[teoria dei gruppi] Sottogruppi di $(QQ,+)$
Sia Q(+) Gruppo additivo dei numeri razionali , comunque preso un suosotoguppo non banale questo risulta essere isomorfo al gruppo Z(+) degli interi oppure isomorfo allo stesso Q(+), e' vero'?
Per esempio se prendo un generico elemento come puo' essere 1/3 ed il suo opposto -1/3 appartenenti a Q ma non a Z, questi generano un sottogruppo di Q(+) isomorfo a Z(+) che risultera' esserne a sua volta sottogruppo.
Per esempio se prendo un generico elemento come puo' essere 1/3 ed il suo opposto -1/3 appartenenti a Q ma non a Z, questi generano un sottogruppo di Q(+) isomorfo a Z(+) che risultera' esserne a sua volta sottogruppo.
Risposte
Per cortesia, modifica il tuo messaggio.
E' "scortese" (oltre che vietato dal regolamento, punto 3.5) scrivere il testo tutto in maiuscolo.
E' "scortese" (oltre che vietato dal regolamento, punto 3.5) scrivere il testo tutto in maiuscolo.
[mod="Martino"]Anch'io ti chiedo di scrivere in minuscolo. Inoltre ti chiedo di specificare meglio il titolo.[/mod]
Quanto al problema che proponi, in rete ho trovato questo.
Quanto al problema che proponi, in rete ho trovato questo.
Assolutamente no: tra [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] e [tex](\mathbb{Z},+)[/tex] vi è un'infinità continua di sottogruppi non isomorfi a coppie; le cui classi d'isomorfia sono caratterizzabili con la teoria dei tipi!
EDIT: Non mi stò riferendo a questi "tipi" http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_tipi ma ad altri "tipi propri di [tex](\mathbb{Q},+)[/tex]".
EDIT: Non mi stò riferendo a questi "tipi" http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_dei_tipi ma ad altri "tipi propri di [tex](\mathbb{Q},+)[/tex]".
Intanto chiedo scusa per aver scritto il precedente messaggio in maiuscolo e ringrazio per avermelo segnalato! Non essendo molto pratico nell'uso delle procedure sarei grato se mi spiegaste come fare a modificare il precedente messaggio da me inviato al forum per rimediare,
e quindi riscriverlo a caratteri minuscoli.
e quindi riscriverlo a caratteri minuscoli.
"francicko":Clicca sul bottone "modifica" che trovi nell'intervento.
Intanto chiedo scusa per aver scritto il precedente messaggio in maiuscolo e ringrazio per avermelo segnalato! Non essendo molto pratico nell'uso delle procedure sarei grato se mi spiegaste come fare a modificare il precedente messaggio da me inviato al forum per rimediare,
e quindi riscriverlo a caratteri minuscoli.
sia (Q,+) gruppo additivo dei razionali, comunque preso un elemento appartenente a Q ma non a Z, sia ad esempio 1/3 tale elemento ed -1/3 il suo opposto, e' indubbio che questi elementi generano un sottogruppo ciclico infinito di (Q,+) . Tutto cio' mi aveva indotto a pensare erroneamente che ogni sottogruppo di (Q,+) fosse ciclico infinito e quindi isomorfo a
(Z,+). Riflettendo però mi ero accorto che se prendo ad esempio tutti gli elementi della forma, 0, 1,-1, 1/2, -1/2,1/4,-1/4, 1/8, -1/8,1/16,-1/16, .....ecc. ecc. , cioe' tutti quegli elementi che hanno come numeratore +1o -1 ,ed a denominatore una potenza di 2, questa classe di infiniti elementi genererebbe un sottogruppo infinito additivo di (Q,+), non isomorfo a (Z,+),(in definitiva è come considerare tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di due), inoltre essendo strutturato in modo che presi due suoi qualunque sottogruppi uno risulterebbe necessariamente contenuto nell'altro e quindi non strutturato come (Q,+) dove questo non succede necessariamente, e pertanto non isomorfo a (Q,+).Vorrei un parere sull'esattezza o meno dell'esposto, grazie!
Nell'attesa vi invio cordiali saluti!
(Z,+). Riflettendo però mi ero accorto che se prendo ad esempio tutti gli elementi della forma, 0, 1,-1, 1/2, -1/2,1/4,-1/4, 1/8, -1/8,1/16,-1/16, .....ecc. ecc. , cioe' tutti quegli elementi che hanno come numeratore +1o -1 ,ed a denominatore una potenza di 2, questa classe di infiniti elementi genererebbe un sottogruppo infinito additivo di (Q,+), non isomorfo a (Z,+),(in definitiva è come considerare tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di due), inoltre essendo strutturato in modo che presi due suoi qualunque sottogruppi uno risulterebbe necessariamente contenuto nell'altro e quindi non strutturato come (Q,+) dove questo non succede necessariamente, e pertanto non isomorfo a (Q,+).Vorrei un parere sull'esattezza o meno dell'esposto, grazie!
