Trovare estensioni di grado $2$ su $\mathbb{Q}$
Buonasera, ho il seguente problema da risolvere con la teoria di galois
Cosa ho fatto: $\mathbb{Q}(\zeta_15) = \mathbb{Q}(\zeta_3, \zeta_5)$, il gruppo di Galois $G$ è quindi isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$, quindi il problema equivale a trovare i sottogruppi di ordine $4$ del gruppo di Galois: $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$ di ordine $4$ sono $3$: due sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_4}$ e uno isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2}$. Studio più da vicino il gruppo di galois: sicuramente $\phi := {(\zeta_3 \to \zeta_3),(\zeta_5 \to zeta_5^2):}$ appartiene a $G$: infatti tiene fisso puntualmente $\mathbb{Q}$ e manda $\mathbb{Q}(\zeta_3, \zeta_5}$ in sé, idem per $\tau : {(\zeta_3 \to \zeta_3^2),(\zeta_5 \to zeta_5):}$. $\phi$ ha ordine $4$, mentre $\tau$ ha ordine $2$, adesso: $\phi$ lascia fisso $\zeta_3$ e genera un sottogruppo isomorfo a $\mathbb{Z_4}$ quindi il suo campo fissato non può che esser $\mathbb{Q}(\zeta_3)$, infatti $\zeta_3$ è lasciato fisso da $\phi$ e $[\mathbb{Q}(\zeta_3):\mathbb{Q}] = 2$.
Il problema viene qui: so che le altre due sottoestensioni di $\mathbb{Q}(\zeta_3, \zeta_5)$ di grado due sono $\mathbb{Q}(zeta_5 + zeta_5^-1)$ e $\mathbb{Q}(i\sqrt(15))$, tuttavia non sono riuscito a dimostrarlo mediante la teoria di Galois.
Per esempio: $\phi^2$ fissa $\zeta_5 + \zeta_5^-1$ e $\zeta_3$ e quindi il campo fisso è $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^-1, \zeta_3)$, che ha $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^-1)$ come sotto estensione di grado $2$, il problema è che non riesco a dimostrare che $\mathbb{Q}(i\sqrt(15))$ è fissato da un sottogruppo di automorfismi!
Avete qualche indizio?
Mi scuso per eventuali errori, sono molto stanco. Grazie per l'attenzione.
Trovare tutte le sottoestensioni di grado $2$ di $\mathbb{Q}(\zeta_15)$
Cosa ho fatto: $\mathbb{Q}(\zeta_15) = \mathbb{Q}(\zeta_3, \zeta_5)$, il gruppo di Galois $G$ è quindi isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$, quindi il problema equivale a trovare i sottogruppi di ordine $4$ del gruppo di Galois: $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$ di ordine $4$ sono $3$: due sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_4}$ e uno isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2}$. Studio più da vicino il gruppo di galois: sicuramente $\phi := {(\zeta_3 \to \zeta_3),(\zeta_5 \to zeta_5^2):}$ appartiene a $G$: infatti tiene fisso puntualmente $\mathbb{Q}$ e manda $\mathbb{Q}(\zeta_3, \zeta_5}$ in sé, idem per $\tau : {(\zeta_3 \to \zeta_3^2),(\zeta_5 \to zeta_5):}$. $\phi$ ha ordine $4$, mentre $\tau$ ha ordine $2$, adesso: $\phi$ lascia fisso $\zeta_3$ e genera un sottogruppo isomorfo a $\mathbb{Z_4}$ quindi il suo campo fissato non può che esser $\mathbb{Q}(\zeta_3)$, infatti $\zeta_3$ è lasciato fisso da $\phi$ e $[\mathbb{Q}(\zeta_3):\mathbb{Q}] = 2$.
Il problema viene qui: so che le altre due sottoestensioni di $\mathbb{Q}(\zeta_3, \zeta_5)$ di grado due sono $\mathbb{Q}(zeta_5 + zeta_5^-1)$ e $\mathbb{Q}(i\sqrt(15))$, tuttavia non sono riuscito a dimostrarlo mediante la teoria di Galois.
Per esempio: $\phi^2$ fissa $\zeta_5 + \zeta_5^-1$ e $\zeta_3$ e quindi il campo fisso è $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^-1, \zeta_3)$, che ha $\mathbb{Q}(\zeta_5 + \zeta_5^-1)$ come sotto estensione di grado $2$, il problema è che non riesco a dimostrare che $\mathbb{Q}(i\sqrt(15))$ è fissato da un sottogruppo di automorfismi!
Avete qualche indizio?
Mi scuso per eventuali errori, sono molto stanco. Grazie per l'attenzione.
Risposte
Con un po' di teoria dei gruppi vedi che gli altri sottogruppi di $G$ di ordine $4$ sono $$ (il sottogruppo generato da $phi tau$) e $$ (il sottogruppo generato da $phi^2$ e $tau$). Dimmi se vuoi chiarimenti su questo "con un po' di teoria dei gruppi". L'idea è che i ciclici sono generati da elementi quindi li trovi subito. I non ciclici devono avere ordine 4 e devono contenere tre elementi di ordine 2, tuttavia ci sono esattamente tre elementi di ordine 2 quindi non c'è molta scelta 
Ciao, grazie della risposta!
