Unicità di un sottogruppo con un certo ordine

[Amartya]

Devo dimostrare che dato un gruppo di ordine 66 (non si sa se ciclico) esso contiene un unico sottogruppo di ordine 11.
Il fatto che non si sa se ciclico mi rende la vita difficile nel dimostrare l'assunto.

Avete dei consigli?


Grazie in anticipo

Emanuele

[mistake89]

Hai provato ad usare Sylow?

[j18eos]

Quoto l'indizio di mistake89!

[Amartya]

Dal teorema di Sylow so che se $|G|$ è l'ordinde del gruppo $G$, sia $p^n$ la massima potenza di $p$ che divide $G$, allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p^i$ per ogni $i = 1........n$. Traslando tutto al nostro caso il gruppo $G$ di ordine $66$ contiene un sottogruppo di ordine $11$. $11$ è un divisore di $66$ ed è anche un $p$ numero primo. Inoltre la massima potenza di $p$ che divide $G$ è $p^1$. Ok allora potrei concludere se dal teorema di Sylow so che quel sottogruppo di ordine $p^i$ è unico. Il teorema afferma che ha $un$ sottogruppo, ma non mi dice nulla sulla sua unicità.

Dove sto sbagliando?

Grazie

Emanuele

[j18eos]

Controlli quanti [tex]$11$[/tex]-Sylow possono esservi in un gruppo di ordine [tex]$66$[/tex].

[Amartya]

"j18eos":Controlli quanti [tex]$11$[/tex]-Sylow possono esservi in un gruppo di ordine [tex]$66$[/tex].

Intanto grazie della risposta.

Esattamente il quesito che mi poni è quello a cui ero arrivato solo che non ero sicuro. Per essere chiari, fattorizzando $66$ ottengo $2*3*11$ quindi ottengo solo un $11-Sylow$ quindi il sottogruppo di ordine $11$ è unico.

Ora al punto 2 dell'esercizio devo dimostrare che il sottogruppo di ordine $33$ è unico. $33$ non è primo però osservo che i fattori primi che lo compongono $11$ e $3$ sono unici posso dedurre che essendo unici i fattori che compongono il sottogruppo di $33$ allora anche il sottogruppo $33$ di $G$ è unico?

Forse ho detto stupidaggini, diciamo che ci ho provato.

Grazie

Emanuel

[j18eos]

Ma hai dimostrato che vi è anche un solo [tex]$3$[/tex]-Sylow?

[Amartya]

"j18eos":Ma hai dimostrato che vi è anche un solo [tex]$3$[/tex]-Sylow?

Si se in $G$ di ordine $66$ il divisore $3^i$ implica che $i = 1$ pertanto in $G$ vi è solo un $3-Sylow$. Potrei a questo punto concludere che essendo unici i sottogruppi di $3-Sylow$ e di $11-Sylow$ allora il sottogruppo di ordine $33$ di $G$ è unico?

[j18eos]

Ma conosci la formula per determinare il possibile numero dei p-Sylow in un gruppo finito? -_-

[Amartya]

"j18eos":Ma conosci la formula per determinare il possibile numero dei p-Sylow in un gruppo finito? -_-

Posta così la domanda credo di non conoscere la formula.

Sono un po confuso.

[j18eos]

Sia [tex]$G$[/tex] un gruppo finito di ordine [tex]$m$[/tex] e [tex]$p$[/tex] un suo divisore primo, il numero [tex]$n_p$[/tex] dei suoi [tex]$p$[/tex]-Sylow soddisfa la seguente equivalenza [tex]$n_p\equiv1(\mathrm{Mod}\,p)$[/tex] ed [tex]$n_p$[/tex] divide [tex]$m$[/tex].

[Amartya]

Si ma cosi significa che il numero dei suoi $p$-Sylow è dato da $n = 1 + 11t$ e sarebbero più di $1$ se non per $t = 0$

[Amartya]

"emanuele78":Si ma cosi significa che il numero dei suoi $p$-Sylow è dato da $n = 1 + 11t$ e sarebbero più di $1$ se non per $t = 0$

Ritornando sull'argomento posso affermare che se $p$ è uguale $11$ e $G$ ha ordine $66$ allora posso dedurre che una soluzione esiste solo per $t = 0$ infatti per $t>0$ , l'ordine del $p$-gruppo sarebbe maggiore dell'ordine del gruppo $G$ e quindi il sottogruppo di ordine $11$ è unico. D'altra parte per $p = 3$ esistono soluzioni per $t>0$ quindi il sottogruppo di ordine $3$ non è unico. Io devo cmq dimostare che è unico il sottogruppo di ordine $33$ come posso farlo se $33$ non è primo?

[j18eos]

Ma leggi bene il mio intervento corretto! -_-

[Amartya]

"j18eos":Ma leggi bene il mio intervento corretto! -_-

Forse ho capito $n_p$ divide $m$. Quindi se così stanno le cose anche il sottogruppo di ordine $3$ è unico, visto che per ogni $t$ , $n_p$ divide $m$ solo se $n_p$ è uguale a $1$. Quindi essendo unici i sottogruppi di ordine $3$ e $11$ è unico anche il sottogruppo di ordine $3*11$. Dico bene?

Grazie per l'aiuto.

[j18eos]

Devi dimostrare che il sottogruppo di ordine [tex]$33$[/tex] esiste: come fai?

Prego, di nulla!

[Amartya]

"j18eos":Devi dimostrare che il sottogruppo di ordine [tex]$33$[/tex] esiste: come fai?

