Teoria dei gruppi (un po' di tutto + teoria di Sylow)
Elenco alcuni esercizi che non riesco proprio a risolvere. Alcuni sono simili tra loro, o hanno dei punti in comune, quindi dato il metodo o il modo per continuare posso benissimo provarci anche da solo. Quindi esposti gli esercizi dico anche fin dove mi sono "spinto" a ragionare. Questi sono anche gli ultimi rimasti da fare, per questo sto smaniando per risolverli >.<
1] Sia G un gruppo con la proprietà che per qualsiasi $a, b, c in G$, gli elementi $abc$ e $bca$ sono coniugati. Dimostra che sia abeliano G.
(Allora qui ho cercato di focalizzarmi sulla definizione di coniugato, o di cercare di avere delle condizioni che mi portassero a dire che $g*h = h*g$ dati qualsiasi $g, h in G$ eppure niente...)
2] Sia $p$ un numero primo. Sia $q$ un divisore primo di $(p-1)$. Sia G il gruppo
G = ${ ((1,0),(a,b)) : a in Z_p, b in Z_p, b^q = e}$
Allora:
2A) Dimostrare che G è un sottogruppo non commutativo di $GL_2(Z_P)$ di ordine $pq$
(mi manca solo l'ordine! come faccio a dimostrare che ci sono esattamente $q$ elementi che elevati alla $q$ diano l'elemento neutro?)
2B) Dimostrare che G è isomorfo ad un prodotto semidiretto di H per $Z_p$, dove H è l'unico sottogruppo di $Z_p*$ di ordine $q$
(qui non so proprio che fare...)
3] Sia G = $SL_2(Z_3)$ (il gruppo delle matrici invertibili su $Z_3$ 2x2 che hanno determinante pari a 1). Quanti elementi ha G? Determinare la struttura del 2-sottogruppo di Sylow di G.
(Ha sicuramente 24 elementi. Ora cosa intende per "struttura"? Inoltre come faccio a studiarlo? Ne potrebbe avere sia 1 che 3 a priori)
4] Dimostrare che ogni gruppo di ordine 255 è ciclico.
(Questo è difficile >.<)
5] (Sono dei passaggi per la dimostrare che un gruppo di ordine 120 non è semplice) Sia dato per assurdo un gruppo di ordine 120 che abbia come unici sottogruppi normali ${e}$ e G stesso.
5A) G possiede quindi sei 5-sylow. (è facilmente verificabile)
5B) G agisce per coniugio sull'insieme dei 5-sylow. Dimostrare che l'omomorfismo associato $f: G -> S_6$ è iniettivo e l'immagine è contenuta in $A_6$ (mi manca solo da vedere l'immagine, e non so come fare!)
5C) Dimostrare che $A_6$ non ha sottogruppi di indice 3 (sfruttando la semplicità di $A_6$ ?)
5D) Dedurre una contraddizione e concludere che un G del genere non può esistere.
6] Sia G un gruppo finito e supponiamo che il 2-sottogruppo di sylow di G sia ciclico.
6A) Calcolare il segno della permutazione $G -> G$ indotta dalla moltiplicazione a sinistra per un generatore di un 2-sottogruppo di sylow.
(?!)
6B) Dimostrare che G ammette un sottogruppo di indice 2, quindi non è semplice.
(un sottogruppo di indice 2 se non sbaglio è sempre normale... ora però come arrivo a dire che esiste?)
7] Sia $ n >= 1$, sia $\varphi$ la funzione di Eulero.
7A) Calcolare MCD($n$, $\varphi(n)$) per $n = 77, 91, 345$ e dimostrare che per quei valori di $n$ i gruppi di ordine $n$ sono ciclici.
7B) Provare che se ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, allora MCD($n$, $\varphi(n)$) = 1
7C) Se MCD($n$, $\varphi(n)$) = 1 allora MCD($m$, $\varphi(m)$) = 1 per ogni divisore $m$ di $n$
7D) Dimostrare il viceversa di 7B. (suggerisce inoltre di dimostrare che se $n$ non è primo, allora G ammette un sottogruppo normale diverso da ${e}$ e G e procedere per induzione...)
