Una domanda su una dimostrazione semplice ma che non comprendo bene
Ciao di nuovo.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Vorrei approfittare ancora del vostro aiuto. C'e una dimostrazione che non mi è chiarissima di algebra e cerco di spiegare solo il concetto su cui mi incastro.
Io ho due equazioni chiamiamole A e B, e si vuole dimostrare che tutte le soluzioni di A sono anche di B e viceversa, in sostanza: (x0,y0) soluzione di A <=> (x0,y0) soluzione di B.
Il testo procede come segue:
1- =>) assume una dupla (x0,y0) e dimostra: se (x0,y0) è soluzione di A => anche soluzione di B.
Poi dimostra che
2- <=) se (x0,y0) è soluzione di B => (x0,y0) è soluzione di A.
Il mio dubbio è però questo. Quando io in 1- assumo un set/tutte le generiche soluzioni di A: (x0,y0), dimostro che lo sono per B e ciò va benissimo. A questo punto in 2- assumo un set di soluzioni (x0,y0) e dimostro che sono anche soluzioni di B. Ma questo non mi sembra garantire che siano dello stesso numero.
Mi spiego meglio: 1- dice solo che le soluzioni di A lo sono anche di B, ma l'implicazione non nega che B possa avere più soluzioni di A.
Quando dimostro 2- io prendo tutte le soluzioni di B (che potrebbero essere di più del set iniziale assunto in 1- che erano (x0,y0), la => non lo esclude) e dimostro che sono anche di A. ma a questo punto sembrerebbe che A possa avere più soluzioni di quelle assunte in 1-.
In altre parole non capisco come funziona bene questa dimostrazione.
Risposte
Per ogni $t$ esiste $u$ tale che $t=x_0+u$, fin qui ci siamo. Ora tu dici "non è detto che tutti gli $u$ vadano bene", questo è corretto ma è un po' come dire che non è detto che tutti i cuscini siano gialli (ovviamente non lo sono, ce ne saranno alcuni gialli certo, ma non tutti), è un po' strano immaginare che tutti gli $u$ vadano bene, ed è anche irrilevante: perché tutti gli $u$ dovrebbero andare bene? Ti dirò di più: dato $t$, esiste un unico $u$ tale che $t=x_0+u$, e chi è questo $u$? Ovviamente è $u=t-x_0$. Cioè tu dici "non è detto che tutti gli $u$ vadano bene", la realtà è che quasi nessun $u$ va bene, per la precisione solamente un $u$ va bene. Capisci? Cioè qui arrivo alla conclusione che tu sia convinto che per qualche motivo tutti gli $u$ debbano andare bene, ma è una convinzione tua senza fondamento. Discorso analogo vale per l'altro tuo dubbio, che è esattamente uguale a questo, solo che con $u$ e $t$ scambiati.
Cioè se facciamo un'analogia, stai dicendo una cosa del tipo "non è detto che tutte le persone siano uguali al padre di mio figlio". Certo, sei tu il padre di tuo figlio. Quindi esiste un'unica persona che è uguale al padre di tuo figlio e sei tu stesso. Non capisco perché questo debba creare contraddizioni o confusioni. Cioè tu dici "non tutti", la realtà è "quasi nessuno".
Cioè se facciamo un'analogia, stai dicendo una cosa del tipo "non è detto che tutte le persone siano uguali al padre di mio figlio". Certo, sei tu il padre di tuo figlio. Quindi esiste un'unica persona che è uguale al padre di tuo figlio e sei tu stesso. Non capisco perché questo debba creare contraddizioni o confusioni. Cioè tu dici "non tutti", la realtà è "quasi nessuno".
Più che altro lo deduco dal testo del teorema:
In sostanza dimostro:
fissato x0 (qualunque)
- =>) "posso scrivere un generico t come un qualche u sommato a x0"
- <=) "posso scrivere un generico u come un qualche t sottratto a x0"
I due versi della dimostrazione mi permettono di concludere il quote, mi pareva di capire. Non è così?
"per ogni x0 fissato posso scrivere un generico t come un generico u sommato a x0"
In sostanza dimostro:
fissato x0 (qualunque)
- =>) "posso scrivere un generico t come un qualche u sommato a x0"
- <=) "posso scrivere un generico u come un qualche t sottratto a x0"
I due versi della dimostrazione mi permettono di concludere il quote, mi pareva di capire. Non è così?
Quello che cioè voglio dire è che ovviamente assunta "=>" come riporti giustamente mi dice che per ogni t ho la possibilità di scrivere t come un qualche u sommato a x0 (MA non tutti gli u). Tutto ok, giustissimo.
"<=" mi dice che posso scrivere $t=u+x_0$ questa volta con u generico e un qualche t.
Io mi insabbio sul fatto che mettendo assieme le due cose cioè => + <= posso concludere che ogni t si può scrivere come un ogni u sommato a x0.
A me sembra sempre di vedere che per via di => ci sia sempre un qualche "u" scoperto e per per via di <= si sia sempre un qualche t scoperto. E' questo passo che non riesco a fare.
"<=" mi dice che posso scrivere $t=u+x_0$ questa volta con u generico e un qualche t.
Io mi insabbio sul fatto che mettendo assieme le due cose cioè => + <= posso concludere che ogni t si può scrivere come un ogni u sommato a x0.
A me sembra sempre di vedere che per via di => ci sia sempre un qualche "u" scoperto e per per via di <= si sia sempre un qualche t scoperto. E' questo passo che non riesco a fare.
A me sembra che dai dei significati particolari alle parole "generico", "particolare", "qualsiasi" e probabilmente sono queste parole a crearti confusione.
Guarda, prova a fare così: prendiamo gli insiemi $A={0,1,2}$, $B={1,2,3}$.
Dimostra che $B = {u+1 : u in A}$. Per farlo, osserva che per ogni $t in B$ esiste $u in A$ tale che $t=u+1$ e poi osserva che per ogni $u in A$ si ha $u+1 in B$.
E' esattamente questo che stai facendo con i sistemi lineari, solo che con insiemi più grandi.
Prova a pensare a questo esempio semplice, vedi se ti chiarisce i dubbi.
Guarda, prova a fare così: prendiamo gli insiemi $A={0,1,2}$, $B={1,2,3}$.
Dimostra che $B = {u+1 : u in A}$. Per farlo, osserva che per ogni $t in B$ esiste $u in A$ tale che $t=u+1$ e poi osserva che per ogni $u in A$ si ha $u+1 in B$.
E' esattamente questo che stai facendo con i sistemi lineari, solo che con insiemi più grandi.
Prova a pensare a questo esempio semplice, vedi se ti chiarisce i dubbi.
Mi sa che ci hai visto giusto, un problema risiede sicuramente in questo, però dopo averci ragionato (sul tuo esempio) mi verrebbe da dire questo:
Io ho in realtà dimostrato che, per qualunque fissato "x0": per ogni "u" trovo un "t" e per ogni "t" trovo un "u", ma non che ci siano abbastanza "x0" da poter connettere ogni "t" con ogni "u"
Mentre il teorema:
Sembra proprio dire che da ogni t posso "raggiungere" qualunque "u" cambiando tutti gli x0. Questo è in realtà vero, però la dimostrazione da noi vista non sembra garantirmi questo, mi dice solo che scegliendo vari x0 ogni u è connesso a un t e viceversa (detto male)
Poi c'è anche un secondo punto che mi lascia insoddisfatto: io da una parte dimostro che ogni t è collegato ad un u tramite un x0 (fisso), d'altra parte questo non mi assicura che ogni u sia collegato a t, ci potrebbero essere degli u scoperti.
Ad esempio prendo 4 pallini che sono i t e li collego con 4 linee (gli x0) con altrettanti 4 pallini che sono u, ma u potrebbero essere 5 pallini, appunto non tutti gli u sono connessi a un t.
Dimostro poi la parte opposta della dimostrazione, ossia che ogni u e collegato a un qualche t tramite x0 (fisso), a sua volta questo mi porterebbe a concludere che non tutti i t hanno una freccia che arriva da u.
il fatto è che le due parti nella mia mente rimangono sconnesse, cioè non riesco a vedere perché l'unione di queste due dimostrazioni mi permetta di concludere che (come dovrebbe essere) tutti i t e tutti gli u sono connessi da almeno una freccia tra loro. Quindi non che tutti abbiano una freccia che punta a tutti gli altri, ma che tutti abbiano almeno una freccia (poi in particolare sarebbe una)
Mi piacerebbe chiederti cosa ne pensi di questi due punti su cui sto riflettendo e su come vederli per risolverli.
Io ho in realtà dimostrato che, per qualunque fissato "x0": per ogni "u" trovo un "t" e per ogni "t" trovo un "u", ma non che ci siano abbastanza "x0" da poter connettere ogni "t" con ogni "u"
Mentre il teorema:
Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.
