Trovare tutti i sottogruppi
Sia \(\displaystyle \langle a \rangle \) un gruppo ciclico di ordine 5 e sia $ x $ l'automorfismo definito da $ a^x=a^2 $ Determinare l'ordine e i sottogruppi di \(\displaystyle G= \langle x \rangle \ltimes \langle a \rangle
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Allora... $ a \rightarrow a^2 \rightarrow a^4 \rightarrow a^3 \rightarrow a $ pertanto $ x $ ha periodo 4 e $ G $ ha ordine $ 4 xx 5=20 $ Poi ho trovato questi sottogruppi di ordine 2 ovvero \(\displaystyle \langle x^2a^n \rangle \) con $ 0 <= n < 5 $, poi ovviamente i sottogruppi \(\displaystyle \langle x \rangle \) di ordine 4 e \(\displaystyle \langle a \rangle \) di ordine 5 e poi tra i sottogruppi di ordine 10 ci sono i prodotti semidiretti fra quelli di ordine 2 e \(\displaystyle \langle a \rangle \) . C'è altro?
P.S. E poi quelli banali ovviamente...
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Allora... $ a \rightarrow a^2 \rightarrow a^4 \rightarrow a^3 \rightarrow a $ pertanto $ x $ ha periodo 4 e $ G $ ha ordine $ 4 xx 5=20 $ Poi ho trovato questi sottogruppi di ordine 2 ovvero \(\displaystyle \langle x^2a^n \rangle \) con $ 0 <= n < 5 $, poi ovviamente i sottogruppi \(\displaystyle \langle x \rangle \) di ordine 4 e \(\displaystyle \langle a \rangle \) di ordine 5 e poi tra i sottogruppi di ordine 10 ci sono i prodotti semidiretti fra quelli di ordine 2 e \(\displaystyle \langle a \rangle \) . C'è altro?
P.S. E poi quelli banali ovviamente...
Risposte
E gia che ci sono vorrei anche determinare i sottogruppi normali e il centro di G. Penso di poter affermare che i sottogruppi di ordine 10 sono normali perchè hanno indice 2, un altro sottogruppo normale sarebbe Z(G) ma come lo trovo? C'è un metodo che non sia quello "per prove" ? Grazie 
Ti dò delle idee, contando che poi tu curi i dettagli 
I sottogruppi propri non banali hanno ordini possibili 2, 4, 5 e 10 (nota bene, questo a priori non vuol dire che esistano sottogruppi di ordine 10 - per esempio). Ogni sottogruppo di ordine 2 è contenuto in un sottogruppo di ordine 4 (cf. la teoria di Sylow), quindi sei ridotto a trovare i sottogruppi di Sylow (cioè i sottogruppi di ordine 4 e 5) e i sottogruppi di ordine 10 (cioè indice 2).
I sottogruppi normali non possono avere ordine 4 (altrimenti quel prodotto semidiretto sarebbe diretto, cosa che non è), e andando ad elencare gli elementi ti puoi accorgere che non ci sono elementi di ordine 10, quindi non ci sono sottogruppi normali di ordine 2, e i sottogruppi di ordine 10 contengono tutti il 5-Sylow e un elemento di ordine 2 che non lo centralizza (sono quindi isomorfi al gruppo diedrale di ordine 10). Trovi inoltre che gli elementi non banali del tuo gruppo hanno ordini possibili 2, 4 e 5. Siccome non ci sono sottogruppi normali di ordine 2 gli elementi "centrali" (= "contenuti nel centro") non possono avere ordine 2 né 4, e gli elementi di ordine 5 non sono centrali altrimenti il prodotto sarebbe diretto. Quindi il centro è banale.
Queste sono idee, ora pensa bene ai dettagli. Non chiedermi di scrivere i dettagli, non lo farò
I sottogruppi propri non banali hanno ordini possibili 2, 4, 5 e 10 (nota bene, questo a priori non vuol dire che esistano sottogruppi di ordine 10 - per esempio). Ogni sottogruppo di ordine 2 è contenuto in un sottogruppo di ordine 4 (cf. la teoria di Sylow), quindi sei ridotto a trovare i sottogruppi di Sylow (cioè i sottogruppi di ordine 4 e 5) e i sottogruppi di ordine 10 (cioè indice 2).
I sottogruppi normali non possono avere ordine 4 (altrimenti quel prodotto semidiretto sarebbe diretto, cosa che non è), e andando ad elencare gli elementi ti puoi accorgere che non ci sono elementi di ordine 10, quindi non ci sono sottogruppi normali di ordine 2, e i sottogruppi di ordine 10 contengono tutti il 5-Sylow e un elemento di ordine 2 che non lo centralizza (sono quindi isomorfi al gruppo diedrale di ordine 10). Trovi inoltre che gli elementi non banali del tuo gruppo hanno ordini possibili 2, 4 e 5. Siccome non ci sono sottogruppi normali di ordine 2 gli elementi "centrali" (= "contenuti nel centro") non possono avere ordine 2 né 4, e gli elementi di ordine 5 non sono centrali altrimenti il prodotto sarebbe diretto. Quindi il centro è banale.
Queste sono idee, ora pensa bene ai dettagli. Non chiedermi di scrivere i dettagli, non lo farò
Grazie! Mi hai dato un input bello sostanzioso xD
Non te lo avrei mai chiesto comunque
Non chiedermi di scrivere i dettagli, non lo farò
Non te lo avrei mai chiesto comunque
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