Grazie anche solo di avere letto il post o una parte. Non vi chiedo di aiutarmi in tutti gli esercizi, eh, sia chiaro. A tempo perso o se è di vostro interesse. Grazie in anticipo.
1] Sia G un gruppo con la proprietà che per qualsiasi $a, b, c in G$, gli elementi $abc$ e $bca$ sono coniugati. Dimostra che sia abeliano G.
(Allora qui ho cercato di focalizzarmi sulla definizione di coniugato, o di cercare di avere delle condizioni che mi portassero a dire che $g*h = h*g$ dati qualsiasi $g, h in G$ eppure niente...)
2] Sia $p$ un numero primo. Sia $q$ un divisore primo di $(p-1)$. Sia G il gruppo
G = ${ ((1,0),(a,b)) : a in Z_p, b in Z_p, b^q = e}$
Allora:
2A) Dimostrare che G è un sottogruppo non commutativo di $GL_2(Z_P)$ di ordine $pq$
(mi manca solo l'ordine! come faccio a dimostrare che ci sono esattamente $q$ elementi che elevati alla $q$ diano l'elemento neutro?)
2B) Dimostrare che G è isomorfo ad un prodotto semidiretto di H per $Z_p$, dove H è l'unico sottogruppo di $Z_p*$ di ordine $q$
(qui non so proprio che fare...)
3] Sia G = $SL_2(Z_3)$ (il gruppo delle matrici invertibili su $Z_3$ 2x2 che hanno determinante pari a 1). Quanti elementi ha G? Determinare la struttura del 2-sottogruppo di Sylow di G.
(Ha sicuramente 24 elementi. Ora cosa intende per "struttura"? Inoltre come faccio a studiarlo? Ne potrebbe avere sia 1 che 3 a priori)
4] Dimostrare che ogni gruppo di ordine 255 è ciclico.
(Questo è difficile >.<)
5] (Sono dei passaggi per la dimostrare che un gruppo di ordine 120 non è semplice) Sia dato per assurdo un gruppo di ordine 120 che abbia come unici sottogruppi normali ${e}$ e G stesso.
5A) G possiede quindi sei 5-sylow. (è facilmente verificabile)
5B) G agisce per coniugio sull'insieme dei 5-sylow. Dimostrare che l'omomorfismo associato $f: G -> S_6$ è iniettivo e l'immagine è contenuta in $A_6$ (mi manca solo da vedere l'immagine, e non so come fare!)
5C) Dimostrare che $A_6$ non ha sottogruppi di indice 3 (sfruttando la semplicità di $A_6$ ?)
5D) Dedurre una contraddizione e concludere che un G del genere non può esistere.
6] Sia G un gruppo finito e supponiamo che il 2-sottogruppo di sylow di G sia ciclico.
6A) Calcolare il segno della permutazione $G -> G$ indotta dalla moltiplicazione a sinistra per un generatore di un 2-sottogruppo di sylow.
(?!)
6B) Dimostrare che G ammette un sottogruppo di indice 2, quindi non è semplice.
(un sottogruppo di indice 2 se non sbaglio è sempre normale... ora però come arrivo a dire che esiste?)
7] Sia $ n >= 1$, sia $\varphi$ la funzione di Eulero.
7A) Calcolare MCD($n$, $\varphi(n)$) per $n = 77, 91, 345$ e dimostrare che per quei valori di $n$ i gruppi di ordine $n$ sono ciclici.
7B) Provare che se ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, allora MCD($n$, $\varphi(n)$) = 1
7C) Se MCD($n$, $\varphi(n)$) = 1 allora MCD($m$, $\varphi(m)$) = 1 per ogni divisore $m$ di $n$
7D) Dimostrare il viceversa di 7B. (suggerisce inoltre di dimostrare che se $n$ non è primo, allora G ammette un sottogruppo normale diverso da ${e}$ e G e procedere per induzione...)
Grazie anche solo di avere letto il post o una parte. Non vi chiedo di aiutarmi in tutti gli esercizi, eh, sia chiaro. A tempo perso o se è di vostro interesse. Grazie in anticipo.