Nell'attesa vi invio cordiali saluti!
Ogni sottogruppo finitamente generato di $QQ$ con la somma è isomorfo a $ZZ$ con la somma o al gruppo banale. La dimostrazione può essere fatta facilmente per induzione. Riguardo al fatto che se possiedono una infinità numerabile di generatori possano essere isomorfi a $QQ$ o a $ZZ$ non saprei. Ci dovrei pensare. Non sono neanche sicuro $QQ$ possieda sottogruppi propri isomorfi a se stesso.
Faccio alcune considerazioni.
1. Il tuo modo di scrivere il gruppo non mi pare molto appropriato. Il modo stanzard è $(ZZ,+)$ o semplicemente $ZZ$ quando l'operazione è chiara.
2. Dato un generatore non hai bisogno di prendere anche il suo inverso.
3. [...] commento cancellato
4. [...] commento riproposto più avanti spiegando meglio
X j18eos: non l'avevo mai sentita quella cosa. Hai per caso un link o mi puoi indicare un libro dove la posso leggere?
EDIT: il punto numero 3 è stato cancellato perché sbagliato
Faccio alcune considerazioni.
1. Il tuo modo di scrivere il gruppo non mi pare molto appropriato. Il modo stanzard è $(ZZ,+)$ o semplicemente $ZZ$ quando l'operazione è chiara.
2. Dato un generatore non hai bisogno di prendere anche il suo inverso.
3. [...] commento cancellato
4. [...] commento riproposto più avanti spiegando meglio
X j18eos: non l'avevo mai sentita quella cosa. Hai per caso un link o mi puoi indicare un libro dove la posso leggere?
EDIT: il punto numero 3 è stato cancellato perché sbagliato
Vict85 intendi la teoria dei tipi per classificare i sottogruppi di [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] contenenti [tex](\mathbb{Z},+)[/tex]?
Nel documento citato da Martino all'inizio l'autore associa una successione di numeri naturali o di [tex]+\infty[/tex] ai sottogruppi interessati, tale è il tipo del sottogruppo di numeri razionali! La mia relatrice parla di teoria dei tipi, chiederò perché.
Nel documento citato da Martino all'inizio l'autore associa una successione di numeri naturali o di [tex]+\infty[/tex] ai sottogruppi interessati, tale è il tipo del sottogruppo di numeri razionali! La mia relatrice parla di teoria dei tipi, chiederò perché.
[mod="Martino"]@francicko: ti ricordo che sei tenuto a mettere il testo in minuscolo. Grazie.[/mod]
"j18eos":
Vict85 intendi la teoria dei tipi per classificare i sottogruppi di [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] contenenti [tex](\mathbb{Z},+)[/tex]?
Nel documento citato da Martino all'inizio l'autore associa una successione di numeri naturali o di [tex]+\infty[/tex] ai sottogruppi interessati, tale è il tipo del sottogruppo di numeri razionali! La mia relatrice parla di teoria dei tipi, chiederò perché.
Non avevo notato l'articolo citato da Martino.
Comunque spesso i risultati di questo tipo, che riguardano da vicino più settori della matematica (principalmente teoria degli logica, algebra e teoria dei numeri) possiedono dimostrazioni anche molto diverse tra di loro. Immagino che semplicemente la tua relatrice abbia maggiori rapporti con i logici.
A proposito del quesito che ho posto, io affermo che presi tutti gli elementi della forma:
k su 2 elevato n con k appartenente a Z ed n appartenente ad N cioè tutte le frazioni aventi denominatore una potenza di due, l'insieme proposto risulta essere un sottogruppo di (Q,+) infatti comunque presi due elementi di tale forma l'elemento risultante con l'operazione additiva sara' ancora un elemento della forma suddetta, e pertanto viene soddisfatta la chiusura. Se prendo l'elmento 1/7 questo non potrà mai essere della forma su indicata pertanto l'insieme in questione non esaurisce Q, e quindi non capisco cosa centri il sistema binario o quant'altro. Dopodiche' io non affermo affatto e me ne guarderei bene, che due gruppi ciclici infiniti sono isomorfi solo perchè contengono Z. Due gruppi ciclici infiniti sono isomorfi in quanto si può stabilire facilmente un applicazione che porta il generatore dell'uno nel generatore dell'altro che risulta essere un isomorfismo. Se prendo ad esempio due sottogruppi ciclici di Q
generati rispettivamente dagli elementi <1/3> ed <1/5,>, sicuramente questi saranno isomorfi perchè ciclici infiniti e contengono Z.
