Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene
Ciao di nuovo.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Risposte
"pinnaciodepinnacis":
Io ho due equazioni chiamiamole A e B,
Non puoi dirci quali?
"pinnaciodepinnacis":
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Le cose prima e dopo "in sostanza" non sono uguali.
Ciao 
In realtà non c'è una equazione precisa, ma semplicemente è la dimostrazione per:
dimostrare che moltiplicando una riga non nulla di un sistema lineare per un termine non nullo si ottiene un sistema equivalente.
Potrei riformulare quindi la domanda così:
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, con $ B= lambdaA, lambda!=0$, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (solo per non scrivere n-uple, non cambia nulla) (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non garantisce che B abbia le stesse soluzioni di A, B potrebbe averne di più, e una sua parte sono soluzioni di A.
Quando passo poi a dimostrare 2-, io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude, come poc'anzi detto) e dimostro che sono anche soluzioni di A (ho dimostrato "<="). ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-, dato che come detto B poteva averne più di A nessuno lo vietava (e io ho preso tutte quelle di B per dimostrare l'implicazione inversa).
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
In realtà non c'è una equazione precisa, ma semplicemente è la dimostrazione per:
dimostrare che moltiplicando una riga non nulla di un sistema lineare per un termine non nullo si ottiene un sistema equivalente.
Potrei riformulare quindi la domanda così:
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, con $ B= lambdaA, lambda!=0$, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (solo per non scrivere n-uple, non cambia nulla) (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non garantisce che B abbia le stesse soluzioni di A, B potrebbe averne di più, e una sua parte sono soluzioni di A.
Quando passo poi a dimostrare 2-, io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude, come poc'anzi detto) e dimostro che sono anche soluzioni di A (ho dimostrato "<="). ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-, dato che come detto B poteva averne più di A nessuno lo vietava (e io ho preso tutte quelle di B per dimostrare l'implicazione inversa).
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Come dici tu, 1) dimostra che il numero di soluzioni di $A$ è minore o uguale a quello delle soluzioni di $B$, ma poi 2) dimostra che il numero di soluzioni di $B$ è minore o uguale a quello delle soluzioni di $A$. Quindi cosa puoi concludere su questi 2 numeri (possono anche essere infiniti, e il risultato continua a valere se formulato correttamente)?
Devi usare la definizione di uguaglianza tra insiemi: due insiemi $A,B$ si dicono uguali se valgono le seguenti due condizioni.
1. Ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$.
2. Ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
Osserva che questa è proprio una definizione, non va dimostrata.
1. Ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$.
2. Ogni elemento di $B$ è anche elemento di $A$.
Osserva che questa è proprio una definizione, non va dimostrata.
"pinnaciodepinnacis":
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, con $ B= lambdaA, lambda!=0$, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
.
Non sono la stessa cosa. Dal resto del messaggio stai facendo la seconda cosa, non la prima.
Vi ringrazio tanto davvero a tutti per le risposte e vedrò di capire tutti perché voglio allenarmi il più possibile a ragionare in modo giusto e se posso apprendere da voi molto meglio!
Questa è una cosa a cui ho pensato ma non ero sicuro fosse giusto il mio modo di procedere. In soldoni avrei detto che 1) mi dice che (# numero) $#A<=#B$ e poi 2) dimostra $#B<=#A$ => in definitiva $#B=#A$.
Questa cosa non capivo se fosse giusta per il fatto poi detto da Martino
Non riesco cioè a capire quale delle due visioni sia "giusta" e mi fa piacere che siano anche state da voi proposte perché erano proprio le due cose a cui avevo pensato oggi.
Da una parte mi pare di poter fare considerazioni numeriche (tipo otta) dall'altro insiemistiche e la cosidetta inclusione doppia che è l'uguaglianza tra due insiemi (come diceva martino).
Mi sembrava più corretta quella insiemistica, da profano, tuttavia il libro non ne parlava e parlava solo di prendere una soluzione (x0,y0) per A e mostrare che è anche soluzione per B e viceversa (che è più simile alla visione espressa da otta) e questa cosa mi lascia un poco confuso perché non capisco bene se siano due modi di vedere la stessa cosa o meno.
