Trovare il normalizzante di un sottoinsieme
Salve, volevo sapere se esiste un modo facile per calcolare il
$NS_5({(123)})$
o devo fare i calcoli con pazienza.
Grazie
$NS_5({(123)})$
o devo fare i calcoli con pazienza.
Grazie
Risposte
Qualcuno mi puó dare un suggerimento? Cosa dovrei fare....vedere quali sono tra le 120 permutazioni di $S_5$ quelle che commutano con $(123)$
Se con ${(123)}$ intendi l'insieme che contiene come unico elemento $(123)$ allora sì devi cercare gli elementi che commutano con $(123)$.
Il normalizzante coincide con il centralizzante per un singoletto.
Ricorda che se $\tau$ e $(123)$ commutano puoi scrivere $(123)=\tau(123)\tau^-1=(\tau(1)\tau(2)\tau(3))$
Allora basta vedere come deve agire $\tau$ sui primi 3 elementi (e le scelte dovrebbero essere $(1)(2)(3)$ o $(123)$ e $(132)=(123)^2$) e su 4 e 5 (puoi avere $(4)(5)$ e $(45)$). In definitiva 6 possibilità e otterremmo:
$C_{S_{5}}((123))=<(123)(45)> =<(123),(45)>$
Ricorda che se $\tau$ e $(123)$ commutano puoi scrivere $(123)=\tau(123)\tau^-1=(\tau(1)\tau(2)\tau(3))$
Allora basta vedere come deve agire $\tau$ sui primi 3 elementi (e le scelte dovrebbero essere $(1)(2)(3)$ o $(123)$ e $(132)=(123)^2$) e su 4 e 5 (puoi avere $(4)(5)$ e $(45)$). In definitiva 6 possibilità e otterremmo:
$C_{S_{5}}((123))=<(123)(45)> =<(123),(45)>$
Grazie per l'aiuto.
In definitiva quindi il normalizzare é dato da {(1),(123),(132),(45),(123)(45),(132)(45)}.
Un dubbio: se avessi considerato invece il normalizzante del sottogruppo $ <123>∈S_5$ il normalizzare non avrebbe avuto ordine $12$? In questo caso come avrei potuto fare per elencare gli elementi.
In definitiva quindi il normalizzare é dato da {(1),(123),(132),(45),(123)(45),(132)(45)}.
Un dubbio: se avessi considerato invece il normalizzante del sottogruppo $ <123>∈S_5$ il normalizzare non avrebbe avuto ordine $12$? In questo caso come avrei potuto fare per elencare gli elementi.
A occhio mi sembra che il centralizzante di prima sia contenuto nel normalizzante di questo sottogruppo (quella roba che commuta con $(123)$ commuta pure con $(132)$ perché in mezzo ci sono cicli disgiunti e $(123)=(132)^-1, (123)^2=(132)$ sono potenze l'una dell'altra). Ora non so se sia giusto o ci sia qualche altro elemento, anche se penso che coincidano.
Secondo i miei calcoli se considero il singoletto $(123) in S_5$ il $NS_5(123) = {(1),(123),(132),(45),(123)(45),(132)(45)}.$
Se invece considero $NS_5(<123>)= (e, 123, 132) $ ottengo
$ {(1), (45), (12), (13), (23), (12)(45),(13)(45),(23)(45),(123),(132),(123)(45),(132)(45)}.$
In effetti $|(<123>) = |Z(123)|\cdot|Aut(<123>)|= 6 \cdot phi(3)=12$
Cosa ne pensate, grazie
Se invece considero $NS_5(<123>)= (e, 123, 132) $ ottengo
$ {(1), (45), (12), (13), (23), (12)(45),(13)(45),(23)(45),(123),(132),(123)(45),(132)(45)}.$
In effetti $|(<123>) = |Z(123)|\cdot|Aut(<123>)|= 6 \cdot phi(3)=12$
Cosa ne pensate, grazie
Qualcuno, gentilmente puó dare un'occhiata? Penso sia cosí, ma il parere di un esperto é meglio.
Grazie sempre
Grazie sempre
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo