Una proprietà della categoria prodotto
Questa proprietà della categoria prodotto stabilisce che le proiezioni $P$ e $Q$ sono "universali" tra le coppie di funtori verso $B$ e $C$.
Mi potete specificare il senso esatto di questa affermazione?
Risposte
Una postilla per iniziare: la tua è una domanda sul prodotto categoriale e non sul prodotto di categorie...
Per ogni oggetto \(\displaystyle D\) e morfismi \(\displaystyle R:D\to B\) e \(\displaystyle T:D\to C\) hai che esiste un unico morfismo \(\displaystyle F:D\to B\times C\) che renda commutativi i diagrammi triangolari; se vuoi, puoi dire che il cono \(\displaystyle(B\times C,P,Q)\) sulla coppia di oggetti \(\displaystyle B\) e \(\displaystyle C\) è universale proprio per la proprietà di sopra!
Scrivendo in maniera più che minimale: meglio di così non si può fare... il classico esempio è il prodotto categoriale nella categoria \(\displaystyle\mathbf{Set}\) degli insiemi i cui morfismi sono le classiche funzioni!
Per ogni oggetto \(\displaystyle D\) e morfismi \(\displaystyle R:D\to B\) e \(\displaystyle T:D\to C\) hai che esiste un unico morfismo \(\displaystyle F:D\to B\times C\) che renda commutativi i diagrammi triangolari; se vuoi, puoi dire che il cono \(\displaystyle(B\times C,P,Q)\) sulla coppia di oggetti \(\displaystyle B\) e \(\displaystyle C\) è universale proprio per la proprietà di sopra!
Scrivendo in maniera più che minimale: meglio di così non si può fare... il classico esempio è il prodotto categoriale nella categoria \(\displaystyle\mathbf{Set}\) degli insiemi i cui morfismi sono le classiche funzioni!
1) Non capisco la precisazione che hai fatto distinguendo prodotto categoriale da prodotto di categorie: non sono forse la stessa cosa, ossia l'operazione binaria prodotto tra due categorie?
2) Il testo a cui mi sto riferendo è quello di Mac Lane, e il dubbio riguarda specificamente (anche se non l'avevo precisato) l'affermazione
Più in particolare ancora, l'attribuzione di "universalità" a $P$ e $Q$. Il motivo è che non avevo ben capito se "universli" facesse riferimento ad un concetto della teoria, il quale, essendo trattato solo nel successivo capitolo, mi era risultato criptico.
3) Con
intendi dire la tripla ["cono" sinonimo di "tripla"?] $(B×C,P,Q)$ intesa quale oggetto nell'opportuna categoria i cui oggetti siano $(D,R,T)$, con $R:D \rightarrow B$ e $T:D \rightarrow C$, e tale che per ogni due oggetti in essa, $(D,R,T)$ e $(D',R',T')$, i morfismi siano i funtori $F: D \rightarrow D'$ tali che $R'F=R$ e $T'F=T$?
4) Continuo ad avere il dubbio sul significato del termine "universali": nel testo che ho citato esso viene riferito a $P$ e $Q$ e non alla tripla $(B×C,P,Q)$. In secondo luogo, da quanto affermi, mi sembra di capire che "universale" faccia riferimento al fatto che la tripla indicata sia terminale (nella categoria descritta in (3)). Per questo mi viene da pensare (rimanendo ancorato al significato letterale del termine "universale"), che si voglia indicare il fatto che $P$ e $Q$ (cioè l'oggetto che questi caratterizzano, insieme alla categoria prodotto) risultino tali da essere collegati a tutti i restanti oggetti
5) Se le cose stanno così, mi domando perché tu abbia aggiunto
per specificare ulteriormente il significato del termine "universali": sembra che tu voglia alludere ad un obiettivo di rendimento in termini di efficacia (non saprei dire se anche di efficienza)... Ma rispetto a cosa? la tripla indicata, non potrebbe forse essere rimpiazzata all'interno della categoria definita in (3), da un'altra (sempre terminale)? O forse tale efficacia fa riferimento al fatto che venga inglobata ogni possibile $D$, e dunque ogni tripla, ossia al fatto che soddisfacendo tale proprietà di "universalità" o "tutto", $P$ e $Q$ (insieme a $B×C$), risultino efficaci, cioè massimizzino il rendimento numerico del risultato atteso (non saprei dire tuttavia se col minimo sforzo)?
Molto obbligato se mi si chiariscono questi dubbi.