Procedendo con
Ecco, questo mi rimane molto più criptico, perché non ho ben capito cosa mi stai rimproverando
Vi ringrazio.
Come dici tu, 1) dimostra che il numero di soluzioni di A è minore o uguale a quello delle soluzioni di B, ma poi 2) dimostra che il numero di soluzioni di B è minore o uguale a quello delle soluzioni di A. Quindi cosa puoi concludere su questi 2 numeri (possono anche essere infiniti, e il risultato continua a valere se formulato correttamente)?
Questa è una cosa a cui ho pensato ma non ero sicuro fosse giusto il mio modo di procedere. In soldoni avrei detto che 1) mi dice che (# numero) $#A<=#B$ e poi 2) dimostra $#B<=#A$ => in definitiva $#B=#A$.
Questa cosa non capivo se fosse giusta per il fatto poi detto da Martino
1. Ogni elemento di A è anche elemento di B.
2. Ogni elemento di B è anche elemento di A.
Non riesco cioè a capire quale delle due visioni sia "giusta" e mi fa piacere che siano anche state da voi proposte perché erano proprio le due cose a cui avevo pensato oggi.
Da una parte mi pare di poter fare considerazioni numeriche (tipo otta) dall'altro insiemistiche e la cosidetta inclusione doppia che è l'uguaglianza tra due insiemi (come diceva martino).
Mi sembrava più corretta quella insiemistica, da profano, tuttavia il libro non ne parlava e parlava solo di prendere una soluzione (x0,y0) per A e mostrare che è anche soluzione per B e viceversa (che è più simile alla visione espressa da otta) e questa cosa mi lascia un poco confuso perché non capisco bene se siano due modi di vedere la stessa cosa o meno.
Procedendo con
Non sono la stessa cosa. Dal resto del messaggio stai facendo la seconda cosa, non la prima.
Ecco, questo mi rimane molto più criptico, perché non ho ben capito cosa mi stai rimproverando
Vi ringrazio.
Non si può ragionare sul "numero" di soluzioni perché possono essere infinite, e un insieme infinito può essere propriamente contenuto in un altro insieme infinito. Bisogna usare la definizione di uguaglianza tra insiemi.
"pinnaciodepinnacis":
Ecco, questo mi rimane molto più criptico, perché non ho ben capito cosa mi stai rimproverando
Non ti sto rimproverando. Cominci dicendo che vuoi dimostrare che A implica B, poi cominci a parlare anche di B implica A.
Più che "in sostanza" forse dovresti dire "anzi".
@ghira: ahh solo ora ho (forse) compreso. Ho corretto l'incipit, guarda se ora torna meglio
"pinnaciodepinnacis":
Ho corretto l'incipit, guarda se ora torna meglio
Benissimo.
Sposto la domanda per Martino qui sotto perché vedo che è rimasta nascosta dalle altre risposte.
Ma quindi quando il libro assume una generica soluzione: $(x_0,y_0)$ per A e dimostra esserlo per B, in sostanza sta solo glissando sul fatto che sta dimostrando $(x0,y0)in A => (x0,y0)in B$ ossia $A⊆B$.
Perché non lo diceva espressamente, ma di fatto questo sta facendo?
Mentre a me sembrava che scrivendo così $(x0,y0)in A => (x0,y0)in B$ stesse dicendo che tutte le soluzioni di A sono in di B e poi viceversa, ma vista così ho il problema di intenderlo come "numero" di soluzioni.
Per essere forse più chiari lo ridico anche in altro modo: l'unico modo per fare quella dimostraizone è passare per la doppia inclusione A⊆B e B⊆A?
"pinnaciodepinnacis":Sì ma occhio perché stai usando la stessa lettera ($A,B$) per il sistema e per l'insieme delle sue soluzioni.
quindi quando il libro assume una generica soluzione: $(x_0,y_0)$ per A e dimostra esserlo per B, in sostanza sta solo glissando sul fatto che sta dimostrando $(x0,y0)in A => (x0,y0)in B$ ossia $A⊆B$.
