Un numero algebrico
Ho trovato sulla rete un quesito che mi e'
apparso interessante ( e di cui non ho la soluzione).
Lo riporto:
sin(1°) e' algebrico ?
Da quanto ho letto sembra che sin(1rad) sia sicuramente
non algebrico.
karl.
apparso interessante ( e di cui non ho la soluzione).
Lo riporto:
sin(1°) e' algebrico ?
Da quanto ho letto sembra che sin(1rad) sia sicuramente
non algebrico.
karl.
Risposte
ehm.. Karl, si può dedurre che se sin(1rad) non è algebrico, allora non è algebrico neanche sin(1/1rad)?
Penso che la tua domanda si risolva da sola visto che 1/(1rad) non
sembra essere un angolo.Quello che si puo' affermare con certezza
e' che 1/sin(1rad) non e' algebrico:infatti se sin(1rad) non e'
radice di nessuna equazione a coefficienti razionali,non lo e'
nemmeno il suo reciproco.
karl.
sembra essere un angolo.Quello che si puo' affermare con certezza
e' che 1/sin(1rad) non e' algebrico:infatti se sin(1rad) non e'
radice di nessuna equazione a coefficienti razionali,non lo e'
nemmeno il suo reciproco.
karl.
mi sa che ho sbagliato! ho fatto dei passaggi senza le unità di misura e poi sono andato a mettercele come se niente fosse e mi veniva 1° = 1/1rad. ma è sbaliata!
grazie, ciao
p.s. sto sbagliando troppo ultimamente!
grazie, ciao
p.s. sto sbagliando troppo ultimamente!
Non ti angustiare piu' di tanto.Con le unita'
di misura sbagliare capita spesso.
Se hai pazienza di gironzolare per il forum,di
errori miei e di altri ne trovi che ne trovi.
karl.
di misura sbagliare capita spesso.
Se hai pazienza di gironzolare per il forum,di
errori miei e di altri ne trovi che ne trovi.
karl.
Mediante l'uso ripetuto delle formule di somma/differenza di seno e coseno, partendo dal seno e coseno di 18°, 30° e 45° (che sono esprimibili mediante radici e sono quindi algebrici) si arriva agli angoli di 15°=45°-30° e 3°=18°-15°.
In particolare ho ricavato che:
sin(3°)=(sqrt(30)+sqrt(10)-sqrt(6)-sqrt(2)-2*sqrt(15+3*sqrt(5))+2*sqrt(5+sqrt(5)))/16.
Iterando la formula di addizione del seno di trova quella dfi triplicazione:
sin(3a)=3*sin(a)-4*(sin(a))^3
da cui
sin(3°)=3*sin(1°)-4*(sin(1°))^3
posto x=sin(1°) allora sin(1°) è soluzione dell'equazione algebrica:
4*x^3-3*x+sin(3°)=0
Con un numero finito di opportuni elevamenti al quadrato si possono far sparire tutte le radici dell'espressione di sin(3°) e quindi si ottiene un'equazione algebrica a coefficienti interi che ha per soluzione sin(1°).
Chi ha tempo e voglia, seguendo le istruzioni che ho dato, può determinarla!
Cavia
In particolare ho ricavato che:
sin(3°)=(sqrt(30)+sqrt(10)-sqrt(6)-sqrt(2)-2*sqrt(15+3*sqrt(5))+2*sqrt(5+sqrt(5)))/16.
Iterando la formula di addizione del seno di trova quella dfi triplicazione:
sin(3a)=3*sin(a)-4*(sin(a))^3
da cui
sin(3°)=3*sin(1°)-4*(sin(1°))^3
posto x=sin(1°) allora sin(1°) è soluzione dell'equazione algebrica:
4*x^3-3*x+sin(3°)=0
Con un numero finito di opportuni elevamenti al quadrato si possono far sparire tutte le radici dell'espressione di sin(3°) e quindi si ottiene un'equazione algebrica a coefficienti interi che ha per soluzione sin(1°).
Chi ha tempo e voglia, seguendo le istruzioni che ho dato, può determinarla!
Cavia
Dimenticavo ... riguardo a sin(1/1 rad) ricordo che il radiante è un'unità di misura fasulla usata da alcuni fisici, perchè la misura in radianti di un angolo (essendo un rapporto di lunghezze) è un numero puro! Quindi 1 rad=1 e 1/1 rad= 1 rad = 1. Dunque sin(1 rad)=sin(1/1 rad)=sin(1)=sin(180°/pigreco)=0,017452...