Risposte
Purtroppo ora non ho molto tempo, ma ti scrivo alcune cose che forse ti possono aiutare.
Per il 3), mi sembrano un po' troppe. Tieni conto che SL è un sottogruppo di GL: l'ordine di $GL(2,\mathbb{F}_3)$ si calcola facilmente (è pari al numero di basi di $\mathbb{F}_{3}^{2}$ che dovrebbero essere $(3^2-3)(3-1)=6*2=12$).
EDIT: ho dimenticato un esponente: $(3^2-3)(3^2-1)=6*8=48$
Per il 4), se non ho sbagliato i conti, quello è un gruppo $pqr$, quindi l'r-sylow è sempre normale. Forse questa considerazione ti può essere utile.
Per il 7) vedi qui.
Più tardi, se riesco, guardo anche gli altri (ma non garantisco)
Per il 3), mi sembrano un po' troppe. Tieni conto che SL è un sottogruppo di GL: l'ordine di $GL(2,\mathbb{F}_3)$ si calcola facilmente (è pari al numero di basi di $\mathbb{F}_{3}^{2}$ che dovrebbero essere $(3^2-3)(3-1)=6*2=12$).
EDIT: ho dimenticato un esponente: $(3^2-3)(3^2-1)=6*8=48$
Per il 4), se non ho sbagliato i conti, quello è un gruppo $pqr$, quindi l'r-sylow è sempre normale. Forse questa considerazione ti può essere utile.
Per il 7) vedi qui.
Più tardi, se riesco, guardo anche gli altri (ma non garantisco)
"Paolo90":Per questo e altre cose consiglio a Simonixx di consultare questo.
Per il 4), se non ho sbagliato i conti, quello è un gruppo $pqr$, quindi l'r-sylow è sempre normale. Forse questa considerazione ti può essere utile.
"Paolo90":Sì, ma per quanto riguarda 7D ho il forte sospetto che esista una dimostrazione molto più semplice e pulita della mia. Magari ci penso
Per il 7) vedi qui.
Si per il 4) è utile verificare che l'r-sylow è sempre normale. Infatti $255=3*5*17$. Quindi essendo tutti e tre gli r-sylow normali sai che $G~=ZZ_3xZZ_5xZZ_17$ vedendo che il 3-sylow ha ordine 3 e quindi è per forza isomorfo a $ZZ_3$...stesso ragionamento per i 5-sylow e 17-sylow. L'intersezione di questi tre gruppi è l'elemento neutro e quindi puoi applicare un famoso teorema (che non so come si chiama XD). Una volta che hai capito quindi che $G~=ZZ_3xZZ_5xZZ_17$ puoi dire che è cicilico perchè prodotto di gruppi cicilici (e qui c'è anche un altro teorema)! Spero che hai capito....ho scritto un po' tutto abbreviato...
C'è qualcosa che non torna...
Ok.
Tre r-Sylow normali? Che cosa volevi dire? Ti ricordo che un p-Sylow è normale sse è l'unico del suo ordine.
Come fai a dedurre questo?
Lagrange.
Per cortesia, melli, più riflessione prima di postare: tutti sbagliamo, io per primo, ma se non siamo sicuri di quello che scriviamo è meglio non rispondere: il rischio di confondere gli utenti è grosso. E non è la prima volta che te lo dico...
Grazie.
"melli13":
Si per il 4) è utile verificare che l'r-sylow è sempre normale.
Ok.
"melli13":
Infatti $255=3*5*17$. Quindi essendo tutti e tre gli r-sylow normali
Tre r-Sylow normali? Che cosa volevi dire? Ti ricordo che un p-Sylow è normale sse è l'unico del suo ordine.
"melli13":
sai che $G~=ZZ_3xZZ_5xZZ_17$
Come fai a dedurre questo?
"melli13":
L'intersezione di questi tre gruppi è l'elemento neutro e quindi puoi applicare un famoso teorema (che non so come si chiama XD).
Lagrange.
Per cortesia, melli, più riflessione prima di postare: tutti sbagliamo, io per primo, ma se non siamo sicuri di quello che scriviamo è meglio non rispondere: il rischio di confondere gli utenti è grosso. E non è la prima volta che te lo dico...