Scusa ieri ero un po' stanco, la domanda era sugli elementi fissati dagli automorfismi e non il contrario... edito.
I sottogruppi sono riuscito a trovarli, il mio problema è che non riesco a trovare gli elementi che fissano: per esempio $<\phi^2, \tau>$ fissa $\mathbb{Q}(\zeta_15 + \zeta_15^-1)$ e questo è stato facile da trovare, ma gli elementi fissati da $<\phi \circ \tau>$ chi sono? Insomma $\phi \circ \tau: {(\zeta_3 \to \zeta_3^2),(\zeta_5 \to zeta_5^2):} $, sicuramente fissa $\zeta_3 + \zeta_3^2$ peccato che appartenga già a $\mathbb{Q}$
, ho provato anche con qualche somma/prodotto fra le due radici ma non ne ho cavato nulla 
, insomma: non riesco a dedurre il campo degli elementi fissati dal sottogruppo.
Ciao
Scusa ieri ero un po' stanco, la domanda era sugli elementi fissati dagli automorfismi e non il contrario... edito.
I sottogruppi sono riuscito a trovarli, il mio problema è che non riesco a trovare gli elementi che fissano: per esempio $<\phi^2, \tau>$ fissa $\mathbb{Q}(\zeta_15 + \zeta_15^-1)$ e questo è stato facile da trovare, ma gli elementi fissati da $<\phi \circ \tau>$ chi sono? Insomma $\phi \circ \tau: {(\zeta_3 \to \zeta_3^2),(\zeta_5 \to zeta_5^2):} $, sicuramente fissa $\zeta_3 + \zeta_3^2$ peccato che appartenga già a $\mathbb{Q}$
, ho provato anche con qualche somma/prodotto fra le due radici ma non ne ho cavato nulla , insomma: non riesco a dedurre il campo degli elementi fissati dal sottogruppo.Ciao
L'effetto è di elevare al quadrato $\zeta = \zeta_3 \zeta_5$, quindi penso che $phi tau$ fissa $alpha = 1+zeta+zeta^2+zeta^4+zeta^8$. Probabilmente $alpha^2 = -15$ ma non vedo un modo di dimostrarlo che non passi attraverso una marea di conti. Attenzione, è solo un'idea, e probabilmente è sbagliata, magari ci penso meglio. So che esistono tecniche di teoria dei numeri algebrica (discriminanti e somme di Gauss), per esempio vedi qui. Fammi sapere se ti ritrovi. Per il discriminante vedi anche qui.
"Martino":
L'effetto è di elevare al quadrato $\zeta = \zeta_3 \zeta_5$, quindi penso che $phi tau$ fissa $alpha = 1+zeta+zeta^2+zeta^4+zeta^8$. Probabilmente $alpha^2 = -15$ ma non vedo un modo di dimostrarlo che non passi attraverso una marea di conti. Attenzione, è solo un'idea, e probabilmente è sbagliata, magari ci penso meglio. So che esistono tecniche di teoria dei numeri algebrica (discriminanti e somme di Gauss), per esempio vedi qui. Fammi sapere se ti ritrovi. Per il discriminante vedi anche qui.
Ciao,
grazie per la risposta!
$\alpha$ è fissato, ed effettivamente servono un po' di conti per dimostrare che(forse) $\alpha^2 = -15$, un altro modo potrebbe essere trovare il polinomio minimo di $\alpha$ e trovarne il discriminante, ma sempre un bel po' di conti sono.
Grazie dei link, li leggerò questa sera... sono tecniche che non sono state trattate nel corso ma è meglio sapere quel tantino di teoria in più che può salvarti la vita in sede d'esame
.Beh da quanto ho capito allora, senza le tecniche sopra linkate, bisogna sporcarsi un bel po' le mani per trovare gli elementi fissati
.
Usando la somma di Gauss vediamo che l'elemento è $alpha = (zeta_3-zeta_3^2)(zeta_5-zeta_5^2-zeta_5^3+zeta_5^4)$. Infatti ricordando che $zeta_3^3=1$, $zeta_5^5=1$, $zeta_3^2 = -zeta_3-1$ e $zeta_5^4 = -zeta_5^3-zeta_5^2-zeta_5-1$ abbiamo
$alpha^2 = (zeta_3^2+zeta_3-2)(zeta_5^2+zeta_5^4+zeta_5+zeta_5^3-2zeta_5^3-2zeta_5^4+2+2-2zeta_5-2zeta_5^2)$
$= (-zeta_3-1+zeta_3-2)(4-zeta_5-zeta_5^2-zeta_5^3-zeta_5^4) = -3*5 = -15$
$alpha^2 = (zeta_3^2+zeta_3-2)(zeta_5^2+zeta_5^4+zeta_5+zeta_5^3-2zeta_5^3-2zeta_5^4+2+2-2zeta_5-2zeta_5^2)$
$= (-zeta_3-1+zeta_3-2)(4-zeta_5-zeta_5^2-zeta_5^3-zeta_5^4) = -3*5 = -15$
Grazie,
gentilissimo come sempre
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