Sembra proprio dire che da ogni t posso "raggiungere" qualunque "u" cambiando tutti gli x0. Questo è in realtà vero, però la dimostrazione da noi vista non sembra garantirmi questo, mi dice solo che scegliendo vari x0 ogni u è connesso a un t e viceversa (detto male)
Poi c'è anche un secondo punto che mi lascia insoddisfatto: io da una parte dimostro che ogni t è collegato ad un u tramite un x0 (fisso), d'altra parte questo non mi assicura che ogni u sia collegato a t, ci potrebbero essere degli u scoperti.
Ad esempio prendo 4 pallini che sono i t e li collego con 4 linee (gli x0) con altrettanti 4 pallini che sono u, ma u potrebbero essere 5 pallini, appunto non tutti gli u sono connessi a un t.
Dimostro poi la parte opposta della dimostrazione, ossia che ogni u e collegato a un qualche t tramite x0 (fisso), a sua volta questo mi porterebbe a concludere che non tutti i t hanno una freccia che arriva da u.
il fatto è che le due parti nella mia mente rimangono sconnesse, cioè non riesco a vedere perché l'unione di queste due dimostrazioni mi permetta di concludere che (come dovrebbe essere) tutti i t e tutti gli u sono connessi da almeno una freccia tra loro. Quindi non che tutti abbiano una freccia che punta a tutti gli altri, ma che tutti abbiano almeno una freccia (poi in particolare sarebbe una)
Mi piacerebbe chiederti cosa ne pensi di questi due punti su cui sto riflettendo e su come vederli per risolverli.
Purtroppo non riesco a seguirti perché vedo solo un'enorme confusione.
Quello che posso fare è proporti situazioni più semplici. Per esempio, mettiti nel piano cartesiano e prendi $E$ uguale alla retta $y=x$, cioè $E = {(x,x) : x in RR}$. Ora prendi $T$ uguale alla retta $y=x+1$, cioè $T={(x,x+1) : x in RR}$. L'analogia è che gli elementi di $E$ sono le soluzioni dell'equazione omogenea $y=x$ e gli elementi di $T$ sono le soluzioni dell'equazione affine $y=x+1$ (la cui omogenea associata è proprio $y=x$ appunto).
Prendiamo una soluzione particolare di $y=x+1$, per esempio $(x_0,y_0) = (0,1)$ (ma potevamo prendere pure $(1,2)$ oppure $(4,5)$ e così via). Questo $(0,1)$ è l'elemento che sopra chiamavamo $x_0$.
Non dovresti aver nessun problema a dimostrare che $T = {(a,b)+(x_0,y_0) : (a,b) in E}$ (che è proprio quello di cui parlavamo nel caso generale).
Ora, prova a disegnare gli insiemi $T$ ed $E$ nel piano cartesiano. Sono due rette parallele e formano un angolo di 45 gradi con l'asse $x$. La retta $E$ passa per l'origine, la retta $T$ non passa per l'origine. La retta $T$ è esattamente la retta $E$ traslata in su di una unità. Questa traslazione in su di $1$ corrisponde proprio a prendere un generico punto della retta $E$ e aggiungerci la "soluzione particolare" $(x_0,y_0) = (0,1)$.
Ragiona un po' su questo e vedi se ti chiarisce i dubbi.
Quello che posso fare è proporti situazioni più semplici. Per esempio, mettiti nel piano cartesiano e prendi $E$ uguale alla retta $y=x$, cioè $E = {(x,x) : x in RR}$. Ora prendi $T$ uguale alla retta $y=x+1$, cioè $T={(x,x+1) : x in RR}$. L'analogia è che gli elementi di $E$ sono le soluzioni dell'equazione omogenea $y=x$ e gli elementi di $T$ sono le soluzioni dell'equazione affine $y=x+1$ (la cui omogenea associata è proprio $y=x$ appunto).
Prendiamo una soluzione particolare di $y=x+1$, per esempio $(x_0,y_0) = (0,1)$ (ma potevamo prendere pure $(1,2)$ oppure $(4,5)$ e così via). Questo $(0,1)$ è l'elemento che sopra chiamavamo $x_0$.
Non dovresti aver nessun problema a dimostrare che $T = {(a,b)+(x_0,y_0) : (a,b) in E}$ (che è proprio quello di cui parlavamo nel caso generale).
Ora, prova a disegnare gli insiemi $T$ ed $E$ nel piano cartesiano. Sono due rette parallele e formano un angolo di 45 gradi con l'asse $x$. La retta $E$ passa per l'origine, la retta $T$ non passa per l'origine. La retta $T$ è esattamente la retta $E$ traslata in su di una unità. Questa traslazione in su di $1$ corrisponde proprio a prendere un generico punto della retta $E$ e aggiungerci la "soluzione particolare" $(x_0,y_0) = (0,1)$.
Ragiona un po' su questo e vedi se ti chiarisce i dubbi.
Esattamente, l'idea grafica della retta passante per l'origine e quella traslata è quella a cui stavo pensando per cercare di risolvermi i problemi.
Provo a sfruttarla per vedere se riesco a far capire il mio problema sul primo dubbio, ossia quello associato al testo del teorema:
Quello che volevo dire nel testo precedente, e provo a riformulare meglio è l'idea seguente:
Io dimostro che fissato $(x_0,y_0)=(0,1)$ posso trovare tutti gli elementi di $T$ assumendo distinti elementi di $E$, e in particolare anche selezionando ogni elemento di $E$ sommando $(0,1)$ trovo uno alla volta tutti gli elementi di T.
Variando $(x_0,y_0)$ di ripete un discorso analogo. Questo è quanto dimostrato e mi sembra chiaro.
Però questo non mi sembra essere quanto afferma il testo (quindi se vogliamo il mio problema è comprendere il testo alla luce di quanto dimostrato). Infatti io lo interpreto così quanto nel quote: [intendendo generica come qualunque/ogni] Ogni elemento di T (cioè t nel testo) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare qualsiasi (x0,y0) (cioè x0), una generica E.
Riassumendo: ogni elemento di T è raggiunto da ogni elemento di E tramite un qualche $x_0=(0,1)$ che posso far variare (e viceversa ogni elemento di E è raggiunto da un T tramite $(x_0,y_0)$). Quindi quanto dimostrato l'ho capito secondo me, ma non lo riesco legare a questo testo che mi sembra dire quanto ho scritto ora.
--- --- ---
Poi c'era un secondo problema e questo si rifà invece a qualcosa di diverso, cioè sulla dimostrazione in sé. Siccome mi hai detto che sono stato incapace a spiegarmi bene e comprendo la mia colpa ci riprovo. Il fatto è che fatico a rendere a parole quanto mi turba.
Abbiamo appunto detto che fissato $x_0$ noi mostriamo che $T$ è uguale a $E={x0+u : u∈S}$.
Per mostrare questo svolgo due dimostrazioni:
tenendo $x_0$ fisso
-a- dato ogni elemento di $T$ trovo un $u in E$ tale che $t=x_0+u$
-b- ma anche che dato ogni $u in E$ trovo un $t in T$ t.c. $t=x_0+u$.
Unire queste due vorrebbe dire che:
-a- variando al continuo elementi in $T$ (siano i 4 pallini neri nell'immagine tutti gli elementi di T -non considerare ora quello a matita-) tramite la sottrazione con $(x_0,y_0)$ trovo un elemento di $E$ (i 4 pallini neri di E), ma questo non mi assicura che tutta la retta $E$ sia coperta in questa variazione di elementi in $E$ : c'è infatti un pallino blu inizialmente non coperto.
-b- A questo punto dimostro che variando al continuo ogni elemento in $E$ (cioè i 5 pallini composti da 4 neri e uno blu), sempre tramite $(x_0,y_0)$ trovo sempre elementi in $T$, benissimo, ma questo non vuol dire che variando elementi in $E$ trovo tutti gli elementi di $T$, ci potrebbe essere un pallino a matita in $T$ cui non arriva alcuna linea.
Ma questo porta a un assurdo poiché sembra che ora ci sia un pallino in più su $T$.
E' proprio questa parte a lasciarmi perplesso nell'unire le due parti della dimostrazione.
Quello che invece vorrei, unendo le due parti della dimostrazione, è che al contempo mi garantisca che elementi generici/tutti di $T$ ed $E$ siano uniti/coperti dalla somma con $(x_0,y_0)$ particolare (passami il termine in modo contemporaneo).
Purtroppo fatico a formalizzare bene questa idea, spero davvero sia più chiara
.
Se riesco a capire ste due ultime cose ho finalmente annullato ogni dubbio grazie al tuo aiuto. Non so davvero come ringraziarti
Provo a sfruttarla per vedere se riesco a far capire il mio problema sul primo dubbio, ossia quello associato al testo del teorema:
Una generica soluzione (t) di un sistema lineare compatibile si ottiene aggiungendo una (qualsiasi) soluzione particolare (x0) del sistema lineare compatibile ad una generica soluzione (u) del sistema lineare omogeneo associato.
Quello che volevo dire nel testo precedente, e provo a riformulare meglio è l'idea seguente:
Io dimostro che fissato $(x_0,y_0)=(0,1)$ posso trovare tutti gli elementi di $T$ assumendo distinti elementi di $E$, e in particolare anche selezionando ogni elemento di $E$ sommando $(0,1)$ trovo uno alla volta tutti gli elementi di T.