k su 2 elevato n con k appartenente a Z ed n appartenente ad N cioè tutte le frazioni aventi denominatore una potenza di due, l'insieme proposto risulta essere un sottogruppo di (Q,+) infatti comunque presi due elementi di tale forma l'elemento risultante con l'operazione additiva sara' ancora un elemento della forma suddetta, e pertanto viene soddisfatta la chiusura. Se prendo l'elmento 1/7 questo non potrà mai essere della forma su indicata pertanto l'insieme in questione non esaurisce Q, e quindi non capisco cosa centri il sistema binario o quant'altro. Dopodiche' io non affermo affatto e me ne guarderei bene, che due gruppi ciclici infiniti sono isomorfi solo perchè contengono Z. Due gruppi ciclici infiniti sono isomorfi in quanto si può stabilire facilmente un applicazione che porta il generatore dell'uno nel generatore dell'altro che risulta essere un isomorfismo. Se prendo ad esempio due sottogruppi ciclici di Q
generati rispettivamente dagli elementi <1/3> ed <1/5,>, sicuramente questi saranno isomorfi perchè ciclici infiniti e contengono Z.
"francicko":
A proposito del quesito che ho posto, io affermo che presi tutti gli elementi della forma:
k su 2 elevato n con k appartenente a Z ed n appartenente ad N cioè tutte le frazioni aventi denominatore una potenza di due, l'insieme proposto risulta essere un sottogruppo di (Q,+) infatti comunque presi due elementi di tale forma l'elemento risultante con l'operazione additiva sara' ancora un elemento della forma suddetta, e pertanto viene soddisfatta la chiusura. Se prendo l'elmento 1/7 questo non potrà mai essere della forma su indicata pertanto l'insieme in questione non esaurisce Q, e quindi non capisco cosa centri il sistema binario o quant'altro. Dopodiche' io non affermo affatto e me ne guarderei bene, che due gruppi ciclici infiniti sono isomorfi solo perchè contengono Z. Due gruppi ciclci infiniti sono isomorfi in quanto si può stabilire facilmente un applicazione che porta il generatore dell'uno nel generatore dell'altro che risulta essere un isomorfismo. Se prendo ad esempio due sottogruppi ciclici di Q
generati rispettivamente dagli elementi <1/3> ed <1/5,>, sicuramente questi saranno isomorfi perchè ciclici infiniti e contengono Z.
Riguardo al controesempio errore mio. Non avevo notato che erano necessarie somme infinite.
Riguardo alla seconda parte il mio era un commento di forma non di sostanza. Il fatto che contenesse $ZZ$ era una informazione inutile e non era ben chiaro che tu intendessi "perché A, inoltre B" invece di "perché A+B". Siccome non aggiunge nessun dato utile alla dimostrazione a mio avviso era opportuno eliminare l'informazione.
Sempre a proposito della questione da me posta sull'esistenza di sottogruppi di (Q,+) non ciclici, nei precedenti messaggi io prendo tutte le frazioni aventi
come denominatore una potenza di due, ma nulla vieta ad esempio di prendere tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di tre, anzi in generale tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di n con n appartenente all'insieme degli interi positivi. Quindi abbiamo un infinita' di sottogruppi non ciclici di (Q,+) e non isomorfi a (Q,+) stesso?
come denominatore una potenza di due, ma nulla vieta ad esempio di prendere tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di tre, anzi in generale tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di n con n appartenente all'insieme degli interi positivi. Quindi abbiamo un infinita' di sottogruppi non ciclici di (Q,+) e non isomorfi a (Q,+) stesso?
Gli automorfismi di (Z,+) sono solo due in quanto possiede solo due generatori, 1 ed -1, è vero o sono in errore?
"francicko":Giusto.
Gli automorfismi di (Z,+) sono solo due
Nel frattempo ho specificato meglio il titolo.
"francicko":
Sempre a proposito della questione da me posta sull'esistenza di sottogruppi di (Q,+) non ciclici, nei precedenti messaggi io prendo tutte le frazioni aventi
come denominatore una potenza di due, ma nulla vieta ad esempio di prendere tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di tre, anzi in generale tutte le frazioni aventi come denominatore una potenza di n con n appartenente all'insieme degli interi positivi. Quindi abbiamo un infinita' di sottogruppi non ciclici di (Q,+) e non isomorfi a (Q,+) stesso?
Certo, comunque nel link postato da Martino nella prima pagina i sottogruppi di $QQ$ erano descritti con precisione.
