Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene
Ciao di nuovo.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Risposte
Benissimo. Ti ho dimostrato nel post precedente che questo $t$ scoperto non esiste. Questo è un fatto vero, non puoi tornare a pensare che potrebbe non essere vero se è vero. È vero e basta.
Forse e dico forse ho capito.
1) Io nella prima parte dimostro che per ogni t di T esiste un u di E tale che $t=x_0+u$ (**)
(ma questo non garantisce che possa esistere un u di E tale che non esista un t di T per cui t=x0+u)
2) nella seconda dimostro che per ogni u di E esiste un t di T tale che $t=x_0+u$ e io dico ma questo vuol dire che può esserci un t di T tale che non esiste $u$ di $E$ per cui $t=x_0+u$ e questo mi sembrava un assurdo avendo prima detto che (**).
Forse l'errore sta nel fatto che interpreto male la conclusione: questo non è un assurdo, bensì mi dice solo che tale t che per la 2) potrebbe esistere non esiste per la 1) poiché ho già dimostrato che tutti i t hanno un corrispettivo u.
Non so perché mi pareva un assurdo, ma in realtà è solo una possibilità che non si realizza.
1) Io nella prima parte dimostro che per ogni t di T esiste un u di E tale che $t=x_0+u$ (**)
(ma questo non garantisce che possa esistere un u di E tale che non esista un t di T per cui t=x0+u)
2) nella seconda dimostro che per ogni u di E esiste un t di T tale che $t=x_0+u$ e io dico ma questo vuol dire che può esserci un t di T tale che non esiste $u$ di $E$ per cui $t=x_0+u$ e questo mi sembrava un assurdo avendo prima detto che (**).
Forse l'errore sta nel fatto che interpreto male la conclusione: questo non è un assurdo, bensì mi dice solo che tale t che per la 2) potrebbe esistere non esiste per la 1) poiché ho già dimostrato che tutti i t hanno un corrispettivo u.
Non so perché mi pareva un assurdo, ma in realtà è solo una possibilità che non si realizza.
"Potrebbe esserci" non vuol dire "c'è". Invece di "potrebbe esserci" formulalo come domanda: "c'è?". Risposta: no, non c'è, a causa di (**).
Esatto io vedevo la possibilità di esserci/esistere di quell'elemento che era compendiato dalla 2), come una contrapposizione alla 1)(**), invece proprio la (**) garantisce che non c'è alcun elemento scoperto e quindi quel "potrebbe esserci" che nasce dalla 2) non si realizza. Punto e basta. C'è un tale elemento scoperto che è anche possibile che esista per la 2)? NO!! per via della 1) 
Guarda mi ero incastrato sul senso di questa cosa per ore e ore stavo impazzendo ma vista così mi rendo conto di esser stato un cretino, è un "potrebbe" e io lo leggevo essendoci mi smentisce la (**). Non so perché!
Mi sembra che ora non sto più dicendo stupidaggini, no?
Spero, perché ora mi sembra di aver capito. Sarebbe molto bello!!
Ma invece sull'altro dubbio che era passato in secondo piano (sempre se avrai voglia e lo metto in spoiler)
Guarda mi ero incastrato sul senso di questa cosa per ore e ore stavo impazzendo ma vista così mi rendo conto di esser stato un cretino
, è un "potrebbe" e io lo leggevo essendoci mi smentisce la (**). Non so perché!Mi sembra che ora non sto più dicendo stupidaggini, no?
Spero, perché ora mi sembra di aver capito. Sarebbe molto bello!!
Ma invece sull'altro dubbio che era passato in secondo piano (sempre se avrai voglia e lo metto in spoiler)
Sì esatto, in matematica ogni affermazione è vera oppure falsa (a meno di casi ai limiti della logica che riguardano la completezza), ogni volta che non sai se qualcosa esiste domandati se esiste e poi dimostra che esiste, oppure dimostra che non esiste.
Quanto all'altro dubbio, stai interpretando male il testo. Dice che ogni soluzione del sistema è ottenuta aggiungendo $x_0$ a una soluzione dell'omogeneo. $x_0$ non varia. È questo che sta dicendo, ed è una sofferenza inutile chiedersi se forse sta dicendo un'altra cosa per poi provare a dimostrarla (passandoci sopra giorni inutilmente) perché non è così, sta dicendo quello e basta.
Quanto all'altro dubbio, stai interpretando male il testo. Dice che ogni soluzione del sistema è ottenuta aggiungendo $x_0$ a una soluzione dell'omogeneo. $x_0$ non varia. È questo che sta dicendo, ed è una sofferenza inutile chiedersi se forse sta dicendo un'altra cosa per poi provare a dimostrarla (passandoci sopra giorni inutilmente) perché non è così, sta dicendo quello e basta.