Variando $(x_0,y_0)$ di ripete un discorso analogo. Questo è quanto dimostrato e mi sembra chiaro.
Però questo non mi sembra essere quanto afferma il testo (quindi se vogliamo il mio problema è comprendere il testo alla luce di quanto dimostrato). Infatti io lo interpreto così quanto nel quote: [intendendo generica come qualunque/ogni] Ogni elemento di T (cioè t nel testo) si ottiene aggiungendo a una soluzione particolare qualsiasi (x0,y0) (cioè x0), una generica E.
Riassumendo: ogni elemento di T è raggiunto da ogni elemento di E tramite un qualche $x_0=(0,1)$ che posso far variare (e viceversa ogni elemento di E è raggiunto da un T tramite $(x_0,y_0)$). Quindi quanto dimostrato l'ho capito secondo me, ma non lo riesco legare a questo testo che mi sembra dire quanto ho scritto ora.
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Poi c'era un secondo problema e questo si rifà invece a qualcosa di diverso, cioè sulla dimostrazione in sé. Siccome mi hai detto che sono stato incapace a spiegarmi bene e comprendo la mia colpa ci riprovo. Il fatto è che fatico a rendere a parole quanto mi turba.
Abbiamo appunto detto che fissato $x_0$ noi mostriamo che $T$ è uguale a $E={x0+u : u∈S}$.
Per mostrare questo svolgo due dimostrazioni:
tenendo $x_0$ fisso
-a- dato ogni elemento di $T$ trovo un $u in E$ tale che $t=x_0+u$
-b- ma anche che dato ogni $u in E$ trovo un $t in T$ t.c. $t=x_0+u$.
Unire queste due vorrebbe dire che:
-a- variando al continuo elementi in $T$ (siano i 4 pallini neri nell'immagine tutti gli elementi di T -non considerare ora quello a matita-) tramite la sottrazione con $(x_0,y_0)$ trovo un elemento di $E$ (i 4 pallini neri di E), ma questo non mi assicura che tutta la retta $E$ sia coperta in questa variazione di elementi in $E$ : c'è infatti un pallino blu inizialmente non coperto.
-b- A questo punto dimostro che variando al continuo ogni elemento in $E$ (cioè i 5 pallini composti da 4 neri e uno blu), sempre tramite $(x_0,y_0)$ trovo sempre elementi in $T$, benissimo, ma questo non vuol dire che variando elementi in $E$ trovo tutti gli elementi di $T$, ci potrebbe essere un pallino a matita in $T$ cui non arriva alcuna linea.
Ma questo porta a un assurdo poiché sembra che ora ci sia un pallino in più su $T$.
E' proprio questa parte a lasciarmi perplesso nell'unire le due parti della dimostrazione.
Quello che invece vorrei, unendo le due parti della dimostrazione, è che al contempo mi garantisca che elementi generici/tutti di $T$ ed $E$ siano uniti/coperti dalla somma con $(x_0,y_0)$ particolare (passami il termine in modo contemporaneo).
Purtroppo fatico a formalizzare bene questa idea, spero davvero sia più chiara
.Se riesco a capire ste due ultime cose ho finalmente annullato ogni dubbio grazie al tuo aiuto. Non so davvero come ringraziarti
Scusa non ti seguo (ma zero proprio), tornando all'esempio di $y=x+1$ e $x_0=(0,1)$, quali sarebbero gli elementi di $T$ (o di $E$) scoperti?
Ok, allora:
noi abbiamo l'insieme $T={(x,x+1) : x in RR}$ (che nel mio disegno erano i 4 pallini neri della retta y=x+1), è un caso finito perché non posso disegnarne infiniti ma era per esprimere questo concetto.
Ogni elemento di T tramite $(0,1)$, precisamente sottraendolo, lo "collego" a un elemento di $E = {(x,x) : x in RR}$. In questo modo dimostro che ogni elemento di T avrà un corrispettivo in E, ma ci potrebbero essere elementi di E che non hanno corrispettivi in T (il mio pallino blu in E).
A questo punto dimostro la seconda parte: ogni elemento di $E = {(x,x) : x in RR}$ sommato a $(0,1)$ ha un corrispettivo in $T={(x,x+1) : x in RR}$, ma di nuovo potrebbero esserci elementi in T che non vengono raggiunti dalla somma di un elemento di $E$ + $(0,1)$ (immagino quindi l'esistenza un nuovo pallino su T -a matita- che prima non c'era). E questo mi sembra un po' un assurdo perché io invece mi aspetto che tutti gli elementi di T abbiano un loro legame (tramite (0,1)) con ogni elemento di E, mentre mi sembra in tal modo di individuare un nuovo elemento di T che non è coperto.