Perché non lo diceva espressamente, ma di fatto questo sta facendo?Strano che la pensi così, il testo non parla di numero in nessun posto, a me sembra che il numero sia un po' una costruzione tua, forse per avere una migliore intuizione. Il punto è che il concetto di numero in questo caso ti aiuterebbe solo se gli insiemi coinvolti fossero finiti. Due insiemi infiniti possono avere lo stesso numero di elementi ma essere propriamente contenuti l'uno nell'altro (come per esempio l'insieme dei numeri interi pari, che è propriamente contenuto nell'insieme dei numeri interi).
Mentre a me sembrava che scrivendo così $(x0,y0)in A => (x0,y0)in B$ stesse dicendo che tutte le soluzioni di A sono in di B e poi viceversa, ma vista così ho il problema di intenderlo come "numero" di soluzioni.
Inoltre il tuo "e viceversa" è sbagliato perché l'implicazione di cui parli non è doppia.
Per essere forse più chiari lo ridico anche in altro modo: l'unico modo per fare quella dimostraizone è passare per la doppia inclusione A⊆B e B⊆A?Esatto.
Si hai ragione, ma ovviamente non confondevo le due lettere, sinceramente non ci avevo nemmeno fatto caso che erano A, B entrambe perché più che la lettera in sé guardavo il contesto, e pensavo a tali entità A, B come insiemi di soluzioni. Grazie per averlo sottolineato, ovviamente in quel caso intendevo insiemi!
Hai ragione anche sulla numerosità, forse vederlo espresso come (x0,y0)∈A⇒(x0,y0)∈B mi fa erroneamente pensare ai numeri quando invece parla solo di doppia inclusione. Probabilmente è un mio errore mentale che devo correggere.
Per quanto riguarda il viceversa era perché intendevo che un ragionamento analogo di può fare dimostrando: (x0,y0)∈B⇒(x0,y0)∈A, ma non mi ci soffermavo essendo del tutto identico.
Grazie per l'aiuto!
Hai ragione anche sulla numerosità, forse vederlo espresso come (x0,y0)∈A⇒(x0,y0)∈B mi fa erroneamente pensare ai numeri quando invece parla solo di doppia inclusione. Probabilmente è un mio errore mentale che devo correggere.
Per quanto riguarda il viceversa era perché intendevo che un ragionamento analogo di può fare dimostrando: (x0,y0)∈B⇒(x0,y0)∈A, ma non mi ci soffermavo essendo del tutto identico.
Grazie per l'aiuto!
C'è una piccola aggiunta che volevo fare sul discorso uscito riguardo la numerosità e gli insiemi.
Come giustamente dici (ho approfondito dopo il tuo messaggio) $A⊆B$ se sono infiniti potrebbe anche essere che B ha stessa numerosità di A pur essendo A propriamente contenuto. Tuttavia posso affermare senza sbagliare che se $x in A => x in B$ (cioè A⊆B) allora il numero di $#A<=#B$
Ma se io dimostro anche che $B⊆A$ allora $#B<=#A$. Quindi in un certo senso in realtà il discorso sul "numero" continua a valere, poiché avrò: $#A=#B$. Sbaglio? A me sembra corretto, posso in questo senso ragionare sulla numerosità comunque perché a me interessa $<=$ nelle due direzioni di dimostrazione.
Come giustamente dici (ho approfondito dopo il tuo messaggio) $A⊆B$ se sono infiniti potrebbe anche essere che B ha stessa numerosità di A pur essendo A propriamente contenuto. Tuttavia posso affermare senza sbagliare che se $x in A => x in B$ (cioè A⊆B) allora il numero di $#A<=#B$
Ma se io dimostro anche che $B⊆A$ allora $#B<=#A$. Quindi in un certo senso in realtà il discorso sul "numero" continua a valere, poiché avrò: $#A=#B$. Sbaglio? A me sembra corretto, posso in questo senso ragionare sulla numerosità comunque perché a me interessa $<=$ nelle due direzioni di dimostrazione.
