Testo d'esame matematica discreta II, come svolgerlo?
Ciao ragazzi, volevo chiedervi dei consigli sullo svolgimento di questo compito d'esame. Tenendo conto che ho iniziato a studiare Discreta II da poco tempo e che sono una capra in matematica 
Ecco il testo:
1) Determinare le soluzioni dei sistemi:
$\{(2x-=5(mod8)),(7x-=6(mod5)):}$ $\{(x-=5(mod6)),(x-=2(mod5)),(x-=315(mod5)):}$
2) Quanti sono i numeri naturali pari di 5 cifre disposte in forma crescente(questo esercizio sul calcolo conbinatorio in effetti sarebbe da inserire nell'altra sezione)?
3) Dimostrare che per $n>=2$ si ha che: $2^(2n)>=2n^2+3$ (principio di induzione)
4) Calcolare la cardinalità dell'insieme:
$\{(x+y+z=21),(1=5),(z>2):}$
Ecco come ho svolto io:
1) Il primo sistema non ha soluzioni in quanto dalla prima equazione si ha MCD(2,8) non divide 5
Il secondo invece ho iniziato a svolgerlo considerando il sottosistema:
$\{(x-=5(mod6)),(x-=2(mod5)):}$ quindi $5+6k=2+5h$, $-3=6K+5(-h)$ dell'identità di Bèzout: $1=6*(1)-5*(1)$ -> $-3=6*(-3)-5*(-3)$ quindi $K=-3$ ed $h=3$ ed ora?
2) Lo scrivo ugualmente... i numeri dovrebbero essere $4*4*4*4*2$ giusto?
3) Svolgendo secondo il principio di induzione:
Passo base: $2^4>=2*2^2+3$ ed è verificata, passo induttivo: IP $2^(2n)>=2n^2+3$ TH $2^(2(n+1))>=2(n+1)^2+3$
Dimostrazione: $2^(2(n+1))=2^(2n)+2^2>=2^2(2n^2+3)=8n^2+12>=2(n+1)^2+3$ quindi $8n^2+12>=2n^2+4n+5$ devo continuare oppure è già verificato così?
4) Per trovare la cardinalità considero i seguenti sistemi:
(a) $\{(x+y+z=21),(x>1),(y>=5),(z>2):}$ (b) $\{(x+y+z=21),(x>=5),(y>=5),(z>2):}$
Il sistema (a) equivale a: $\{(x+y+z=21),(x>=2),(y>=5),(z>=3):}$ ponendo $x_{1}=x-2$, $y_{1}=y-5$, $z_{1}=z-3$ si avrà $\{(x_{1}+y_{1}+z_{1}=11),(x_{1}>=0),(y_{1}>=0),(z_{1}>=0):}$ S(a)=$(13!)/(11!*2!)$
Il sistema (b) equivale a: $\{(x+y+z=21),(x>=5),(y>=5),(z>=3):}$ ponendo $x_{1}=x-5$, $y_{1}=y-5$, $z_{1}=z-3$ si avrà $\{(x_{1}+y_{1}+z_{1}=8),(x_{1}>=0),(y_{1}>=0),(z_{1}>=0):}$ S(b)=$(10!)/(8!*2!)$
Adesso dovrei applicare il principio di inclusione ed sclusione giusto? Ma come lo applico?
Grazie in anticipo per aventuali aiuti, Ciao!
Ecco il testo:
1) Determinare le soluzioni dei sistemi:
$\{(2x-=5(mod8)),(7x-=6(mod5)):}$ $\{(x-=5(mod6)),(x-=2(mod5)),(x-=315(mod5)):}$
2) Quanti sono i numeri naturali pari di 5 cifre disposte in forma crescente(questo esercizio sul calcolo conbinatorio in effetti sarebbe da inserire nell'altra sezione)?
3) Dimostrare che per $n>=2$ si ha che: $2^(2n)>=2n^2+3$ (principio di induzione)
4) Calcolare la cardinalità dell'insieme:
$\{(x+y+z=21),(1
Ecco come ho svolto io:
1) Il primo sistema non ha soluzioni in quanto dalla prima equazione si ha MCD(2,8) non divide 5
Il secondo invece ho iniziato a svolgerlo considerando il sottosistema:
$\{(x-=5(mod6)),(x-=2(mod5)):}$ quindi $5+6k=2+5h$, $-3=6K+5(-h)$ dell'identità di Bèzout: $1=6*(1)-5*(1)$ -> $-3=6*(-3)-5*(-3)$ quindi $K=-3$ ed $h=3$ ed ora?
2) Lo scrivo ugualmente... i numeri dovrebbero essere $4*4*4*4*2$ giusto?
3) Svolgendo secondo il principio di induzione:
Passo base: $2^4>=2*2^2+3$ ed è verificata, passo induttivo: IP $2^(2n)>=2n^2+3$ TH $2^(2(n+1))>=2(n+1)^2+3$
Dimostrazione: $2^(2(n+1))=2^(2n)+2^2>=2^2(2n^2+3)=8n^2+12>=2(n+1)^2+3$ quindi $8n^2+12>=2n^2+4n+5$ devo continuare oppure è già verificato così?