Quello che mi aspetto invece dalla dimostrazione è che mostrando questa doppio legame tra T ed E io abbia che ogni elemento di E è legato a un T e viceversa.
noi abbiamo l'insieme $T={(x,x+1) : x in RR}$ (che nel mio disegno erano i 4 pallini neri della retta y=x+1), è un caso finito perché non posso disegnarne infiniti ma era per esprimere questo concetto.
Ogni elemento di T tramite $(0,1)$, precisamente sottraendolo, lo "collego" a un elemento di $E = {(x,x) : x in RR}$. In questo modo dimostro che ogni elemento di T avrà un corrispettivo in E, ma ci potrebbero essere elementi di E che non hanno corrispettivi in T (il mio pallino blu in E).
A questo punto dimostro la seconda parte: ogni elemento di $E = {(x,x) : x in RR}$ sommato a $(0,1)$ ha un corrispettivo in $T={(x,x+1) : x in RR}$, ma di nuovo potrebbero esserci elementi in T che non vengono raggiunti dalla somma di un elemento di $E$ + $(0,1)$ (immagino quindi l'esistenza un nuovo pallino su T -a matita- che prima non c'era). E questo mi sembra un po' un assurdo perché io invece mi aspetto che tutti gli elementi di T abbiano un loro legame (tramite (0,1)) con ogni elemento di E, mentre mi sembra in tal modo di individuare un nuovo elemento di T che non è coperto.
Quello che mi aspetto invece dalla dimostrazione è che mostrando questa doppio legame tra T ed E io abbia che ogni elemento di E è legato a un T e viceversa.
Ok, ho capito meglio il tuo dubbio, ma continuo a non capire bene perché tu ce l'abbia. Il corrispettivo di $(x,x) in E$ è $(x,x+1) in T$ e viceversa, non ci sono elementi scoperti.
La funzione $E to T$ che manda $(x,x)$ in $(x,x+1)$ è biiettiva, cioè è una corrispondenza biunivoca. La sua inversa è la funzione $T to E$ che manda $(x,x+1)$ in $(x,x)$.
Cioè tu vai in crisi perché "potrebbero esserci elementi scoperti" ma se analizzi con calma vedi che non ce ne sono di elementi scoperti.
La funzione $E to T$ che manda $(x,x)$ in $(x,x+1)$ è biiettiva, cioè è una corrispondenza biunivoca. La sua inversa è la funzione $T to E$ che manda $(x,x+1)$ in $(x,x)$.
Cioè tu vai in crisi perché "potrebbero esserci elementi scoperti" ma se analizzi con calma vedi che non ce ne sono di elementi scoperti.
Mi rendo conto che forse mettere tutto in un disegno non sia una buona idea, quello che volevo dire era questo:
nella prima parte dimostro che ogni elemento di T è legato a un elemento di E, ma puo esserci un elemento di E (in blu) non legato a nessun elemento di T.
A questo punto passo alla secodna parte della dimostrazione e mostro che ogni elemento di E, quindi anche quello blu, ha un elemento corrispettivo in T (l'altra inclusione). M potrei avere un elemento in T (quello a matita) che non è legato da nessuna linea (ossia nessun (x0,y0) a un elemento di E. Assurdo
nella prima parte dimostro che ogni elemento di T è legato a un elemento di E, ma puo esserci un elemento di E (in blu) non legato a nessun elemento di T.
A questo punto passo alla secodna parte della dimostrazione e mostro che ogni elemento di E, quindi anche quello blu, ha un elemento corrispettivo in T (l'altra inclusione). M potrei avere un elemento in T (quello a matita) che non è legato da nessuna linea (ossia nessun (x0,y0) a un elemento di E. Assurdo
Ho visto che nel frattempo mi hai gia gentilmente risposto. Avevo introdotto qui sopra (messaggio prima di questo) una figura forse più furba penso mentre stavi scrivendo.
esattissimo, infatti vedendola lì lo vedo bene. Ma faccio a ****tti con l'idea quando poi quando penso agli insiemi e a un elemento di T implica che vi è un elemento in E e viceversa un elemento di E implica che ho l'elemento t in T ossi aquando guardo la dimostrazione in senso generale e spezzettandola in "due parti" vado in estrema crisi, perché mi sembra di finire in un assurdo (quello del pallino a matita). E non capisco dove diavolo sbaglio e ne esco pazzo
. Perché da una parte mi torna (è biiettiva) ma dall'altra s****tto col fatto che non mi torna vedendola in due pezzi. E non può essere, deve tornare!