Sì è corretto, ma stai solo dicendo che due insiemi uguali hanno lo stesso numero di elementi, il che è ovvio.
, il fato che fossero insiemi infiniti (di cui non ho dimestichezza) mi spaventava sulle conclusioni "ovvie".Grazie.
Scusate se mi imbuco, ma ho letto le risposte di @Martino e sto svolgendo una discussione simile anche se leggermente diversa con un altro utente e magari posso avere qualche spunto dato che anche qui si ha a che fare con una "doppia inclusione" in un certo senso. Provo a riassumere al meglio il mio dubbio
Il testo del teorema dato dal mio libro riporta: Una generica soluzione di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare di ad una generica soluzione del sistema lineare omogeneo associato.
La dimostrazione è all'apparenza particolarmente semplice:
1) data $X'$ soluzione generica qualsiasi di $AX=B$ e $X''$ soluzione particolare qualsiasi allora si ha che $(X'-X'')$ è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare $X_0:=(X'-X'')$ da cui $X'=X0+X''$
2) Viceversa: sia $X''$ soluzione particolare qualsiasi di $AX=B$, e $X_0$ soluzione generica di $AX=O$ si ha che $A(X''+X_0)=B+0B=B$ quindi $X''+X_0=:X'$ è soluzione del sistema.
Finora l'avevo vista in questo modo: dimostro che per ogni X0 tramite X'' ho un certo X' collegato a X0. Questo vuol dire che per ogni X0 ho certamente un X' fissato, ma potrei avere degli X' che non sono legati a X0. Benissimo,
La seconda parte della dimostrazione dice che per ogni X' tramite X'' collego un fissato X0.
A questo punto concludo dicendo che: a tutti gli X0 posso collegare un X' (un X' ma non uno qualunque) o viceversa tramite un fissato X''.
Tuttavia solo dopo un giorno di testa sul muro](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
(ieri) mi accorgo che il testo del teorema asserisce qualcosa di diverso:
Una generica soluzione di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare di ad una generica soluzione del sistema lineare omogeneo associato.
E in quest'ottica di qualsiasi soluzione particolare mi sembra non funzionare più la spiegazione cui ero giunto, infatti qui posso legare ogni X' tramite un qualunque X'' a un qualunque X0 (cioè ogni X' lo posso legare contemporaneamente a tutti gli X0 che voglio)
Metto in spoiler quella che è la mia idea intuitiva, ma credo sia fondamentale per spiegarmi
Io vorrei tanto capire come diavolo funziona 'sta dimostrazione. Perché sono bloccato su questa stupidaggine da due giorni e non riesco a concetrarmi sul resto dell'esame
Il testo del teorema dato dal mio libro riporta: Una generica soluzione di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare di ad una generica soluzione del sistema lineare omogeneo associato.
La dimostrazione è all'apparenza particolarmente semplice:
1) data $X'$ soluzione generica qualsiasi di $AX=B$ e $X''$ soluzione particolare qualsiasi allora si ha che $(X'-X'')$ è soluzione di quello omogeneo, posso quindi chiamare $X_0:=(X'-X'')$ da cui $X'=X0+X''$
2) Viceversa: sia $X''$ soluzione particolare qualsiasi di $AX=B$, e $X_0$ soluzione generica di $AX=O$ si ha che $A(X''+X_0)=B+0B=B$ quindi $X''+X_0=:X'$ è soluzione del sistema.
Finora l'avevo vista in questo modo: dimostro che per ogni X0 tramite X'' ho un certo X' collegato a X0. Questo vuol dire che per ogni X0 ho certamente un X' fissato, ma potrei avere degli X' che non sono legati a X0. Benissimo,
La seconda parte della dimostrazione dice che per ogni X' tramite X'' collego un fissato X0.
A questo punto concludo dicendo che: a tutti gli X0 posso collegare un X' (un X' ma non uno qualunque) o viceversa tramite un fissato X''.