Cavia
Cavia
Non la chiamerei fasulla ! E' ben definita : appunto come rapporto tra due lunghezze e poi più che dai fisici è usata dai matematici !
Dimenticavo di dire che, ad esempio, il ben noto limite fondamentale :
lim per x che tende a 0 di sin x/ x vale 1 se e solo se gli angoli sono misurati proprio in radianti .
lim per x che tende a 0 di sin x/ x vale 1 se e solo se gli angoli sono misurati proprio in radianti .
La misura in radianti è un numero puro, mentre la misura in gradi è del tipo della dozzina. 2,5 dozzine sono un modo diverso di dire 30 e, analogamente, 1° è un modo diverso di esprimere il "numero" pigreco/180. Quando ho detto che il radiante è un'unità di misura fasulla ho inteso dire esattamente questo: 1 rad = 1 e ... basta! LA scrittura rad può essere tranquillamente omessa. Per esempio la velocità angolare alcuni la misurano in rad/s, ma in realtà si tratta semplicemente di /s e ... basta: il reciproco di un tempo!
Qualche commento sulla mia soluzione del problema proposto?
Cavia
Qualche commento sulla mia soluzione del problema proposto?
Cavia
A dire il vero l'inverso di una velocità angolare non è esattamente un tempo... cioè, è un tempo ma relativo. Es.: v=10 rad/s ==> 1/v = 0.1s/rad: ovvero 0.1 secondi è il tempo impiegato per percorrere un radiante.
Un altro esempio:
La velocità angolare si esprime in rad/s. La frequenza in 1/s [Hz]. Sono due cose diverse. Per passare da una all'altra c'è di mezzo un fattore 2
che rappresenta un angolo giro, cioè 2 radianti.
O ancora. Prendiamo la funzione del tempo cos(t). Essendo argomento di una fnzione trigonometrica t è un numero puro. Possiamo infatti scriverlo così:
cos((2/T) q)
dove T = 2 è il periodo del coseno (in radianti) e q = T/(2)*t è espresso in radianti.
Quindi c'è una sottile differenza tra radianti e numeri puri, se non altro per ciò che rappresentano. Avere a mente questa differenza aiuta moltissimo a svolgere una buona analisi dimensionale di una formula, strumento utilissimo (secondo me) per non fare errori banali!
Un altro esempio:
La velocità angolare si esprime in rad/s. La frequenza in 1/s [Hz]. Sono due cose diverse. Per passare da una all'altra c'è di mezzo un fattore 2
che rappresenta un angolo giro, cioè 2 radianti.O ancora. Prendiamo la funzione del tempo cos(t). Essendo argomento di una fnzione trigonometrica t è un numero puro. Possiamo infatti scriverlo così:
cos((2
/T) q)dove T = 2
è il periodo del coseno (in radianti) e q = T/(2)*t è espresso in radianti.Quindi c'è una sottile differenza tra radianti e numeri puri, se non altro per ciò che rappresentano. Avere a mente questa differenza aiuta moltissimo a svolgere una buona analisi dimensionale di una formula, strumento utilissimo (secondo me) per non fare errori banali!
Devo essere veramente scemo, quando parli te, Goblyn, non ci capisco una mazza
*Ieri dicevo che il limite per x che tende a 0 di sin x/x vale 1 se e
solo se l'angolo è misurato in radianti.
Se invece è misurato in gradi allora il limite vale : pi/180
(pi
significa pi greco).
Infatti se indico con x la misura in radianti di un certo angolo e
con y la misura dello stesso angolo in gradi si ha :
y= 180*x/pi .
Quindi : se x tende a 0, anche y tende a 0 e viceversa; inoltre
è: sin x = sin y.
Noi vogliamo trovare quale sia il limite per y che tende a 0 di :
siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di:sinx/(180*x/pi)=
limite per x che tende a 0 di : (pi/180)*(sinx/x) =pi/180*limite per
x che tende a 0 di : sinx/x = pi/180.
C.V.D.
*Anche nel caso delle derivate di funzioni trigonometriche va posta
attenzione a quale sia l'unità di misura adottata per l'angolo.