"Martino":
La funzione $E to T$ che manda $(x,x)$ in $(x,x+1)$ è biiettiva
esattissimo, infatti vedendola lì lo vedo bene. Ma faccio a ****tti con l'idea quando poi quando penso agli insiemi e a un elemento di T implica che vi è un elemento in E e viceversa un elemento di E implica che ho l'elemento t in T ossi aquando guardo la dimostrazione in senso generale e spezzettandola in "due parti" vado in estrema crisi, perché mi sembra di finire in un assurdo (quello del pallino a matita). E non capisco dove diavolo sbaglio e ne esco pazzo
. Perché da una parte mi torna (è biiettiva) ma dall'altra s****tto col fatto che non mi torna vedendola in due pezzi. E non può essere, deve tornare!
Ma scusa, "può esserci" non vuol dire "c'è". O c'è o non c'è, e i fatti mostrano che non c'è. Quindi l'assurdo non sussiste.
È come se io dicessi che le sirene non esistono (come ben sappiamo), poi metti che vado a perlustrare tutto l'oceano atlantico e non trovo nessuna sirena. Poi però dico "potrebbero però esserci sirene nell'oceano pacifico. Assurdo, perché sappiamo che le sirene non esistono".
Ti giuro che non ti seguo.
È come se io dicessi che le sirene non esistono (come ben sappiamo), poi metti che vado a perlustrare tutto l'oceano atlantico e non trovo nessuna sirena. Poi però dico "potrebbero però esserci sirene nell'oceano pacifico. Assurdo, perché sappiamo che le sirene non esistono".
Ti giuro che non ti seguo.
Probabilmete sono solo rincretinito 
.
Ma in sostanza il fatto che quel pallino a matita non ci sia (come dici tu può esserci o non esserci nel secondo disegno) non capisco cosa mi garantisca non ci sia. E' il fatto che nella prima parte (cioè primo disegno e prima parte della dimostrazione) ho invece dimostrato che ogni T ha un "corrispettivo" in E? (e quindi non può sussistere alcun pallino non collegato a un E). Cioè, quello che voglio dire è che non capisco cosa me ne escluda la presenza.
.Ma in sostanza il fatto che quel pallino a matita non ci sia (come dici tu può esserci o non esserci nel secondo disegno) non capisco cosa mi garantisca non ci sia. E' il fatto che nella prima parte (cioè primo disegno e prima parte della dimostrazione) ho invece dimostrato che ogni T ha un "corrispettivo" in E? (e quindi non può sussistere alcun pallino non collegato a un E). Cioè, quello che voglio dire è che non capisco cosa me ne escluda la presenza.
Scusa, mi arrendo. Ti giuro che non capisco. Buona fortuna 
Ahaha ok, grazie comunque per l'aiuto.
In ogni caso, il fatto è che volevo solo capire la tua affermazione:
E stavo solamente chiedendo, nella dimostrazione generale (non nel particolare esempio delle rette!), quale passaggio mostrasse che quel pallino non c'è. Io non l'ho proprio capito
.
- Da una parte dico tutti gli elementi di T posso legarli tramite una operazione con X0 a un elemento di E (ma E potrebbe avere elementi in più non collegati da alcuna x0 a elementi di T)
- Dall'altra dico tutti gli elementi di E posso legarli tramite un valore x0 a un elemento di T (ma ammetto che T potrebbe avere anche elementi che non sono legati ad alcune elemento di E)
Io chiedevo solo cosa mi garantisse in questo secodno punto della dimostrazione che un tale elemento di T (non legato a elementi di E) non esiste
In ogni caso, il fatto è che volevo solo capire la tua affermazione:
Ma scusa, "può esserci" non vuol dire "c'è". O c'è o non c'è, e i fatti mostrano che non c'è. Quindi l'assurdo non sussiste.
E stavo solamente chiedendo, nella dimostrazione generale (non nel particolare esempio delle rette!), quale passaggio mostrasse che quel pallino non c'è. Io non l'ho proprio capito
.- Da una parte dico tutti gli elementi di T posso legarli tramite una operazione con X0 a un elemento di E (ma E potrebbe avere elementi in più non collegati da alcuna x0 a elementi di T)
- Dall'altra dico tutti gli elementi di E posso legarli tramite un valore x0 a un elemento di T (ma ammetto che T potrebbe avere anche elementi che non sono legati ad alcune elemento di E)
Io chiedevo solo cosa mi garantisse in questo secodno punto della dimostrazione che un tale elemento di T (non legato a elementi di E) non esiste
Prendiamo un $t in T$ qualsiasi. Sia $u=t-x_0$. Allora $u in E$ e $t=u+x_0$, quindi $t$ è collegato a $u$. Questo dimostra che ogni elemento di $T$ è collegato a un elemento di $E$. Quindi non esistono elementi di $T$ scoperti.