Grazie.
Aggiungerei questo:
"melli13":Non è vero in generale che un prodotto di gruppi ciclici è un gruppo ciclico.
[...]è cicilico perchè prodotto di gruppi cicilici (e qui c'è anche un altro teorema)!
Allora per il 7D non riesco ancora a comprendere a pieno la dimostrazione, però l'implicazione 7B sono riuscito a svolgerla, e 7C era semplice. A parte questo, all'esercizio 4 non riesco a capire come dedurre che siano SICURAMENTE tutti e 3 normali. Infatti ho tre casi:
1) Entrambi sono normali. In questo caso posso affermare che la loro intersezione è l'elemento neutro visto che hanno elementi di ordine differente, per di più primo. Allora so che è un sottogruppo il loro prodotto diretto, che nel caso specifico ha 255 elementi precisi, quindi è il nostro G. Inoltre per il teorema cinese del resto $Z_255$ è isomorfo a $Z_3 x Z_5 x Z_17$ perchè sono coprimi fra loro gli indici; e $Z_255$ è ciclico.
2) C'è il caso in cui due sono normali e il terzo no. (non può accadere che uno solo è normale e gli altri due no, poichè l'ordine è solamente 255 e sarebbero più elementi di quanti dovrebbero essere!) Come svolgo questo caso, invece? >.<
(a meno che non ci sia qualcosa che me lo faccia escludere a prescindere, però ad esempio i 5-sylow possono essere 1 o 51, il 17-sylow solamente 1, il 3-sylow può essere 1 o 85).
Posso sempre dire che nel caso in cui ci sono 85 3-sylow, i restanti elementi sono nel sottogruppo che è prodotto diretto di $Z_5$ e $Z_17$ per lo stesso teorema di prima usato nel caso 1; analogo quando ci sono invece i 51 5-sylow. Ma poi come giungo ad una conclusione utile? (magari mi sfugge qualche proprietà/teorema/contraddizione?)
Per il terzo esercizio non sono affatto sicuro che ci siano solo 12 elementi. Ci sono ben 8 possibilità per la prima colonna, tolto quella di soli zeri poichè il determinante della matrice deve essere non-nullo e la matrice deve avere rango 2. Per la seconda le possibilità dipendono da quello che ho scelto nella prima, poichè non devono essere linearmente dipendenti, quindi comunque ho un multiplo di 8 e 12 non lo è >.< La seconda colonna ha 6 scelte, ovvero 9 tranne quella degli zeri e la prima colonna moltiplicata per 1 o per 2 (e di più non posso fare, poichè sono in $Z_3$). Ora quindi ho 8 scelte per 6 scelte ovvero 48 scelte.
A questo punto so che $SL_2(Z_3)$ è il nucleo dell'applicazione da $GL_2(Z_3)$ in $(Z_3) - {0}$ data dal determinante della matrice, che è suriettiva con il codominio che ha solo 2 elementi. Per il teorema di isomorfismo il quoziente tra dominio e nucleo è isomorfo all'immagine, quindi il quoziente ha ordine 2. Per far sì che sia vera questa affermazione, se l'ordine di $GL_2(Z_3)$ è 48, quello del nucleo è 24.
Non credo di avere sbagliato, no? >.<
1) Entrambi sono normali. In questo caso posso affermare che la loro intersezione è l'elemento neutro visto che hanno elementi di ordine differente, per di più primo. Allora so che è un sottogruppo il loro prodotto diretto, che nel caso specifico ha 255 elementi precisi, quindi è il nostro G. Inoltre per il teorema cinese del resto $Z_255$ è isomorfo a $Z_3 x Z_5 x Z_17$ perchè sono coprimi fra loro gli indici; e $Z_255$ è ciclico.
2) C'è il caso in cui due sono normali e il terzo no. (non può accadere che uno solo è normale e gli altri due no, poichè l'ordine è solamente 255 e sarebbero più elementi di quanti dovrebbero essere!) Come svolgo questo caso, invece? >.<
(a meno che non ci sia qualcosa che me lo faccia escludere a prescindere, però ad esempio i 5-sylow possono essere 1 o 51, il 17-sylow solamente 1, il 3-sylow può essere 1 o 85).