Prego, di nulla!

Ma il mio intento era dimostrare seguendo il vostro consiglio iniziale che i sottogruppi di ordine $3$ e $11$ sono unici (per capirsi il mio ragionamento è corretto quello appena fatto, lo dico per mettere alcuni punti fermi in tutta la costruzione della dimostrazione) e quindi anche il sottogruppo $3*11$ è unico.

[j18eos]

Tutto ok, ma devi dimostrare che un sottogruppo di ordine [tex]$33$[/tex] esista!

E.g.: in [tex]$\mathbb{A}_4$[/tex] non esiste un sottogruppo di ordine [tex]$6$[/tex] eppure esso è generato da [tex]$C_2$[/tex] e [tex]$C_3$[/tex] il cui prodotto degli ordini non è [tex]$12$[/tex] ma bensì [tex]$6$[/tex].

Ti suggerisco di guardare i prodotti diretti interni di sottogruppi in un gruppo!

P.S.: Ma che riporti a fare le risposte che ti danno?

[Amartya]

"j18eos":Tutto ok, ma devi dimostrare che un sottogruppo di ordine [tex]$33$[/tex] esista!

E.g.: in [tex]$\mathbb{A}_4$[/tex] non esiste un sottogruppo di ordine [tex]$6$[/tex] eppure esso è generato da [tex]$C_2$[/tex] e [tex]$C_3$[/tex] il cui prodotto degli ordini non è [tex]$12$[/tex] ma bensì [tex]$6$[/tex].

Ti suggerisco di guardare i prodotti diretti interni di sottogruppi in un gruppo!

P.S.: Ma che riporti a fare le risposte che ti danno?

Ora certi i sottogruppi $H$ di ordine $3$, e $K$ di ordine $11$ di $G$ di ordine $66$, per il teorema di Cauchy, risulta che il sottogruppo $HK$ ha ordine $11*3 = 33$, infatti essendo $H$, $K$ dei $p$-gruppi, ne consegue con certezza che $(11,3)=1$ , ora poichè $33$ è un divisore di $66$, $=>$ che $HK$ è un sottogruppo di $G$ in quanto rispetta il teorema di Lagrange.
Tra l'altro essendo $HK$ il prodotto di due suoi sottogruppi esiste anche un omomorfismo iniettivo tra $HK$ $->$ $H$$*$$K$.
Quindi ricapitolando, ho dapprima dimostrato che il prodotto di $H$, $K$ sottogruppi di $G$ di ordine $66$, da come risultato ad un gruppo di ordine $33$, essendo l'ordine di questo gruppo un divisore di $66$ allora $HK$ è contenuto in $G$. Essendo infine i sottogruppi $H$ e $K$ unici, ed essendoci tra $HK$ e $H$ e $K$ un omomorfismo iniettivo allora anche $HK$ è unico.

Spero che ci siamo.

Mi avrebbe reso semplice la vita sapere se $G$ fosse stato abeliano. In tal caso era certo che un sottogruppo di $G$ di ordine $33$ appartiene a $G$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"emanuele78":Ora certi i sottogruppi $H$ di ordine $3$, e $K$ di ordine $11$ di $G$ di ordine $66$, per il teorema di Cauchy, risulta che il sottogruppo $HK$ ha ordine $11*3 = 33$, infatti essendo $H$, $K$ dei $p$-gruppi, ne consegue con certezza che $(11,3)=1$ , ora poichè $33$ è un divisore di $66$, $=>$ che $HK$ è un sottogruppo di $G$ in quanto rispetta il teorema di Lagrange.

No, attenzione: se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono sottogruppi di un gruppo [tex]G[/tex] in generale [tex]HK[/tex] non e' un sottogruppo di G.

Prendi per esempio [tex]G=S_3[/tex] e [tex]H=\langle (12) \rangle,\ K= \langle (23) \rangle[/tex]. Si ha allora che [tex]HK = \{1,(12),(23),(123)\}[/tex] non e' un sottogruppo di G in quanto [tex](23)(12) = (132) \not \in HK[/tex].

[Amartya]

"Martino":[quote="emanuele78"]Ora certi i sottogruppi $H$ di ordine $3$, e $K$ di ordine $11$ di $G$ di ordine $66$, per il teorema di Cauchy, risulta che il sottogruppo $HK$ ha ordine $11*3 = 33$, infatti essendo $H$, $K$ dei $p$-gruppi, ne consegue con certezza che $(11,3)=1$ , ora poichè $33$ è un divisore di $66$, $=>$ che $HK$ è un sottogruppo di $G$ in quanto rispetta il teorema di Lagrange.

No, attenzione: se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono sottogruppi di un gruppo [tex]G[/tex] in generale [tex]HK[/tex] non e' un sottogruppo di G.

Prendi per esempio [tex]G=S_3[/tex] e [tex]H=\langle (12) \rangle,\ K= \langle (23) \rangle[/tex]. Si ha allora che [tex]HK = \{1,(12),(23),(123)\}[/tex] non e' un sottogruppo di G in quanto [tex](23)(12) = (132) \not \in HK[/tex].[/quote]

Condivido la tua oservazione, di cui hai anche fornito un esempio. Però nel caso particolare credo che sia così e lo dimostro dicendo che essendo l'ordine del gruppo $HK$ un divisore del gruppo $G$ rispetta il teorema di Lagrange che impone la condizione necessaria sull'esistenza di un sottogruppo, per cui esiste.

Almeno questo mi sembra sufficiente per dimostrare l'esistenza del sottogruppo di ordine $33$.