4) Per trovare la cardinalità considero i seguenti sistemi:
(a) $\{(x+y+z=21),(x>1),(y>=5),(z>2):}$ (b) $\{(x+y+z=21),(x>=5),(y>=5),(z>2):}$
Il sistema (a) equivale a: $\{(x+y+z=21),(x>=2),(y>=5),(z>=3):}$ ponendo $x_{1}=x-2$, $y_{1}=y-5$, $z_{1}=z-3$ si avrà $\{(x_{1}+y_{1}+z_{1}=11),(x_{1}>=0),(y_{1}>=0),(z_{1}>=0):}$ S(a)=$(13!)/(11!*2!)$
Il sistema (b) equivale a: $\{(x+y+z=21),(x>=5),(y>=5),(z>=3):}$ ponendo $x_{1}=x-5$, $y_{1}=y-5$, $z_{1}=z-3$ si avrà $\{(x_{1}+y_{1}+z_{1}=8),(x_{1}>=0),(y_{1}>=0),(z_{1}>=0):}$ S(b)=$(10!)/(8!*2!)$
Adesso dovrei applicare il principio di inclusione ed sclusione giusto? Ma come lo applico?
Grazie in anticipo per aventuali aiuti, Ciao!
Risposte
Ecco come ho svolto io:
1) Il primo sistema non ha soluzioni in quanto dalla prima equazione si ha MCD(2,8) non divide 5
Su questo ci sto!
Il secondo invece ho iniziato a svolgerlo considerando il sottosistema:
$\{(x-=5(mod6)),(x-=2(mod5)):}$ quindi $5+6k=2+5h$, $-3=6K+5(-h)$ dell'identità di Bèzout: $1=6*(1)-5*(1)$ -> $-3=6*(-3)-5*(-
Qui forse non hai osservato che la seconda equazione e la terza si contraddicono, infatti dalla seconda $x\equiv2(mod5)$ ma dalla terza siccome $5|315$ ho che $x\equiv0(mod5)$
2) Lo scrivo ugualmente... i numeri dovrebbero essere $4*4*4*4*2$ giusto?
Io sui calcoli combinatori sono un pochetto macchinoso... e non sempre troppo chiaro quindi volentieri passo a poi
3) Svolgendo secondo il principio di induzione:
Passo base: $2^4>=2*2^2+3$ ed è verificata, passo induttivo: IP $2^(2n)>=2n^2+3$ TH $2^(2(n+1))>=2(n+1)^2+3$
Dimostrazione: $2^(2(n+1))=2^(2n)+2^2>=2^2(2n^2+3)=8n^2+12>=2(n+1)^2+3$ quindi $8n^2+12>=2n^2+4n+5$ devo continuare oppure è già verificato così?
Qui hai solo svolto, non hai ancora fatto vedere che va bene la disuguaglianza...
Per ora mi fermo qui!
Grazie mille per la risposta, ti chiedo qualche chiarimento: nel sistema do congruenze dato che quelle due equazioni si contraddicono il sistema non ha soluzioni?
Per verificare la diseguaglianza cosa dovrei fare, svolgere la disequazione $6n^2-4n+7>=0$? Ma non ha soluzioni, sbaglio qualcosa?
Invece per quanto riguarda il principio di inclusione/esclusione non sai aiutarmi?
Grazie ancora, Ciao ;D
Per verificare la diseguaglianza cosa dovrei fare, svolgere la disequazione $6n^2-4n+7>=0$? Ma non ha soluzioni, sbaglio qualcosa?
Invece per quanto riguarda il principio di inclusione/esclusione non sai aiutarmi?
Grazie ancora, Ciao ;D
Risolverla significa proprio dire questo e sopra non mi pareva tu dicessi nulla a riguardo. Per il sistema infatti contraddicendosi non danno soluzioni! Per il principio di inclusione/esclusione sono ancora alla ricerca dei miei vecchi appunti
Quindi la diseguaglianza non ha soluzioni? Finisce lì? Magnifico ;D
Per il principio di inclusione/esclusione ho risolto basta fare |(a)|-|(b)|, sono riuscito a beccarli io gli appunti ;P. Già che ci sono mi è sorto un dubbio:
Come fa a venire $\bar x=-10$? Dovrebbe essere $\bar x=a-\bar hn_1=b+\bar kn_2$ con $\bar h= h(a-b)/{(n_1,n_2)}$ e $\bar k= k(a-b)/{(n_1,n_2)}$ ma viene completamente sballato a me O_o''
Per il principio di inclusione/esclusione ho risolto basta fare |(a)|-|(b)|, sono riuscito a beccarli io gli appunti ;P. Già che ci sono mi è sorto un dubbio:
Come fa a venire $\bar x=-10$? Dovrebbe essere $\bar x=a-\bar hn_1=b+\bar kn_2$ con $\bar h= h(a-b)/{(n_1,n_2)}$ e $\bar k= k(a-b)/{(n_1,n_2)}$ ma viene completamente sballato a me O_o''
Forse ho capito... basta sostituire k ed h nel sistema che si vede in alto nell'immagine per ottenere -10. E' giusto il procedimento? Ma in teoria l formula dovrebbe andare bene... non capisco D:
Per il principio di induzione invece ancora non mi è chiaro, dico bene che non è verificata in quanto il delta è negativo? Scusate l'insistenza ma l'esame incombe. Grazie mille per l'aiuto! Questo forum è davvero ben strutturato, si trova un pò di tutto. Peccato che non l'abbia trovato prima... tanto ho ancora Analisi I e II in cantiere XD.
Ciau!
Per il principio di induzione invece ancora non mi è chiaro, dico bene che non è verificata in quanto il delta è negativo? Scusate l'insistenza ma l'esame incombe. Grazie mille per l'aiuto! Questo forum è davvero ben strutturato, si trova un pò di tutto. Peccato che non l'abbia trovato prima... tanto ho ancora Analisi I e II in cantiere XD.
Ciau!
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