Tuttavia solo dopo un giorno di testa sul muro
(ieri) mi accorgo che il testo del teorema asserisce qualcosa di diverso:Una generica soluzione di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare di ad una generica soluzione del sistema lineare omogeneo associato.
E in quest'ottica di qualsiasi soluzione particolare mi sembra non funzionare più la spiegazione cui ero giunto, infatti qui posso legare ogni X' tramite un qualunque X'' a un qualunque X0 (cioè ogni X' lo posso legare contemporaneamente a tutti gli X0 che voglio)
Metto in spoiler quella che è la mia idea intuitiva, ma credo sia fondamentale per spiegarmi
Io vorrei tanto capire come diavolo funziona 'sta dimostrazione. Perché sono bloccato su questa stupidaggine da due giorni e non riesco a concetrarmi sul resto dell'esame
panausen, è praticamente impossibile capire cosa stai dicendo perché, a mio modo di vedere, ti sei fatto un sacco di costruzioni superflue in testa su cui basi i tuoi ragionamenti. Sarebbe un lavoro enorme per me fare un debunking di tutte le cose che hai detto quindi non lo faccio e mi limito a una cosa.
Dato il sistema $Ax=b$, scegliamo una soluzione particolare qualsiasi $x_0$, cosicché $Ax_0=b$. Questa $x_0$ è fissata e non varia, è proprio inchiodata (scelta dall'inizio e basta).
Ora chiamiamo $S$ l'insieme delle soluzioni dell'omogenea, cioè $S$ è l'insieme dei vettori $u$ tali che $Au=0$.
Chiamiamo inoltre $T$ l'insieme delle soluzioni di $Ax=b$.
Quello che devi dimostrare è che $T$ è uguale a $E = {x_0+u\ :\ u in S}$.
Prima inclusione: $T subseteq E$. Prendiamo $t in T$, cioè $At=b$, e dimostriamo che esiste $u in S$ tale che $t = x_0+u$. Scegliamo appunto $u = t-x_0$ e dimostriamo che sta in $S$. Questo è ovvio perché $At=b$ e $Ax_0=b$ quindi $Au = A(t-x_0) = At-Ax_0 = b-b = 0$. Fine.
Seconda inclusione: $E subseteq T$. Prendiamo $x_0+u in E$, con $u in S$. Dobbiamo mostrare che è soluzione di $Ax=b$. Ma questo è ovvio, perché $A(x_0+u)=Ax_0+Au=b+0=b$. Fine.
Come vedi la soluzione particolare $x_0$ non è mai cambiata nel corso della dimostrazione, mentre tu sembri pensare che debba variare in qualche modo (dal tuo disegno mi sembra sia così).
Come ti dicevo, mi limito a questo, sperando che possa esserti utile.
Dato il sistema $Ax=b$, scegliamo una soluzione particolare qualsiasi $x_0$, cosicché $Ax_0=b$. Questa $x_0$ è fissata e non varia, è proprio inchiodata (scelta dall'inizio e basta).
Ora chiamiamo $S$ l'insieme delle soluzioni dell'omogenea, cioè $S$ è l'insieme dei vettori $u$ tali che $Au=0$.
Chiamiamo inoltre $T$ l'insieme delle soluzioni di $Ax=b$.
Quello che devi dimostrare è che $T$ è uguale a $E = {x_0+u\ :\ u in S}$.
Prima inclusione: $T subseteq E$. Prendiamo $t in T$, cioè $At=b$, e dimostriamo che esiste $u in S$ tale che $t = x_0+u$. Scegliamo appunto $u = t-x_0$ e dimostriamo che sta in $S$. Questo è ovvio perché $At=b$ e $Ax_0=b$ quindi $Au = A(t-x_0) = At-Ax_0 = b-b = 0$. Fine.
Seconda inclusione: $E subseteq T$. Prendiamo $x_0+u in E$, con $u in S$. Dobbiamo mostrare che è soluzione di $Ax=b$. Ma questo è ovvio, perché $A(x_0+u)=Ax_0+Au=b+0=b$. Fine.
Come vedi la soluzione particolare $x_0$ non è mai cambiata nel corso della dimostrazione, mentre tu sembri pensare che debba variare in qualche modo (dal tuo disegno mi sembra sia così).
Come ti dicevo, mi limito a questo, sperando che possa esserti utile.
Ciao 
, comprendo benissimo che sia per chi legge uno sforzo immane cercare di capire quello che dice l'interlocutore, per questo ovviamente non lo pretendo e ti ringrazio molto per il tuo intervento. Anzi, essendo io il "richiedente aiuto" devo cercare di adattarmi a quello che rispondi per far capire il mio dubbio e cercherò di fare questo lavoro mentale nel seguito[nota]e se non ci riuscissi me ne scuso e ti prego di dirmi ove non sono riuscito nell'intento, così da poter migliorare l'esposizione[/nota]...
Prima di tutto una parte sulla notazione:
Conta però che la mia soluzione particolare l'avevo chiamata $X''$, tu la chiami $X_0$, però deduco la soluzione particolare sia fissa, mentre in effetti io immaginavo $X''$ (cioè la freccetta nel disegno) "mobile" nella scelta.
Se quanto detto è corretto proseguiamo (da qui in poi uso la tua notazione):
Devo dimostrare
Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.
La dimostrazione del libro procede così:
1) siano $x_0$ e $t$ soluzioni qualsiasi di cui t generale e $x_0$ particolare e verifica che $t-x_0$ è soluzione di Ax=B
2) viceversa: data $x_0$ particolare e $u$ generale $x_0+u$ si vede che è soluzione.
E' simile quindi alla dimostrazione tua, perché usa gli stessi passaggi ma non parla di inclusione.
Ma analizzando la dimostrazione non mi sembra funzionare:
Siccome la tua dimostrazione e quella del libro sono simili dovrebbero coincidere e vado ad analizzare i tuoi passaggi mostrando i punti che mi creano dubbi
1]
Seconda parte: nella tua seconda parte in soldoni dimostro che dato un qualunque/per ogni $u$ e assunto (fisso) $x_0$ trovo sempre un t: $t:=u+x_0$ che è soluzione di Ax=B.
Prima parte: qui dimostro che (per) ogni $t$ scelto si può scrivere come $x_0+u$ trovando un certo $u$
Mettendo assieme le due cose però mi sembra che da una parte dico per ogni u esiste un t che mi permette di scrivere $t=u+x_0$, e per ogni t esiste un u che mi permette di scrivere $t=u+x_0$. Ma non che per ogni t e per ogni u posso scrivere $t=u+x_0$. E come se mentalmente non riuscissi a unire le due parti: da una parte dimostro che per ogni t esiste un u per scrivere $t=u+x_0$ (ma non è detto che tutti gli u funzionino, infatti esiste almeno un u, non tutti gli u), parimenti al contrario per ogni u esiste t che permette di scrivere $t=u+x_0$ (ma non è detto che questo si possa fare per tutti i t)
2]
[[segnalo edit]]
La seconda cosa a non tornarmi è questa (che poi è la stessa del punto 1 ma vista in modo insiemistico): prendiamo la tua dimostrazione, io ho dimostrato che $E=T$, ossia che riesco a scrivere un qualunque elementeo di t come elemento di E e vicevesa: $t=x_0+u$, permettimi di scriverlo con questo abuso di notazione: ${t}={x_0+u}$ per ogni fissato x0.
Ebbene, non capisco: questo dovrebbe dire "per ogni x0 fissato posso scrivere un generico t come un generico u sommato a x0 (qualunque).
A me sembra solo dire: per ogni t, fissato x0, posso scrivere t come x0+u per un certo u (ma non è detto che tutti gli u vadano bene, io ho dimostrato che ne esistono alcuni (almeno uno)), allo stesso modo: per ogni u, fissato x0, posso scrivere x0+u=t (ma non è detto che tutti i t vadano bene, o meglio che x0+u siano tutte le soluzioni).