Ma la mia frustrazione viene dal fatto che ti sto ripetendo sempre la stessa cosa e tu rispondi sempre "ok ma chi mi garantisce che non esistano elementi scoperti?". Sembra che tu non legga le mie risposte.
Ma la mia frustrazione viene dal fatto che ti sto ripetendo sempre la stessa cosa e tu rispondi sempre "ok ma chi mi garantisce che non esistano elementi scoperti?". Sembra che tu non legga le mie risposte.
Allora forse mi sono solo spiegato male. In realtà questo fatto l'ho ben capito e sono convinto non ci siano elementi scoperti in T, ma è poi con la seconda parte della DIM che mi pare che ammetto ci siano e mi sembrava assurdo. E volevo capire dove risiedesse la fallacia del ragionamento da me riportato.
E' incontrovertibile sia così, e questa parte dimostra che per ogni elemento di T c'è un elemento di E, tuttavia potrei avere un elemento u di E scoperto.
E' a questo punto che prendo un $u$ qualsiasi in $E$ e faccio il ragionamento opposto e trovo che ogni elemento di $E$ ha un rispettivo elemento in $T$
Però mi imbroglio quando vado a unire le due conclusioni perche dico: ho dimostrato che per ogni T c'è un elemento di E, tuttavia potrei avere un elemento di E scoperto. Poi dimostro che ogni elemento di E ha un corrispettivo in T ma può sussistere(**) un elemento in T scoperto.
Tuttavia all'inizio ho detto che non ci sono elementi in T scoperti e questo mi sembra cozzare con quanto ho appena concluso che ci possono essere (**) T scoperti.
Mi sembrava un cane che si morde la coda
Quello che chiedevo era quindi se, potendoci essere per la seconda parte della dimostrazione elementi di T scoperti, questi in realtà sono garantiti della loro non esistenza per via della prima parte della dimostrazione. Cioè per la parte nel quote.
Probabilmente la domanda appare talemtne scema che non la compendi nemmeno come dubbio ma la mia domanda era solo per capire come funzionava la dimostrazione di questo tipo, non essendo particolarmente avvezzo ad alcun tipo di ragionamento logico dimostrativo (purtroppo vengo da una scuola dove matematica era molto poco svolta) e volendo migliorarmi.
"Martino":
Prendiamo un $t in T$ qualsiasi. Sia $u=t-x_0$. Allora $u in E$ e $t=u+x_0$, quindi $t$ è collegato a $u$. Questo dimostra che ogni elemento di $T$ è collegato a un elemento di $E$. Quindi non esistono elementi di $T$ scoperti.
E' incontrovertibile sia così, e questa parte dimostra che per ogni elemento di T c'è un elemento di E, tuttavia potrei avere un elemento u di E scoperto.
E' a questo punto che prendo un $u$ qualsiasi in $E$ e faccio il ragionamento opposto e trovo che ogni elemento di $E$ ha un rispettivo elemento in $T$
Però mi imbroglio quando vado a unire le due conclusioni perche dico: ho dimostrato che per ogni T c'è un elemento di E, tuttavia potrei avere un elemento di E scoperto. Poi dimostro che ogni elemento di E ha un corrispettivo in T ma può sussistere(**) un elemento in T scoperto.
Tuttavia all'inizio ho detto che non ci sono elementi in T scoperti e questo mi sembra cozzare con quanto ho appena concluso che ci possono essere (**) T scoperti.
Mi sembrava un cane che si morde la coda
Quello che chiedevo era quindi se, potendoci essere per la seconda parte della dimostrazione elementi di T scoperti, questi in realtà sono garantiti della loro non esistenza per via della prima parte della dimostrazione. Cioè per la parte nel quote.
Probabilmente la domanda appare talemtne scema che non la compendi nemmeno come dubbio
ma la mia domanda era solo per capire come funzionava la dimostrazione di questo tipo, non essendo particolarmente avvezzo ad alcun tipo di ragionamento logico dimostrativo (purtroppo vengo da una scuola dove matematica era molto poco svolta) e volendo migliorarmi.
Dai la definizione esatta di "elemento scoperto". La definizione matematica. Occhio, dev'essere una definizione ineccepibile e inequivocabile.
Ci provo, almeno.
Nella mia testa è: esiste un t di T tale che non esiste u di E per cui t=x0+u
Nella mia testa è: esiste un t di T tale che non esiste u di E per cui t=x0+u
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