Quanti automorfismi possiede (Q,+)? Se prendo l'applicazione di Q in Q che porta un generico elemento q appartenente a Q nell'elemento kq(utilizzando la comune moltiplicazione in Q) con k fissato appartenente a Q, questa risulta essere chiaramente un omomorfismo di (Q,+), inoltre è iniettiva e suriettiva e quindi un automorfismo , sarei portato ad affermare che ogni automorfismo di (Q,+) è necessariamente della forma su indicata, cioè ad ogni elemento k appartenente a Q posso associare un automorfismo di (Q,+) e quindi ne avrò infiniti.Chiaramente questo ragionamento si può fare anche in (Z,+) solo che in questo caso avro' delle immagini omomorfe di (Z,+), ed ottero' degli automorfismi solo nel caso fissato analogamente un k elemento appartenente a Z, questo assuma i valori 1 ed -1(cioè i generatori di Z), infatti solamente in questi casi l'applicazione diventerebbe iniettiva e suriettiva .E' valido o meno il ragionamento?
Da quanto scrivi puoi solo affermare con certezza che il gruppo automorfo di [tex](\mathbb{Q},+)[/tex] sia almeno numerabile, devi dimostrare che l'applicazione di cui tu parli implicitamente sia un isomorfismo (t'assicuro che lo è).
A proposito di quanti automorfismi possiede (Q,+), chiaramente l'applicazione proposta è un omomorfismo infatti fissato un elemento k appartenente a Q, e comunque presi due elementi sempre appartenenti a Q indicati con a, e b, le rispettive immagini secondo l'applicazione proposta risulteranno essere rispettivamente ka ,e kb e per la distributività avremo ka + kb = k(a+b), cioè trattasi di un omomorfismo.
L'applicazione risulta essere inoltre suriettiva, comunque preso un elemento q appartenente a Q esisterà l' elemento q(1/k) tale che q(1/k)k = q, cioè esiste l'antimmagine per ogni elemento appartenente a Q.
Inoltre è assicurata l'iniettività, infatti comunque presi due elementi a , b con a diverso da b ed appartenenti a Q si avrà ka diverso da kb.
Pertanto trattasi di un isomorfismo(automorfismo). Del fatto che ogni automorfismo di ( Q,+) è della forma da me indicata, a mio modesto avviso, si potrebbe asserire con certezza!
L'applicazione risulta essere inoltre suriettiva, comunque preso un elemento q appartenente a Q esisterà l' elemento q(1/k) tale che q(1/k)k = q, cioè esiste l'antimmagine per ogni elemento appartenente a Q.
Inoltre è assicurata l'iniettività, infatti comunque presi due elementi a , b con a diverso da b ed appartenenti a Q si avrà ka diverso da kb.
Pertanto trattasi di un isomorfismo(automorfismo). Del fatto che ogni automorfismo di ( Q,+) è della forma da me indicata, a mio modesto avviso, si potrebbe asserire con certezza!
Sempre a proposito di quanti automorfismi possiede (Q,+), se prendo un qualsiasi automorfismo, l'elemento unità 1 andrà sicuramente in un certo elemento k sempre appartenente a Q, quindi trattandosi di un automorfismo l'elemento (1+1) andrà in (k+k) ed (1+1+1) andrà in (k+k+k), ed(1+1+1+1...) in (k+k+k+k+...) ecc. ecc.
, cioè l'elemento k genererà la copia automorfa di (Z,+); Preso ad esempio l'elemento 1/2 essendo (1/2) + (1/2) =1 dirò che tale elemento ha periodo 2 ed in generale preso + o - 1/n con n appartenente ad N tale elemento avrà periodo n,infatti (1/n+1/n+...1/n)=n(1/n)=1. Dovendo essere un automorfismo questo succederà in corrispondenza anche per l'elemento k/n che avrà periodo n, in quanto (k/n + k/n+....k/n)= n(k/n)=k cioè k/n preso n volte sarà uguale a k. Questo a mio avviso sarebbe sufficiente per affermare che ogni automorfismo è della forma da me indicata. Non sono convinto dell'esattezza del mio esposto , gradirei se mi segnalaste dove sta l'errore del ragionamento, grazie.
, cioè l'elemento k genererà la copia automorfa di (Z,+); Preso ad esempio l'elemento 1/2 essendo (1/2) + (1/2) =1 dirò che tale elemento ha periodo 2 ed in generale preso + o - 1/n con n appartenente ad N tale elemento avrà periodo n,infatti (1/n+1/n+...1/n)=n(1/n)=1. Dovendo essere un automorfismo questo succederà in corrispondenza anche per l'elemento k/n che avrà periodo n, in quanto (k/n + k/n+....k/n)= n(k/n)=k cioè k/n preso n volte sarà uguale a k. Questo a mio avviso sarebbe sufficiente per affermare che ogni automorfismo è della forma da me indicata. Non sono convinto dell'esattezza del mio esposto , gradirei se mi segnalaste dove sta l'errore del ragionamento, grazie.
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