Spero la mia odierna emicrania mi abbia comunque permesso di esser minimamente chiaro.
, comprendo benissimo che sia per chi legge uno sforzo immane cercare di capire quello che dice l'interlocutore, per questo ovviamente non lo pretendo e ti ringrazio molto per il tuo intervento. Anzi, essendo io il "richiedente aiuto" devo cercare di adattarmi a quello che rispondi per far capire il mio dubbio e cercherò di fare questo lavoro mentale nel seguito[nota]e se non ci riuscissi me ne scuso e ti prego di dirmi ove non sono riuscito nell'intento, così da poter migliorare l'esposizione[/nota]...Prima di tutto una parte sulla notazione:
Come vedi la soluzione particolare x0 non è mai cambiata nel corso della dimostrazione, mentre tu sembri pensare che debba variare in qualche modo (dal tuo disegno mi sembra sia così).
Conta però che la mia soluzione particolare l'avevo chiamata $X''$, tu la chiami $X_0$, però deduco la soluzione particolare sia fissa, mentre in effetti io immaginavo $X''$ (cioè la freccetta nel disegno) "mobile" nella scelta.
Se quanto detto è corretto proseguiamo (da qui in poi uso la tua notazione):
Devo dimostrare
Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.
La dimostrazione del libro procede così:
1) siano $x_0$ e $t$ soluzioni qualsiasi di cui t generale e $x_0$ particolare e verifica che $t-x_0$ è soluzione di Ax=B
2) viceversa: data $x_0$ particolare e $u$ generale $x_0+u$ si vede che è soluzione.
E' simile quindi alla dimostrazione tua, perché usa gli stessi passaggi ma non parla di inclusione.
Ma analizzando la dimostrazione non mi sembra funzionare:
Siccome la tua dimostrazione e quella del libro sono simili dovrebbero coincidere e vado ad analizzare i tuoi passaggi mostrando i punti che mi creano dubbi
1]
Seconda parte: nella tua seconda parte in soldoni dimostro che dato un qualunque/per ogni $u$ e assunto (fisso) $x_0$ trovo sempre un t: $t:=u+x_0$ che è soluzione di Ax=B.
Prima parte: qui dimostro che (per) ogni $t$ scelto si può scrivere come $x_0+u$ trovando un certo $u$
Mettendo assieme le due cose però mi sembra che da una parte dico per ogni u esiste un t che mi permette di scrivere $t=u+x_0$, e per ogni t esiste un u che mi permette di scrivere $t=u+x_0$. Ma non che per ogni t e per ogni u posso scrivere $t=u+x_0$. E come se mentalmente non riuscissi a unire le due parti: da una parte dimostro che per ogni t esiste un u per scrivere $t=u+x_0$ (ma non è detto che tutti gli u funzionino, infatti esiste almeno un u, non tutti gli u), parimenti al contrario per ogni u esiste t che permette di scrivere $t=u+x_0$ (ma non è detto che questo si possa fare per tutti i t)
2]
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La seconda cosa a non tornarmi è questa (che poi è la stessa del punto 1 ma vista in modo insiemistico): prendiamo la tua dimostrazione, io ho dimostrato che $E=T$, ossia che riesco a scrivere un qualunque elementeo di t come elemento di E e vicevesa: $t=x_0+u$, permettimi di scriverlo con questo abuso di notazione: ${t}={x_0+u}$ per ogni fissato x0.
Ebbene, non capisco: questo dovrebbe dire "per ogni x0 fissato posso scrivere un generico t come un generico u sommato a x0 (qualunque).
A me sembra solo dire: per ogni t, fissato x0, posso scrivere t come x0+u per un certo u (ma non è detto che tutti gli u vadano bene, io ho dimostrato che ne esistono alcuni (almeno uno)), allo stesso modo: per ogni u, fissato x0, posso scrivere x0+u=t (ma non è detto che tutti i t vadano bene, o meglio che x0+u siano tutte le soluzioni).
Spero la mia odierna emicrania mi abbia comunque permesso di esser minimamente chiaro.
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