Trovare elemento neutro in una struttura algebrica a coppie
Risolta una cosa, arriva l'altra a bloccarmi 
Ho questo esercizio.. ho dei problemi con il punto (c)... ho fatto le operazioni richieste nel punto (a), e ho dimostrato che è associativa come richiedeva il punto (b)... ora mi si chiede di trovare l'elemento neutro.. ovvero (e,e)*(x,x)=(x,x)..ma come diavolo faccio?? D:
E poi per l'ultimo punto... è (1,b) da considerare come sottogruppo...ma come si dimostra?
Ho questo esercizio.. ho dei problemi con il punto (c)... ho fatto le operazioni richieste nel punto (a), e ho dimostrato che è associativa come richiedeva il punto (b)... ora mi si chiede di trovare l'elemento neutro.. ovvero (e,e)*(x,x)=(x,x)..ma come diavolo faccio?? D:
E poi per l'ultimo punto... è (1,b) da considerare come sottogruppo...ma come si dimostra?
Risposte
Troviamo l'elemento neutro \((a,b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R}\).
Deve valere \( \displaystyle (a,b)*(c,d) = (c,d)\) per ogni \((c,d)\)
Ma per definizione si ha \(\displaystyle (a,b)*(c,d) =(ac,bc+d)\).
Pertanto si deve avere ${(ac=c),(bc+d=d):}$ per ogni $c in RR^{text{*}}$ e per ogni $d in RR$.
Deve valere \( \displaystyle (a,b)*(c,d) = (c,d)\) per ogni \((c,d)\)
Ma per definizione si ha \(\displaystyle (a,b)*(c,d) =(ac,bc+d)\).
Pertanto si deve avere ${(ac=c),(bc+d=d):}$ per ogni $c in RR^{text{*}}$ e per ogni $d in RR$.
"Gi8":
Troviamo l'elemento neutro \((a,b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R}\).
Deve valere \( \displaystyle (a,b)*(c,d) = (c,d)\) per ogni \((c,d)\)
Ma per definizione si ha \(\displaystyle (a,b)*(c,d) =(ac,bc+d)\).
Pertanto si deve avere ${(ac=c),(bc+d=d):}$ per ogni $c in RR^{text{*}}$ e per ogni $d in RR$.
Bene, quindi l'elemento neutro è (1,0), giusto?
Per essere precisi
abbiamo dimostrato che $(1,0)$\(*\)$(c,d) =(c,d)$ per ogni $(c,d)$.
Ora bisogna dimostrare che $(c,d)$\(*\)$(1,0)=(c,d)$ per ogni $(c,d)$.
Questo perchè non sappiamo se vale la proprietà commutativa (anzi, nel punto (e) si dimostra che non vale).
E' un semplice calcoletto.
abbiamo dimostrato che $(1,0)$\(*\)$(c,d) =(c,d)$ per ogni $(c,d)$.
Ora bisogna dimostrare che $(c,d)$\(*\)$(1,0)=(c,d)$ per ogni $(c,d)$.
Questo perchè non sappiamo se vale la proprietà commutativa (anzi, nel punto (e) si dimostra che non vale).
E' un semplice calcoletto.
"Iside666":Dato un gruppo $(G,*)$ e $H sube G$, si ha che $(H,*)$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $AA x,y in H quad x*y in H$.
E poi per l'ultimo punto... è (1,b) da considerare come sottogruppo...ma come si dimostra?
Quindi devi dimostrare che...
Grazie mille, adesso ho capito L'unica cosa è che si, ho dimostrato che non è commutativa..infatti ho anche fatto la prova con vari elementi qualsiasi del gruppo. Però l'inversa mi esce commutativa. Cioè, anche se il gruppo non è commutativo (1,0)*(a,b) mi esce uguale ad (a,b)*(1,0)..può essere?
L'unica cosa è che si, ho dimostrato che non è commutativa..infatti ho anche fatto la prova con vari elementi qualsiasi del gruppo. Però l'inversa mi esce commutativa. Cioè, anche se il gruppo non è commutativo (1,0)*(a,b) mi esce uguale ad (a,b)*(1,0)..può essere?
Deve risultare così, altrimenti $(1,0)$ non sarebbe l'elemento neutro
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