Se è il radiante allora : D sin x = cos x e anche : Dcosx = -sin x ;
ma se l'angolo è misurato in gradi allora è facile vedere, ricordando
che la derivata è il limite del rapporto incrementale e tenendo in
conto il limite sopra calcolato che :
D sinx = pi/180*cosx e : Dcosx= -pi/180*sin x .
Quindi quando si dice che la derivata di sin x è cos x, si dà per
scontata una cosa : che si stiano misurando gli angoli in radianti .
La maggiore semplicità della formula che dà la derivata delle
funzioni trigonometriche ,nel caso si misurino gli angoli in
radianti, è senz'altro una delle ragioni del largo uso in Analisi dei
radianti.
*Per concludere sono poi pienamente d'accordo con quanto dice goblyn
nel suo post di questa mattina su radianti e numeri puri.
solo se l'angolo è misurato in radianti.
Se invece è misurato in gradi allora il limite vale : pi/180
(pi
significa pi greco).
Infatti se indico con x la misura in radianti di un certo angolo e
con y la misura dello stesso angolo in gradi si ha :
y= 180*x/pi .
Quindi : se x tende a 0, anche y tende a 0 e viceversa; inoltre
è: sin x = sin y.
Noi vogliamo trovare quale sia il limite per y che tende a 0 di :
siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di:sinx/(180*x/pi)=
limite per x che tende a 0 di : (pi/180)*(sinx/x) =pi/180*limite per
x che tende a 0 di : sinx/x = pi/180.
C.V.D.
*Anche nel caso delle derivate di funzioni trigonometriche va posta
attenzione a quale sia l'unità di misura adottata per l'angolo.
Se è il radiante allora : D sin x = cos x e anche : Dcosx = -sin x ;
ma se l'angolo è misurato in gradi allora è facile vedere, ricordando
che la derivata è il limite del rapporto incrementale e tenendo in
conto il limite sopra calcolato che :
D sinx = pi/180*cosx e : Dcosx= -pi/180*sin x .
Quindi quando si dice che la derivata di sin x è cos x, si dà per
scontata una cosa : che si stiano misurando gli angoli in radianti .
La maggiore semplicità della formula che dà la derivata delle
funzioni trigonometriche ,nel caso si misurino gli angoli in
radianti, è senz'altro una delle ragioni del largo uso in Analisi dei
radianti.
*Per concludere sono poi pienamente d'accordo con quanto dice goblyn
nel suo post di questa mattina su radianti e numeri puri.
Ribadisco per l'ultima volta (quando le cose vanno per le lunghe si rischia di annoiare): la misura in radianti è un numero puro e attribuire un'unità di misura dimensionale a un numero puro quando va bene è solo pericoloso, ma quando va male conduce ad errori madornali! Esiste una letteratura sterminata in merito (La più chiara di tutti è certamente quella del volume di meccanica di Robert W. Pohl, uno dei massimi fisici sperimentali del XiX secolo).
Buona notte
Cavia
Buona notte
Cavia
citazione:
siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di:sinx/(180*x/pi)
Camillo, siny/y = sin(180*x/pi)/(180*x/pi) quindi il limite è 1 anche se l'angolo è espresso in gradi, non cambia nulla! Tu hai calcolato il limite di sin(x)/y dove y=180*x/pi, cioè x in rad e y in gradi!
No, goblyn, il limite non è : 1 se l'angolo è espresso in gradi, ma
vale : pi/180= circa : 0.0174532.
Forse un passaggio da me fatto non era sufficientemente spiegato.
Ci ritorno :
quando dico " siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di
(sinx)/(180*x/pi) = limite per x che tende a 0 : (pi/180)*(sinx/x)= "
etc.è corretto poichè x, y rappresentano lo stesso angolo (uno
espresso in radianti e l'altro in gradi) e quindi : sin x= sin y.
Posso quindi sostituire sin y con sin x ,( hanno lo stesso valore ) e
poi al posto di y mettere : 180*x/pi e svolgere i conti come ho fatto
, ottenendo come valore del limite : pi/180.
Quanto segue non è certo una dimostrazione ulteriore di quanto già
dimostrato sopra : è solo una " verifica sperimentale " ( so che il
termine è improprio e talvolta questi procedimenti possono portare ad
errori anche gravi, ma non in questo caso ).