Posso sempre dire che nel caso in cui ci sono 85 3-sylow, i restanti elementi sono nel sottogruppo che è prodotto diretto di $Z_5$ e $Z_17$ per lo stesso teorema di prima usato nel caso 1; analogo quando ci sono invece i 51 5-sylow. Ma poi come giungo ad una conclusione utile? (magari mi sfugge qualche proprietà/teorema/contraddizione?)
Per il terzo esercizio non sono affatto sicuro che ci siano solo 12 elementi. Ci sono ben 8 possibilità per la prima colonna, tolto quella di soli zeri poichè il determinante della matrice deve essere non-nullo e la matrice deve avere rango 2. Per la seconda le possibilità dipendono da quello che ho scelto nella prima, poichè non devono essere linearmente dipendenti, quindi comunque ho un multiplo di 8 e 12 non lo è >.< La seconda colonna ha 6 scelte, ovvero 9 tranne quella degli zeri e la prima colonna moltiplicata per 1 o per 2 (e di più non posso fare, poichè sono in $Z_3$). Ora quindi ho 8 scelte per 6 scelte ovvero 48 scelte.
A questo punto so che $SL_2(Z_3)$ è il nucleo dell'applicazione da $GL_2(Z_3)$ in $(Z_3) - {0}$ data dal determinante della matrice, che è suriettiva con il codominio che ha solo 2 elementi. Per il teorema di isomorfismo il quoziente tra dominio e nucleo è isomorfo all'immagine, quindi il quoziente ha ordine 2. Per far sì che sia vera questa affermazione, se l'ordine di $GL_2(Z_3)$ è 48, quello del nucleo è 24.
Non credo di avere sbagliato, no? >.<
Sì, scusami, per il 3) hai perfettamente ragione: nella fretta mi ero perso un 2 ad esponente. Ora ho corretto.
Per quanto riguarda il problema che un gruppo di ordine $255$ é ciclico prova a vedere il post su questo forum "Ancora G gruppo di ordine pqr con p
Ok... ma cos'è che mi farebbe concludere la ciclicità di G, dato il fatto che ci sono 2 p-sylow, su un totale di 3, normali in G?
Potrei anche utilizzare, ma forse è barare!, il fatto che 255 è coprimo alla sua funzione di eulero e sfruttare il teorema dimostrato nell'esercizio 7. Ma sarebbe barare, dico, perchè l'esercizio 7D è ben lontano dalla mia totale comprensione. xD
Potrei anche utilizzare, ma forse è barare!, il fatto che 255 è coprimo alla sua funzione di eulero e sfruttare il teorema dimostrato nell'esercizio 7. Ma sarebbe barare, dico, perchè l'esercizio 7D è ben lontano dalla mia totale comprensione. xD
Il problema da te postato é un applicazione del problema generale seguente:
sia $G$ gruppo di ordine $pqr$ con $p
$(17-1)$.
Se vai al post che ti ho indicato ,"Ancora su G gruppo di ordine pqr con p
sia $G$ gruppo di ordine $pqr$ con $p
$(17-1)$.
Se vai al post che ti ho indicato ,"Ancora su G gruppo di ordine pqr con p
gruppo-di-ordine-pqr-t59904.html
E' l'unico topic che ho trovato che tornasse sull'argomento che dici tu, Francicko... ç_ç
P.S.: Gli altri esercizi nessun aiuto? >.<
E' l'unico topic che ho trovato che tornasse sull'argomento che dici tu, Francicko... ç_ç
P.S.: Gli altri esercizi nessun aiuto? >.<
Non credo di aver sbagliato. Mi spiego semplicemente meglio!
$|G|=255=3*5*17$
Allora per i teoremi di Sylow sappiamo che la cardinalità dei 3-sylow, dei 5-sylow e 17-sylow è uno (anche questo devo scrivere come ho ricavato o posso saltare il passaggio?). Siccome la cardinalità è uno, sono tutti e tre normali.
Ora chiamo $N_3$=il 3-sottogruppo di sylow, $N_5$=il 5-sottogruppo di sylow, $N_17$=il 17-sottogruppo di sylow.