Direi che ho capito tutto riguardo a questa faccenda ora 
Probabilmente è quel qualsiasi x0 che mi mette in crisi. Comunque lo chiedevo non perché volessi dire che è così e volessi dimostrare questa "lettura", più che altro perché se in futuro trovassi teoremi esposti in modo simile saprei come agire per dimostrarlo. Infatti assunto quel testo avrei iniziato a dimostrare tutt'altra cosa (ed è questo a spaventarmi), proprio in virtù del fatto che intendevo come x0 "mobile".
Ti ringrazio tanto per avermi insegnato molte cose. Sei stato estremamente gentile anche se ho rischiato di spazientirti con la mia idiozia
. Davvero, grazie!
Probabilmente è quel qualsiasi x0 che mi mette in crisi. Comunque lo chiedevo non perché volessi dire che è così e volessi dimostrare questa "lettura", più che altro perché se in futuro trovassi teoremi esposti in modo simile saprei come agire per dimostrarlo. Infatti assunto quel testo avrei iniziato a dimostrare tutt'altra cosa (ed è questo a spaventarmi), proprio in virtù del fatto che intendevo come x0 "mobile".
Ti ringrazio tanto per avermi insegnato molte cose. Sei stato estremamente gentile anche se ho rischiato di spazientirti con la mia idiozia
. Davvero, grazie!
Prego!
Salve di nuovo Martino, spero non sia considerato necroposting, e nemmeno stalking , ma stavo curiosando sulla tua cronologia risposte. A parte che sono migliaia e non finirò mai, altre non capisco niente perché sono di una complessità che non ho ancora raggiunto e forse mai raggiungerò. Ma su molte ho trovato idee su cui ragionare.
Mi interessava chiedere riguardo questa idea di dimostrazione che è quella che con poche variazioni ho visto con il mio Professore, però non di algebra1 ma di algebra lineare:
E mi stavo divertendo ad applicare quello di cui abbiamo parlato ieri ossia dimostrazioni di esiste unico. Mi chiedevo se riformulare così il testo del teorema potesse avere un senso:
Abbiamo il sistema $At=b$(*) (e $Au=0$), e io dico: esiste unca di soluzione t (che poi dimostrerò essere: $t=x_0+u$) per il sistema (*).
In questo caso l'unicità è però da intendersi come insieme di soluzioni t ossia quello che in realtà vogliio fare è dimostrare che la t che "esiste unica" è niente popo di meno che scritta come: $t=x_0+u$ per t e u differenti negli insiemi da te descritti. L'unicità è quindi nella "forma" della scrittura. (non so bene come formalizzare questo concetto ma spero sia chiaro che non è una sola t ma un insieme di t)
per lo svolgimento:
1] UNICITA': Assumiamo $S$ insieme di u che risolvono $Au=0$ e supponiamo $t$ soluzione $At=b$, a questo punto è facile mostrare che esiste un $u in S$ tale che $t=x_0+u$ da cui $Au=A(t-x_0)=At-Ax_0=b-b=0$ (usando $u=t-x_0)$. Questo ci dice che se $t$ è soluzione sarà unicamente del tipo $t=x_0+u$ con u in S, quando appunto risolve At=b. A tutti gli effetti E' una unicità.
2] ESISTENZA: ci è sempre possibile prendere $t=x_0+u$ per un qualsiasi $u in S$, basta ora sostituire in $A(x_0+u)$ e ottenere $A(x_0+u)=b$. Fatto!
La cosa interessante è che quando mostro l'esistenza posso prendere una u qualunque (e questo risolve il problema di cui discutevate in queste pagine) perché assunta qualunque u per il punto [2] mostrando che è soluzione trovo che è unicamente della "forma" $t=x_0+u$ proprio per il punto [1] (come ieri detto nell'altra discussione).
Mi sembra filare, ma non capisco se sono in errore o no. Voi/tu che ne pensate/pensi?
Quando imparo qualcosa mi piace cercare di riadattarla un po' in varie situazioni e qui mi sembra andare ma non vorrei aver preso un granchio.
, ma stavo curiosando sulla tua cronologia risposte. A parte che sono migliaia e non finirò mai, altre non capisco niente perché sono di una complessità che non ho ancora raggiunto e forse mai raggiungerò. Ma su molte ho trovato idee su cui ragionare.Mi interessava chiedere riguardo questa idea di dimostrazione che è quella che con poche variazioni ho visto con il mio Professore, però non di algebra1 ma di algebra lineare:
"Martino":
Dato il sistema $Ax=b$, scegliamo una soluzione particolare qualsiasi $x_0$, cosicché $Ax_0=b$. Questa $x_0$ è fissata e non varia, è proprio inchiodata (scelta dall'inizio e basta).
Ora chiamiamo $S$ l'insieme delle soluzioni dell'omogenea, cioè $S$ è l'insieme dei vettori $u$ tali che $Au=0$.
Chiamiamo inoltre $T$ l'insieme delle soluzioni di $Ax=b$.