Prova col calcolatorino ad eseguire questi conti :
* sin 1/1= 0.0174524 valore ben vicino a :pi/180=0.0174532 :
naturalmente bisogna settare il calcolatore a lavorare in gradi.
Ma 1 grado non è così piccolo, se provo a calcolare : sin 0.1/0.1,
sempre in gradi ottengo : 0.0174532 !!
Se poi provo , settandolo in radianti a calcolare : sin(0.1)/0.1
ottengo 0.9983341( l'angolo non è però piccolo perchè vale circa :
5.7 gradi).
Provo allora con 0.01 radianti e ottengo : sin(0.01)/0.01 =
0.9999833.
Comunque indipendentemente da queste"verifiche sperimentali"
ribadisco la correttezza del limite per x che tende a 0 di sin x/x
(con x in gradi ) = pi/180.
Camillo
vale : pi/180= circa : 0.0174532.
Forse un passaggio da me fatto non era sufficientemente spiegato.
Ci ritorno :
quando dico " siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di
(sinx)/(180*x/pi) = limite per x che tende a 0 : (pi/180)*(sinx/x)= "
etc.è corretto poichè x, y rappresentano lo stesso angolo (uno
espresso in radianti e l'altro in gradi) e quindi : sin x= sin y.
Posso quindi sostituire sin y con sin x ,( hanno lo stesso valore ) e
poi al posto di y mettere : 180*x/pi e svolgere i conti come ho fatto
, ottenendo come valore del limite : pi/180.
Quanto segue non è certo una dimostrazione ulteriore di quanto già
dimostrato sopra : è solo una " verifica sperimentale " ( so che il
termine è improprio e talvolta questi procedimenti possono portare ad
errori anche gravi, ma non in questo caso ).
Prova col calcolatorino ad eseguire questi conti :
* sin 1/1= 0.0174524 valore ben vicino a :pi/180=0.0174532 :
naturalmente bisogna settare il calcolatore a lavorare in gradi.
Ma 1 grado non è così piccolo, se provo a calcolare : sin 0.1/0.1,
sempre in gradi ottengo : 0.0174532 !!
Se poi provo , settandolo in radianti a calcolare : sin(0.1)/0.1
ottengo 0.9983341( l'angolo non è però piccolo perchè vale circa :
5.7 gradi).
Provo allora con 0.01 radianti e ottengo : sin(0.01)/0.01 =
0.9999833.
Comunque indipendentemente da queste"verifiche sperimentali"
ribadisco la correttezza del limite per x che tende a 0 di sin x/x
(con x in gradi ) = pi/180.
Camillo
delle dimensioni degli angoli e delle veloc. angolari.
scusate se forse ricalco quanto è già stato detto, aggiungendo una
semplice considerazione dal punto di vista dimensionale:
sono perplesso, "viziato" dall'abitudine di dire "3600 giri al minuto"!
tu, come la metti, goblyn?
tony
modifiche a posteriori:
- ri-impaginato un poco.
- corretto un "1" facendolo diventare "l" (sono dannatemente simili)
- aggiunto l'interrogativo finale "come la metti, goblyn?"
*Edited by - tony on 19/02/2004 02:14:49
scusate se forse ricalco quanto è già stato detto, aggiungendo una
semplice considerazione dal punto di vista dimensionale:
la veloc. periferica di un punto in rotaz. con vel. angol. omega è
v = omega * r
[l]
e, dimensionalmente, --- = [dimens. di omega] * [l]
[t]
[dimens. di theta]
ma, poichè [dimens. di omega] = ------------------
[t]
[l] [l]
è --- = [dimens. di theta] * ---
[t] [t]
su questo non ci piove (almeno credo); ne dedurrei che deve essere
[dimens. di theta] = [numero puro]
altrimenti, se fosse (come mi sembra qualcuno qui sostenga)
[dimens. di theta] = [qualcosa]
(dove quel "qualcosa" potrebbe avere il nome "angolo", o "radianti",
o "pigrechi", o "giri" - in inglese "rotations"-, o "cucuzzelle!"),
per quadrare bisognerebbe arzigogolare inventandosi un fattore
fantasma, che consista almeno di un [qualcosa] a denomin. per
"mandar via" il [qualcosa] a numeratore:
[l] [l] 1
--- = [qualcosa] * --- * ----------
[t] [t] [qualcosa]
come
[l] [l] 1
--- = [pigrechi] * --- * ----------
[t] [t] [pigrechi]
se così fosse, che cosa rappresenterebbe fisicamente questo fantasma
1 1 1 1
di dimens. ----------, cioè ----------, o ----------, o ------ ?