$G=N_3*N_5*N_17$
$N_3 nn N_5 nn N_17 = {1}$ per Lagrange, avendo elementi di ordine diverso.
Ora esiste un TEOREMA: Sia $G$ un gruppo, e siano $G_1$ e $G_2$ due suoi sottogruppi tali che:
-$G_1$ e $G_2$ sono normali in G
-$G=G_1*G_2$
-$G_1 nn G_2={e}$
Allora G è isomorfo al prodotto diretto esterno $G_1xG_2$
Quindi nel nostro caso $G~=N_3xN_5xN_17$
Ma $|N_3|=3$, $|N_5|=5$, $|N_17|=17$. Sappiamo che se un gruppo ha cardinalità p, con p primo, allora è isomorfo al gruppo $ZZ_p$. Quindi $N_3 ~= ZZ_3$, $N_5~=ZZ_5$, $N_17~=ZZ_17$. E allora $G~=ZZ_3*ZZ_5*ZZ_17$.
Ora c'è una PROPOSIZIONE che dice:
Sia $G=G_1xG_2x....xG_k$. Allora se ogni $G_i$ ha ordine finito, $G=G_1xG_2x....xG_k$ è ciclico se e solo se ogni $C_i$ è ciclico e $MCD(|G_i|,|G_j|)=1$ per ogni $i!=j$
(Basta o devo postare anche tutta la dimostrazione?)
In base a ciò posso finalmente dire che G è ciclico!
$|G|=255=3*5*17$
Allora per i teoremi di Sylow sappiamo che la cardinalità dei 3-sylow, dei 5-sylow e 17-sylow è uno (anche questo devo scrivere come ho ricavato o posso saltare il passaggio?). Siccome la cardinalità è uno, sono tutti e tre normali.
Ora chiamo $N_3$=il 3-sottogruppo di sylow, $N_5$=il 5-sottogruppo di sylow, $N_17$=il 17-sottogruppo di sylow.
$G=N_3*N_5*N_17$
$N_3 nn N_5 nn N_17 = {1}$ per Lagrange, avendo elementi di ordine diverso.
Ora esiste un TEOREMA: Sia $G$ un gruppo, e siano $G_1$ e $G_2$ due suoi sottogruppi tali che:
-$G_1$ e $G_2$ sono normali in G
-$G=G_1*G_2$
-$G_1 nn G_2={e}$
Allora G è isomorfo al prodotto diretto esterno $G_1xG_2$
Quindi nel nostro caso $G~=N_3xN_5xN_17$
Ma $|N_3|=3$, $|N_5|=5$, $|N_17|=17$. Sappiamo che se un gruppo ha cardinalità p, con p primo, allora è isomorfo al gruppo $ZZ_p$. Quindi $N_3 ~= ZZ_3$, $N_5~=ZZ_5$, $N_17~=ZZ_17$. E allora $G~=ZZ_3*ZZ_5*ZZ_17$.
Ora c'è una PROPOSIZIONE che dice:
Sia $G=G_1xG_2x....xG_k$. Allora se ogni $G_i$ ha ordine finito, $G=G_1xG_2x....xG_k$ è ciclico se e solo se ogni $C_i$ è ciclico e $MCD(|G_i|,|G_j|)=1$ per ogni $i!=j$
(Basta o devo postare anche tutta la dimostrazione?)
In base a ciò posso finalmente dire che G è ciclico!
Aspetta un attimo, perchè devono essere tutti e tre normali?
Io so che per Sylow, la cardinalità di un p-sylow è congruo ad 1 modulo quel primo p, inoltre so per Lagrange che la cardinalità del p-sylow deve dividere la cardinalità del gruppo, ma 1 modulo p non dividerà mai la cardinalità del p-sylow stesso (a meno appunto del numero 1), quindi dobbiamo vedere se e come può dividere la cardinalità restante (ovvero se l'ordine di G è $pqr$ come in questo caso, devo vedere se $1 (mod p)$ divide $qr$.
A questo punto posso dire che per il 3-sylow sia 1 che 85 dividono $17*5 = 85 = 84 + 1 = 0 + 1 (mod 3) = 1 (mod 3)$
Ugualmente i 5-sylow possono essere 1 o 51.
