Uguaglianze insiemistiche
Sappiamo già la validità delle seguenti inclusioni insiemistiche:
sia $f:X \rightarrow Y$ con $A\subseteq X$ e $B \subseteq Y$
allora $A \subseteq f^(-1)(f(A))$ e $f(f^(-1)(B)) \subseteq B$.
Ora io aggiungo l'ipotesi che la funzione sia anche iniettiva. Allora $A = f^(-1)(f(A))$. Per dimostrare questa uguaglianza insiemistica mi basta solo verificare che $f^(-1)(f(A)) \subseteq A$. Ora visto che ho supposto la f iniettiva, essa ammette una inversa sinistra $g$ che io chiamo $f^(-1)$ e quindi ho automaticamente $f^(-1)(f(A)) = (f^(-1) o\ f) (A) = A$ data la definizione di inversa sinistra ($g \ o \ f = Id_(X)$). Analogamente (supponendo che la f sia suriettiva e che quindi ha un'inversa destra) dimostro che $f(f^(-1)(B)) = B$. Vi sembra giusta questa dimostrazione?
sia $f:X \rightarrow Y$ con $A\subseteq X$ e $B \subseteq Y$
allora $A \subseteq f^(-1)(f(A))$ e $f(f^(-1)(B)) \subseteq B$.
Ora io aggiungo l'ipotesi che la funzione sia anche iniettiva. Allora $A = f^(-1)(f(A))$. Per dimostrare questa uguaglianza insiemistica mi basta solo verificare che $f^(-1)(f(A)) \subseteq A$. Ora visto che ho supposto la f iniettiva, essa ammette una inversa sinistra $g$ che io chiamo $f^(-1)$ e quindi ho automaticamente $f^(-1)(f(A)) = (f^(-1) o\ f) (A) = A$ data la definizione di inversa sinistra ($g \ o \ f = Id_(X)$). Analogamente (supponendo che la f sia suriettiva e che quindi ha un'inversa destra) dimostro che $f(f^(-1)(B)) = B$. Vi sembra giusta questa dimostrazione?
Risposte
Ho anche formulato una nuova dimostrazione e vorrei che qualcuno confutasse o confermasse. Devo dimostrare $f^(-1)(f(A)) \subseteq A$ sotto l'ipotesi che la $f$ sia iniettiva. Sia $x \in f^(-1)(f(A)) $, quindi $f(x) \in f(f^(-1)(f(A))) \subseteq f(A) $ cioè $f(x) \in f(A)$. Ora $x$ appartiene ad $A$ esclusivamente, perché nel caso in cui ci fossero altri elementi che vengono mandati in $f(x)$ ma che non appartengono ad $A$ (cioè hanno la stessa immagine), allora la $f$ non sarebbe iniettiva (andando contro la nostra ipotesi e quindi si arriva ad un assurdo). Che ve ne pare delle due dimostrazioni da me fornite??
La prima dimostrazione non va bene perché stai confondendo il concetto di antiimmagine con il concetto di inversa.
La seconda dimostrazione pure mi sembra che abbia un difetto: se \( x \in f^{-1}(f(A)) \), allora correttamente \( f(x) \in f(f^{-1}(f(A))) \); però che sia \( f(f^{-1}(f(A))) \subseteq f(A) \) dipende dal fatto che \( f^{-1}(f(A)) \subseteq A \), che è proprio ciò che devi dimostrare.
La seconda dimostrazione pure mi sembra che abbia un difetto: se \( x \in f^{-1}(f(A)) \), allora correttamente \( f(x) \in f(f^{-1}(f(A))) \); però che sia \( f(f^{-1}(f(A))) \subseteq f(A) \) dipende dal fatto che \( f^{-1}(f(A)) \subseteq A \), che è proprio ciò che devi dimostrare.
Hai ragione. Grazie per aver smontato le mie dimostrazioni. quando avrò tempo ci penserò meglio a come risolvere.
Io ho dedotto l'inclusione $f(f^(-1)(f(A))) \subset f(A) $ in questa maniera:
chiamo $f(A)=B$ e quindi ottengo $f(f^(-1)(B))$
Ora so che $f(f^(-1)(B)) \subset B$ sempre e quindi ho concluso. Sto sbagliando qualcosa?
chiamo $f(A)=B$ e quindi ottengo $f(f^(-1)(B))$
Ora so che $f(f^(-1)(B)) \subset B$ sempre e quindi ho concluso. Sto sbagliando qualcosa?
Penso di esserci riuscito.
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.
Ora ci sarà $y\in A$ con $f(x)=f(y) \in f(A)$.
Ma f è iniettiva,quindi $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \in A$.
Cioè $A=f^{-1}(f(A))$ se f è iniettiva
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.
Ora ci sarà $y\in A$ con $f(x)=f(y) \in f(A)$.
Ma f è iniettiva,quindi $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \in A$.
Cioè $A=f^{-1}(f(A))$ se f è iniettiva
"Pigreco2016":
Penso di esserci riuscito.
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.
Ovviamente.
"Pigreco2016":
Ora ci sarà $y\in A$ con $f(x)=f(y) \in f(A)$.
Ma f è iniettiva,quindi $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \in A$.
Cioè $A=f^{-1}(f(A))$ se f è iniettiva
Qui non hai detto niente. È già noto che \( \displaystyle A \subseteq f^{-1} \left ( f(A) \right ) \). Devi provare che, sotto l'ipotesi che \( f \) sia iniettiva, risulta anche \( \displaystyle f^{-1} \left ( f(A) \right ) \subseteq A \), quindi devi prendere un \( \displaystyle x \in f^{-1} \left ( f(A) \right ) \) e mostrare che, grazie all'iniettività di \( f \), è anche \( x \in A \).
E cosa ho appena fatto? Ho dimostrato che preso $x \in f^{-1}(f(A))$, sfruttando l'iniettività di f ho che $x\in A$.
"G.D.":
Qui non hai detto niente.
Spiegami perché non avrei detto niente con quel passaggio. È proprio il punto in cui si usa la iniettività di f invece
Sì, sì: hai ragione. Errore mio. Non so perché ma ho pensato alla parte
come scollegata dal resto. Non avevo capito che con questo passaggio intendevi aver già preso \( \displaystyle x \in f^{-1} \left ( f(A) \right ) \). L'ho letto come un semplice richiamo di definizione. Di conseguenza nel passaggio che viene dopo a me risultava mancante un pezzo e, in quanto tale, a me risultava come un passaggio a vuoto.
Scusa: errore mio. La stanchezza di fine giornata.
"Pigreco2016":
Penso di esserci riuscito.
$x \in f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$
per definizione di controimmagine.
come scollegata dal resto. Non avevo capito che con questo passaggio intendevi aver già preso \( \displaystyle x \in f^{-1} \left ( f(A) \right ) \). L'ho letto come un semplice richiamo di definizione. Di conseguenza nel passaggio che viene dopo a me risultava mancante un pezzo e, in quanto tale, a me risultava come un passaggio a vuoto.
Scusa: errore mio. La stanchezza di fine giornata.
Ah meno male che stavolta ci ho azzecato. Scusa se ti sono sembrato un po' scocciato 
grazie per avermi spinto a riflettere a suo tempo. Purtroppo anche passare l'esame non significa saper ragionare bene 
grazie per avermi spinto a riflettere a suo tempo. Purtroppo anche passare l'esame non significa saper ragionare bene
Non ti preoccupare.
Prego.
E congratulazioni per l'esame.
Prego.
E congratulazioni per l'esame.
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