Un esercizio sull'induzione

[nico12345]

Di solito questo teorema si dimostra scrivendo la somma di 1+2+3, ... , n in due modi :

S(n) = 1+2+ ... + (n-1) + n

e

S(n) = n+ (n-1) + ... +2+1

Addizionando emembro a membro, si vede che ogni coppia di numeri della stessa colonna ha come somma n+1; poiché vi sono in tutto n colonne, ne segue che

2S(n) = n(n+1),

il che prova il risultato richiesto.


Bene, la mia richiesta è: conoscere l'intera procedura di calcolo per giungere al risultato sopraindicato. Grazie

[_prime_number]

Vuoi una dimostrazione alternativa via induzione? Non capisco la domanda: la prova da te descritta non ha altri passaggi intermedi.

Paola

[nico12345]

Mi spiego meglio.

Non capisco come si giunga al risultato. Cosa voglia dire addizionare membro a membro e per quale fattore, perché sia motivata, per cosi dire, 2S(n)= n(n+1). TI

ringrazio.

[nico12345]

Cerco di essere ancora più chiaro :

2S(n) viene da S(n) + S(n)...? E il secondo membro da quale somma algebrica deriva? Grazie

[Rggb1]

[ Ma è una domanda adatta alla sezione?!? ]

Hai una somma di $n$ addendi crescenti
$S(n)=1+2+...+(n-1)+n$
che puoi anche scrivere "a rovescio" - diciamo così - ovvero con gli addendi decrescenti
$S(n)=n+(n-1)+...+2+1$

Quindi puoi fare $2*S(n)=S(n)+S(n)$ sommando gli addendi due a due, ottenendo
$2*S(n)=(1+n)+(2+(n-1))+ ... + ((n-1)+2) + (n+1)$

Per capirsi, se li metti in colonna:

A)      1    2    3 ...  n-2  n-1    n
B)      n  n-1  n-2 ...    3    2    1
---------------------------------------
Somma n+1  n+1  n+1 ...  n+1  n+1  n+1

Ora, come vedi ogni addendo di questa somma vale $n+1$ e ci sono $n$ addendi, quindi
$2*S(n)=n*(n+1)$
e quindi
$S(n)=(n*(n+1))/2$

PS.
Cosa c'entra l'induzione?

[nico12345]

Grazie, mi è stato molto utile.

L'esempio è tratto dalla pag 48 del Courant & Robbins nel paragrafo: L'infinità del sistema numerico. Induzione matematica. Ecco tutto

[xXStephXx]

Questa è la formula del piccolo Gauss. Imparala bene perchè ci perseguita parecchio.

[nico12345]

Come vedete mi sto imbattendo nel quinto assioma di Peano. Mi aiutereste a risolvere l'esercizio per induzione?

Grazie

$(1/(1*2))+(1/(2*3))+ ...+1/(n*(n+1))=n/(n+1)$

[_prime_number]

Per regolamento devi mostrare almeno i tuoi tentativi. Dove ti blocchi con la dimostrazione?

Paola

[nico12345]

I miei tentativi:

Per n =1 è vera ? Dimostriamola per induzione:

$(1/(1*2)) + (1/(2*3)) + ...+ (1/(1*(1+1)))= (1/(1+1))$

Per n+1 è vera? Dimostriamola per induzione:

$(1/(1*2)) + (1/(2*3))+ ... + (1/((n+1)*(n+2))) = ((n+1)/(n+2))$

[...]

$(1/((n+1)*(n+2)))+ (n/(n+1)) =$

$= (((n+2)*n)+1)/ ((n+1)*(n+2))$

Spero di essere stato chiaro nel trascriverlo.

[_prime_number]

Il caso base non è preciso, non puoi scrivere $1/(2*3)$ perchè esseno $n=1$ non compare.
Per il resto va tutto bene, hai anche capito come usare l'ipotesi induttiva... ora resta un semplice calcolo - non capisco perché ti sei fermato! - ovvero
$(n(n+2))+1=n^2 + 2n+1 = (n+1)^2$, così si semplifica la roba in più a denominatore e ottieni la tesi.

Paola

[nico12345]

La domanda è ben posta. La lacunaosa conoscenza dell'algebra elementare deriva da una carenza di nozioni fondamentali che avrei dovuto acquisire nelle scuole

medie superiori; aggiungiamo l'inadeguata predisposizione d'animo degli insegnanti e si inferisce che un banale quadrato di binomio non riesca a scomporlo.

Bene. A non dire che sono capace di introiettare un concetto, ma il mio limite è il calcolo algebrico .

A questo punto è facile dedurre la domanda successiva: può lei suggerirmi un manuale , un eserciziario, che rimedi in larga misura alle mie insufficienze?

[nico12345]

Dimostrazione per induzione:

Ho mancato di trascrivere il simbolo di Sommatoria che va da k=1 a n. Non sapendo come fare.

$K (3K-1)= n^2 (n+1)$

Tentativo:

Dimostriamo l'asserzione per K=1

$1 (3-1) = 1^2 (1+1)$ è vera .

Dimostriamo per n+1 successivi numeri Naturali:

$(k+1) (3K) + K^2 (K+1)=$

$=(K+1) (3k+K^2)=

$=(K+1) (K+3)$

[nico12345]

Posso avere una risposta? Grazie.Perdonate la mia richiesta che pare un comando,ma mi sarebbe utile una soluzione.