Quindi ho 3 casi:
1] 3-sylow, 5-sylow, 17-sylow unici;
2] 85 3-sylow e gli altri normali ;
3] 51 5-sylow e gli altri normali ;
4] non posso avere sia 51 5-sylow sia 85 3-sylow poichè hanno intersezione banale e la somma dei loro elementi supera la cardinalità del gruppo che è 255.
Se mi dici come faccio ad escludere il caso 2 e 3 mi daresti una mano.
Il resto so tutto a parte la dimostrazione della proposizione che hai scritto. Semmai scrivimi uno "spoiler" con la dimostrazione, mentre tento di darne una da solo...
Grazie ^^
Io so che per Sylow, la cardinalità di un p-sylow è congruo ad 1 modulo quel primo p, inoltre so per Lagrange che la cardinalità del p-sylow deve dividere la cardinalità del gruppo, ma 1 modulo p non dividerà mai la cardinalità del p-sylow stesso (a meno appunto del numero 1), quindi dobbiamo vedere se e come può dividere la cardinalità restante (ovvero se l'ordine di G è $pqr$ come in questo caso, devo vedere se $1 (mod p)$ divide $qr$.
A questo punto posso dire che per il 3-sylow sia 1 che 85 dividono $17*5 = 85 = 84 + 1 = 0 + 1 (mod 3) = 1 (mod 3)$
Ugualmente i 5-sylow possono essere 1 o 51.
Quindi ho 3 casi:
1] 3-sylow, 5-sylow, 17-sylow unici;
2] 85 3-sylow e gli altri normali ;
3] 51 5-sylow e gli altri normali ;
4] non posso avere sia 51 5-sylow sia 85 3-sylow poichè hanno intersezione banale e la somma dei loro elementi supera la cardinalità del gruppo che è 255.
Se mi dici come faccio ad escludere il caso 2 e 3 mi daresti una mano.
Il resto so tutto a parte la dimostrazione della proposizione che hai scritto. Semmai scrivimi uno "spoiler" con la dimostrazione, mentre tento di darne una da solo...
Grazie ^^
Scusate l'up, ma voglio provare questo ragionamento (inoltre voglio dire che la proposizione descritta nel finale due post fa sono riuscito a dimostrarla, inoltre era anche su un libro che ho qui da me).
Allora suppongo che ci siano 85 3-sylow nel gruppo di ordine 255.
A questo punto dico che i restanti 85 elementi precisi, tolti i 170 che affollano (a parte l'elemento neutro che è nella loro intersezione e non l'ho ancora contato) i vari $Z_3$, facciano parte del prodotto diretto dei due sottogruppi di sylow normali restanti $Z_5 x Z_17$.
A questo punto so che fra quei 85 elementi, ci sono elementi di ordine 5,17, e inoltre 85, visto che è ciclico perchè 5,17 sono coprimi è isomorfo a $Z_85$.
Allora dico che siccome tutti i restanti sono degli $Z_3$ hanno tutti ordine 3.
Se faccio il prodotto fra un elemento di ordine 3 e uno di ordine 5,17,85 mi trovo che ho come ordine il minimo comune multiplo tra gli ordini, quindi 15, 51, o 255.
A questo punto quegli elementi di ordine 15, 51, 255 non possono stare nei vari $Z_3$ ma nemmeno in $Z_85$ perchè hanno ordine che non divide le loro cardinalità, dunque è un assurdo, dunque non ci possono essere 85 3-sylow.
Ragionamento analogo per escludere il caso di 51 5-sylow.
A questo punto rimango col fatto che G sia isomorfo al prodotto diretto $Z_3 x Z_5 x Z_17$ che sono ciclici, hanno ordini che sono coprimi, dunque il prodotto diretto è sicuramente ciclico e inoltre è isomorfo a $Z_255$
Fine.
Allora suppongo che ci siano 85 3-sylow nel gruppo di ordine 255.