2) Il testo a cui mi sto riferendo è quello di Mac Lane, e il dubbio riguarda specificamente (anche se non l'avevo precisato) l'affermazione
$P$ e $Q$ sono "universali" tra le coppie di funtori $R$ e $T$
Più in particolare ancora, l'attribuzione di "universalità" a $P$ e $Q$. Il motivo è che non avevo ben capito se "universli" facesse riferimento ad un concetto della teoria, il quale, essendo trattato solo nel successivo capitolo, mi era risultato criptico.
3) Con
puoi dire che il cono $(B×C,P,Q)$ sulla coppia di oggetti $B$ e $C$ ...
intendi dire la tripla ["cono" sinonimo di "tripla"?] $(B×C,P,Q)$ intesa quale oggetto nell'opportuna categoria i cui oggetti siano $(D,R,T)$, con $R:D \rightarrow B$ e $T:D \rightarrow C$, e tale che per ogni due oggetti in essa, $(D,R,T)$ e $(D',R',T')$, i morfismi siano i funtori $F: D \rightarrow D'$ tali che $R'F=R$ e $T'F=T$?
4) Continuo ad avere il dubbio sul significato del termine "universali": nel testo che ho citato esso viene riferito a $P$ e $Q$ e non alla tripla $(B×C,P,Q)$. In secondo luogo, da quanto affermi, mi sembra di capire che "universale" faccia riferimento al fatto che la tripla indicata sia terminale (nella categoria descritta in (3)). Per questo mi viene da pensare (rimanendo ancorato al significato letterale del termine "universale"), che si voglia indicare il fatto che $P$ e $Q$ (cioè l'oggetto che questi caratterizzano, insieme alla categoria prodotto) risultino tali da essere collegati a tutti i restanti oggetti
5) Se le cose stanno così, mi domando perché tu abbia aggiunto
meglio di così non si può fare
per specificare ulteriormente il significato del termine "universali": sembra che tu voglia alludere ad un obiettivo di rendimento in termini di efficacia (non saprei dire se anche di efficienza)... Ma rispetto a cosa? la tripla indicata, non potrebbe forse essere rimpiazzata all'interno della categoria definita in (3), da un'altra (sempre terminale)? O forse tale efficacia fa riferimento al fatto che venga inglobata ogni possibile $D$, e dunque ogni tripla, ossia al fatto che soddisfacendo tale proprietà di "universalità" o "tutto", $P$ e $Q$ (insieme a $B×C$), risultino efficaci, cioè massimizzino il rendimento numerico del risultato atteso (non saprei dire tuttavia se col minimo sforzo)?
Molto obbligato se mi si chiariscono questi dubbi.
Il prodotto di categorie, per analogia al prodotto di insiemi, consiste nel costruire una nuova categoria a partire da categorie date! E non aggiungo altro... perché non so altro in merito 
Il prodotto categoriale, consiste nel prendere due oggetti \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) di una categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\) e costruire un altro oggetto \(\displaystyle A\times B\) della categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\).
Al di là di cosa si stia costruendo, il come\dove\perché si costruisca: bisogna capire se questo oggetto esiste!
Esempio idiot: considerata la categoria con \(\displaystyle 2\) soli oggetti \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\), ove:
\[
\hom(A,A)=\{id_A\};\,\hom(B,B)=\{id_B\};\\
\hom(A,B)=\hom(B,A)=\emptyset.
\]
si capisce a priori che con \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) non puoi costruire un altro oggetto in tale categoria da chiamare prodotto!
Ci siamo sin qui?
Il prodotto categoriale, consiste nel prendere due oggetti \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) di una categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\) e costruire un altro oggetto \(\displaystyle A\times B\) della categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\).
Al di là di cosa si stia costruendo, il come\dove\perché si costruisca: bisogna capire se questo oggetto esiste!
Esempio idiot: considerata la categoria con \(\displaystyle 2\) soli oggetti \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\), ove:
\[
\hom(A,A)=\{id_A\};\,\hom(B,B)=\{id_B\};\\
\hom(A,B)=\hom(B,A)=\emptyset.
\]
si capisce a priori che con \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) non puoi costruire un altro oggetto in tale categoria da chiamare prodotto!
Ci siamo sin qui?
Aggiungerei che il prodotto se anche esiste non è detto sia unico; ma si può dimostrare (ed è un esercizio facile e divertente) che se in una categoria \(\mathbf{C}\), data una famiglia di oggetti \(A_i\), se \(P\) e \(Q\) sono prodotti in \(\mathbf{C}\) degli \(A_i\), allora \(P\) e \(Q\) sono equivalenti in \(\mathbf{C}\) (ovvero esistono due morfismi \(f : P \to Q\) e \(g : Q \to P\) tali che \(fg = \mathbf{1}_Q\) e \(gf = \mathbf{1}_P\)).