[qualcosa] [pigrechi] [radianti] [giri]
sono perplesso, "viziato" dall'abitudine di dire "3600 giri al minuto"!
tu, come la metti, goblyn?
tony
modifiche a posteriori:
- ri-impaginato un poco.
- corretto un "1" facendolo diventare "l" (sono dannatemente simili)
- aggiunto l'interrogativo finale "come la metti, goblyn?"
*Edited by - tony on 19/02/2004 02:14:49
Camillo, se scrivi sin(y)/y devi usare lo stesso numero come argomento del seno e come denominatore. Se no è come se dicessi che un oggetto che pesa 1000g è più pesante di uno che pesa 1kg solo perché 1000>1. Cioè è come se dicessi che 1000g/1kg=1000 che è sbagliato naturalmente. Se y-->0 sin(y)/y farà sempre 1.
Infatti come detto nel mio ultimo post se calcoli sin(0.1 gradi)/0.1
gradi ottieni :0.0174532 molto vicino a : pi/180.
D'altronde in G. Zwirner -L.Scaglianti -Elementi di Analisi -Ed CEDAM
si legge :
"Dimostriamo che : limite per x che tende a 0 di senx/x = 1 purchè x
indichi la misura in radianti dell'angolo......
Se invece indichiamo con z la misura dell'angolo in gradi , allora si
dimostra che :
limite per z che tende a 0 di senz/z = pi/180"
segue dimostrazione che ti risparmio.
Stesse considerazioni in :
Dodero, Baroncini, Toscani -Corso di Analisi -Ed Ghisetti e Corvi.
Non sarà che non riusciamo a comunicare quello che veramente vogliamo
dire , cioè che stiamo trasmettendo su due lunghezze d'onda
differenti ?
Mah..
Camillo
gradi ottieni :0.0174532 molto vicino a : pi/180.
D'altronde in G. Zwirner -L.Scaglianti -Elementi di Analisi -Ed CEDAM
si legge :
"Dimostriamo che : limite per x che tende a 0 di senx/x = 1 purchè x
indichi la misura in radianti dell'angolo......
Se invece indichiamo con z la misura dell'angolo in gradi , allora si
dimostra che :
limite per z che tende a 0 di senz/z = pi/180"
segue dimostrazione che ti risparmio.
Stesse considerazioni in :
Dodero, Baroncini, Toscani -Corso di Analisi -Ed Ghisetti e Corvi.
Non sarà che non riusciamo a comunicare quello che veramente vogliamo
dire , cioè che stiamo trasmettendo su due lunghezze d'onda
differenti ?
Mah..
Camillo
Rileggendo ho capito che il mio fraintendimento nasce da questo passaggio (prendo un angolo di 0.01°):
sin(0.01°) è circa (0.01°/180°)*pi rad e non 0.01 (come ho superficialmente considerato io).
Da cui lim sin(y)/y=pi/180 con y espresso in gradi.
Mea culpa, quindi.
sin(0.01°) è circa (0.01°/180°)*pi rad e non 0.01 (come ho superficialmente considerato io).
Da cui lim sin(y)/y=pi/180 con y espresso in gradi.
Mea culpa, quindi.
dei radianti che non sarebbero proprio numeri puri.
goblyn, forse ho trovato il punto che (secondo me) ti fuorvia.
dicevi il 16.02 (il grassetto è mio):
*quote:
... Quindi c'è una sottile differenza tra radianti e numeri puri, se
non altro per ciò che rappresentano. Avere a mente questa differenza
aiuta moltissimo a svolgere una buona analisi dimensionale di una
formula, strumento utilissimo (secondo me) per non fare errori banali!
la frase è molto bella, ma, se andiamo a vedere, allora ogni
numero puro che rappresenti qualcosa (il grado di riempimento di una
botte di vino, la percentuale di laureati in una popolazione, il
rapporto di lunghezza tra biella e manovella, ogni rapporto tra due
grandezze omogenee) sarebbe - secondo te - "sottilmente diverso" dagli altri?
a me pare che qui stia l'errore.
tony
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