A questo punto dico che i restanti 85 elementi precisi, tolti i 170 che affollano (a parte l'elemento neutro che è nella loro intersezione e non l'ho ancora contato) i vari $Z_3$, facciano parte del prodotto diretto dei due sottogruppi di sylow normali restanti $Z_5 x Z_17$.
A questo punto so che fra quei 85 elementi, ci sono elementi di ordine 5,17, e inoltre 85, visto che è ciclico perchè 5,17 sono coprimi è isomorfo a $Z_85$.
Allora dico che siccome tutti i restanti sono degli $Z_3$ hanno tutti ordine 3.
Se faccio il prodotto fra un elemento di ordine 3 e uno di ordine 5,17,85 mi trovo che ho come ordine il minimo comune multiplo tra gli ordini, quindi 15, 51, o 255.
A questo punto quegli elementi di ordine 15, 51, 255 non possono stare nei vari $Z_3$ ma nemmeno in $Z_85$ perchè hanno ordine che non divide le loro cardinalità, dunque è un assurdo, dunque non ci possono essere 85 3-sylow.
Ragionamento analogo per escludere il caso di 51 5-sylow.
A questo punto rimango col fatto che G sia isomorfo al prodotto diretto $Z_3 x Z_5 x Z_17$ che sono ciclici, hanno ordini che sono coprimi, dunque il prodotto diretto è sicuramente ciclico e inoltre è isomorfo a $Z_255$
Fine.
Guarda bene che c'è!
Il post é "Ancora $G$ gruppo di ordine $pqr$ con $p
Il post é "Ancora $G$ gruppo di ordine $pqr$ con $p
"melli13":
Allora per i teoremi di Sylow sappiamo che la cardinalità dei 3-sylow, dei 5-sylow e 17-sylow è uno (anche questo devo scrivere come ho ricavato o posso saltare il passaggio?).
No, non puoi saltare il passaggio, devi scrivere anche questo (vedi l'ultimo post di Simonixx). E' la cosa più delicata di tutto l'esercizio.
Il discorso sull'mcm vale qui in particolare per il fatto che arriverei a degli assurdi se così non fosse. Però ad esempio, ora che ci penso non vale in generale per i gruppi non abeliani poichè in $S_3$ una trasposizione composta con un 3-ciclo mi dà una trasposizione, proprio perchè non ho elementi di ordine 6.
Giusto quello che penso? (è una curiosità)
Giusto quello che penso? (è una curiosità)
"Simonixx":No questo è falso in generale (come hai osservato nel tuo ultimo intervento).
Se faccio il prodotto fra un elemento di ordine 3 e uno di ordine 5,17,85 mi trovo che ho come ordine il minimo comune multiplo tra gli ordini, quindi 15, 51, o 255.
Coi conti sui Sylow arrivi a dover discutere il caso in cui [tex]n_3=n_{17}=1[/tex]. Sia [tex]N[/tex] il prodotto del [tex]3[/tex]-Sylow col [tex]17[/tex]-Sylow. Chiaramente [tex]N \unlhd G[/tex]. Sia [tex]H[/tex] un [tex]5[/tex]-Sylow. Siccome [tex]H \cap N = \{1\}[/tex], per concludere che [tex]G \cong N \times H[/tex] basta mostrare che [tex]H[/tex] centralizza [tex]N[/tex], cioè che [tex]nh=hn[/tex] per ogni [tex]n \in N[/tex], [tex]h \in H[/tex]. Ma questo è ovvio se consideri l'azione di coniugio di [tex]H[/tex] su [tex]N[/tex], dato che [tex]5[/tex] non divide [tex]\varphi(3 \cdot 17)=2^5[/tex].
Rimando di nuovo qui per quanto riguarda il 7D. Non ho ancora trovato dimostrazioni elementari.
Un attimo, il fatto che debba "centralizzare" il gruppo su cui agisce per far sì che G sia isomorfo a quel prodotto vale in generale se dati due sottogruppi di cui uno dei due normale, e poi...? (se c'è un enunciato, così almeno lo dimostro! >.<)
Inoltre non ho capito l'ovvia conclusione. Se 5 non divide 32 quale conseguenza avrei?...
Inoltre non ho capito l'ovvia conclusione. Se 5 non divide 32 quale conseguenza avrei?...
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