Quello che devi dimostrare è che $T$ è uguale a $E = {x_0+u\ :\ u in S}$.
Prima inclusione: $T subseteq E$. Prendiamo $t in T$, cioè $At=b$, e dimostriamo che esiste $u in S$ tale che $t = x_0+u$. Scegliamo appunto $u = t-x_0$ e dimostriamo che sta in $S$. Questo è ovvio perché $At=b$ e $Ax_0=b$ quindi $Au = A(t-x_0) = At-Ax_0 = b-b = 0$. Fine.
Seconda inclusione: $E subseteq T$. Prendiamo $x_0+u in E$, con $u in S$. Dobbiamo mostrare che è soluzione di $Ax=b$. Ma questo è ovvio, perché $A(x_0+u)=Ax_0+Au=b+0=b$.
E mi stavo divertendo ad applicare quello di cui abbiamo parlato ieri ossia dimostrazioni di esiste unico. Mi chiedevo se riformulare così il testo del teorema potesse avere un senso:
Abbiamo il sistema $At=b$(*) (e $Au=0$), e io dico: esiste unca di soluzione t (che poi dimostrerò essere: $t=x_0+u$) per il sistema (*).
In questo caso l'unicità è però da intendersi come insieme di soluzioni t ossia quello che in realtà vogliio fare è dimostrare che la t che "esiste unica" è niente popo di meno che scritta come: $t=x_0+u$ per t e u differenti negli insiemi da te descritti. L'unicità è quindi nella "forma" della scrittura. (non so bene come formalizzare questo concetto ma spero sia chiaro che non è una sola t ma un insieme di t)
per lo svolgimento:
1] UNICITA': Assumiamo $S$ insieme di u che risolvono $Au=0$ e supponiamo $t$ soluzione $At=b$, a questo punto è facile mostrare che esiste un $u in S$ tale che $t=x_0+u$ da cui $Au=A(t-x_0)=At-Ax_0=b-b=0$ (usando $u=t-x_0)$. Questo ci dice che se $t$ è soluzione sarà unicamente del tipo $t=x_0+u$ con u in S, quando appunto risolve At=b. A tutti gli effetti E' una unicità.
2] ESISTENZA: ci è sempre possibile prendere $t=x_0+u$ per un qualsiasi $u in S$, basta ora sostituire in $A(x_0+u)$ e ottenere $A(x_0+u)=b$. Fatto!
La cosa interessante è che quando mostro l'esistenza posso prendere una u qualunque (e questo risolve il problema di cui discutevate in queste pagine) perché assunta qualunque u per il punto [2] mostrando che è soluzione trovo che è unicamente della "forma" $t=x_0+u$ proprio per il punto [1] (come ieri detto nell'altra discussione).
Mi sembra filare, ma non capisco se sono in errore o no. Voi/tu che ne pensate/pensi?
Quando imparo qualcosa mi piace cercare di riadattarla un po' in varie situazioni e qui mi sembra andare ma non vorrei aver preso un granchio.
Sì va bene, ma hai sostanzialmente ripetuto quanto scritto nel quote.
Sì certo in realtà è la medesima dimostrazione. Però passava per esistenza e unicità anziché doppia inlusione.
Segretamente volevo capire questo dal mio discorso (non l'ho espresso implicitamente ma volevo): trovare un utilizzo simile del dimostrare un "esiste unico" (ho editato evidenziandolo meglio nel testo sopra) e la "doppia inclusione" e capire se avevo sbagliato qualcosa nel mio modo di procerere. Cioè mi stavo esercitando a vedere le similitudini nei due modi di dimostrare per capirli meglio, poiché ci vedevo un "intimo legame" e mi pare che lo confermi.
in realtà è la medesima dimostrazione. Però passava per esistenza e unicità anziché doppia inlusione.Segretamente volevo capire questo dal mio discorso (non l'ho espresso implicitamente ma volevo): trovare un utilizzo simile del dimostrare un "esiste unico" (ho editato evidenziandolo meglio nel testo sopra) e la "doppia inclusione" e capire se avevo sbagliato qualcosa nel mio modo di procerere. Cioè mi stavo esercitando a vedere le similitudini nei due modi di dimostrare per capirli meglio, poiché ci vedevo un "intimo legame" e mi pare che lo confermi.
Sì ma più precisamente qui stai mostrando che X soddisfa la proprietà P se e solo se X appartiene a un certo insieme S, cioè
$X$ soddisfa $P$ $<=>$ $X in S$
Tutto il resto sono chiacchiere.
$X$ soddisfa $P$ $<=>$ $X in S$
Tutto il resto sono chiacchiere.
Ok . Chiaro, mi faccio voli pindarici perché mi sembrava molto simile a esiste unico (cioè il discorso di ieri).
Grazie
. Chiaro, mi faccio voli pindarici perché mi sembrava molto simile a esiste unico (cioè il discorso di ieri).Grazie
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