Non sono un esperto del settore, comunque dire universale significa essere iniziale/terminale in una particolare categoria.
Nel caso del prodotto, dati due oggetti \(A, B : \mathcal{C}\) puoi costruire una categoria che ha per oggetti oggetti di \(\mathcal{C}\) dotati di una coppia di frecce(usualmente dette proiezioni) verso \(A\) e \(B\) (usualmente detti fattori del prodotto) e per morfismi diagrammi come quello del tuo disegno.
L'oggetto \(\displaystyle (A \times B, \pi_A, \pi_B)\) per cui per ogni oggetto di questa categoria esiste un unico morfismo verso \((A \times B, \pi_A, \pi_B)\) è detto prodotto[rifacendomi al tuo disegno, per ogni \(D\) dotato del suo \(R\), \(T\), esiste un unico \(F : D \to A \times B\) tale che il diagramma commuti].
Sintetizzando, \(A \times B\) è terminale(ed ecco quindi spiegata la sua costruzione universale).
Come tutti gli oggetti iniziali/terminali non è detto che esista e sia unico, ma se esiste allora è unico a meno di isomorfismi unici.
Nel tuo caso il prodotto è tra categorie, che stanno nella categoria delle categorie, quindi si tratta sempre di prodotti tra oggetti di una categoria(solo che chiama i morfismi "funtori").
Ti consiglio di dare un'occhiata qua.
Nel caso del prodotto, dati due oggetti \(A, B : \mathcal{C}\) puoi costruire una categoria che ha per oggetti oggetti di \(\mathcal{C}\) dotati di una coppia di frecce(usualmente dette proiezioni) verso \(A\) e \(B\) (usualmente detti fattori del prodotto) e per morfismi diagrammi come quello del tuo disegno.
L'oggetto \(\displaystyle (A \times B, \pi_A, \pi_B)\) per cui per ogni oggetto di questa categoria esiste un unico morfismo verso \((A \times B, \pi_A, \pi_B)\) è detto prodotto[rifacendomi al tuo disegno, per ogni \(D\) dotato del suo \(R\), \(T\), esiste un unico \(F : D \to A \times B\) tale che il diagramma commuti].
Sintetizzando, \(A \times B\) è terminale(ed ecco quindi spiegata la sua costruzione universale).
Come tutti gli oggetti iniziali/terminali non è detto che esista e sia unico, ma se esiste allora è unico a meno di isomorfismi unici.
Nel tuo caso il prodotto è tra categorie, che stanno nella categoria delle categorie, quindi si tratta sempre di prodotti tra oggetti di una categoria(solo che chiama i morfismi "funtori").
Ti consiglio di dare un'occhiata qua.
Grazie a tutti e tre. In effetti il discorso sull'efficienza non c'entra a nulla: efficiente in rapporto a che? Il senso di "migliore" è riposto invece in quello di "generale" (universale).
Il prodotto categoriale è inoltre una nozione più ampia che ingloba quella presentata nel testo che sto leggendo (e credo, avendo sbirciato nell'indice, che non venga trattato)
Inoltre bis, il prodotto, se esiste, risulta unico a meno d'isomorfismi. Idem per un oggetto terminale (e dualmente per uno iniziale)
Concludo con una piccola nota: è sgradevole aver a che fare con testi che anticipino senza adeguata premessa e indispensabile rinvio, concetti esposti in sezioni successive (v. "universale"). Se mi accosto alla lettura di una certa costruzione teorica, in genere è perché voglio conoscerne i contenuti......
Il prodotto categoriale è inoltre una nozione più ampia che ingloba quella presentata nel testo che sto leggendo (e credo, avendo sbirciato nell'indice, che non venga trattato)
Inoltre bis, il prodotto, se esiste, risulta unico a meno d'isomorfismi. Idem per un oggetto terminale (e dualmente per uno iniziale)
Concludo con una piccola nota: è sgradevole aver a che fare con testi che anticipino senza adeguata premessa e indispensabile rinvio, concetti esposti in sezioni successive (v. "universale"). Se mi accosto alla lettura di una certa costruzione teorica, in genere è perché voglio conoscerne i contenuti......
Prego, di nulla;
anche se ero convinto che tu volessi parlare del prodotto categoriale
anche se ero convinto che tu volessi parlare del prodotto categoriale
Possibile che non mi chiamiate quando ci sono queste discussioni?
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