distinti non possono avere elementi non identici in comune. Questo argomento usa pesantemente il fatto che H e K hanno ordine primo.
Vorrei chiarire proprio quest'ultimo aspetto.
Abbiamo per assurdo che esistono due gruppi distinti di ordine $11$ in $G$ di ordine $66$. Il mio prof. per dimostrare appunto che ciò fosse assurdo, scrive che se $H$, $K$ sono di ordine $11$ ma distinti in $G$ allora $H nn K$ $=$ ${1}$. Non mi è chiaro questo aspetto. Può essere perchè i due gruppi, per assurdo distinti, hanno in comune solo l'identità?
Mi chiedevo se fosse possibile dimostrare l'esistenza e l'unicità del sottogruppo di ordine $33$ in $G$ di ordine $66$, utilizzando i teoremi dell'omomorfismo.
E' possibile?
E' possibile?
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