[_prime_number]

Riguardo al libro, devi riprendere in mano i libri di scuola media o del biennio superiore, se hai carenze di calcolo algebrico. Bisogna essere umili .
Per la dim.:
il caso $n=1$ lo hai già fatto. Supponiamo che l'enunciato valga per $n$ e dimostriamolo per $n+1$.
[tex]\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k(3k-1) =\sum_{k=1}^n k(3k-1) + (n+1)(3(n+1)-1)=n^2 (n+1)+(n+1)(3(n+1)-1)=(n+1)(n^2 +3n+3-1)=(n+1)(n^2+3n+2)=(n+1)(n+1)(n+2)=(n+1)^2 (n+2)[/tex]
che è ciò che volevamo dimostrare.

Paola

PS Se non sai come scrivere le formule leggi il topic apposito (clicca su formule).

[nico12345]

Un ultimo esercizio.

Dimostrare con il principio di induzione, la seguente uguaglianza:

$(1+q) (1+q^2) (1+q^4) ... (1+q^(2n)) = (1-(q^(2n+1)))/(1-q)$

Cominciamo a osservare se l'uguaglianza è vera per n=1, dimostriamolo, sostituendo i valori:


$(1+q) (1+q^2) (1+q^4) ... 1+q^2 = (1-q^3)/(1-q) =$

$ = 1+q^2 = 1+q^2 $ dunque la tesi è vera.

Ora non ci resta che dimostrare l'asserzione per n+1 successivi numeri naturali così che,

aggiungendo (1+q^(2n+1)) ai due membri dell'uguaglianza si ottiene:

$(1+q) (1+q^2) (1+q^4) ... (1+q^(2n+1)) = (1-(q^(2n+1)))/(1-q)+(1+q^(2n+1)) =$

$ = (1-q + 1-(q^(2n+2)))/(1-q)$


La mia domanda è: l'uguaglianza è vera per ogni valore di n? Se no, potete aiutarmi a capire dove ho sbagliato?

[gugo82]

A me tutto sembra meno che una dimostrazione...

[nico12345]

Perdonami ,Gugo, ma lho fatto per una questione di tempo.Potresti aiutarmi a risolverlo? L'esercizio è tratto da pag 54 di Courant & Robbins.

[gugo82]

Non sto dicendo che non l'hai risolto, bensì che la forma, in Matematica, è importante quanto il contenuto.
Una sequenza di simboli senza nemmeno una parola di commento è difficile da leggere e comprendere e non si può definire una "vera" dimostrazione.
Quindi, se vuoi che chi legge il tuo post possa capire ciò che hai fatto ed esprimere un'opinione, ti esorto vivamente a modificarlo, spendendo più parole dove necessario.

[nico12345]

Spero di averlo migliorato. Guardare sopra,grazie.

[gugo82]

Innanzitutto, è sbagliato il testo dell'esercizio (che, per la cronaca, è il n° 4* del §I.6).

Quello corretto è il seguente:

Dimostare per induzione che risulta: [...]

4*) [tex]$(1+q) (1+q^2) (1+q^4)\cdots (1+q^{2^n}) =\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}$[/tex].

Poi, ecco una dimostrazione completa; per abbreviare un po' la storia uso il simbolo di produttoria.

Dim.: Procediamo per induzione.

Verifichiamo la base dell'induzione, ossia che la (1) è vera per [tex]$n=1$[/tex].
Abbiamo:

(a) [tex]$(1+q) \prod_{k=1}^1 (1+q^{2^k})=(1+q)(1+q^{2^1})=(1+q)(1+q^2)=1+q+q^2+q^3$[/tex],

e, dato che [tex]$1-q^{2^{1+1}}=1-q^4=(1-q)(q^3+q^2+q+1)$[/tex], si ha:

(b) [tex]$\frac{1-q^{2^{1+1}}}{1-q} = 1+q+q^2+q^3$[/tex];

confrontando le (a) e (b) si desume che la (4*) è valida per [tex]$n=1$[/tex].

Verifichiamo ora il passo induttivo, ossia supponiamo vera la (4*) per [tex]$n$[/tex] (ipotesi induttiva) e dimostriamo che essa vale pure per [tex]$n+1$[/tex]: abbiamo:

[tex]$(1+q) \prod_{k=1}^{n+1} (1+q^{2^k}) =\left\{(1+q)\prod_{k=1}^n (1+q^{2^k})\right\} (1+q^{2^{n+1}})$[/tex] (ricordando l'ipotesi induttiva)
[tex]$=\frac{1-q^{2^{n+1}}}{1-q}\ (1+q^{2^{n+1}})$[/tex]
[tex]$=\frac{1-q^{2\ 2^{n+1}}}{1-q}$[/tex]
[tex]$=\frac{1-q^{2^{n+2}}}{1-q}$[/tex]

come volevamo.

Per il principio d'induzione, concludiamo che la (4*) vale per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex]. [tex]$\square$[/tex]

Per inciso, la (4*) è vera pure per [tex]$n=0$[/tex]; non sono partito da [tex]$0$[/tex] perchè sembra che tu non includa [tex]$0$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}$[/tex].