[teoria dei gruppi] Sottogruppi di $(QQ,+)$
Sia Q(+) Gruppo additivo dei numeri razionali , comunque preso un suosotoguppo non banale questo risulta essere isomorfo al gruppo Z(+) degli interi oppure isomorfo allo stesso Q(+), e' vero'?
Per esempio se prendo un generico elemento come puo' essere 1/3 ed il suo opposto -1/3 appartenenti a Q ma non a Z, questi generano un sottogruppo di Q(+) isomorfo a Z(+) che risultera' esserne a sua volta sottogruppo.
Per esempio se prendo un generico elemento come puo' essere 1/3 ed il suo opposto -1/3 appartenenti a Q ma non a Z, questi generano un sottogruppo di Q(+) isomorfo a Z(+) che risultera' esserne a sua volta sottogruppo.
Risposte
Potresti usare le formule oppure il tag TeX? Ti rende più leggibile...
Mi scuso se sono poco leggibile, ma non riesco ancora a capacitarmi nell' uso degli strumenti per la trascrizione dei simboli e delle formule matematiche,
momentaneamente comunque cerco di fare del mio meglio per rendermi chiaro e leggibile, spero di adeguarmi al più presto, grazie.
momentaneamente comunque cerco di fare del mio meglio per rendermi chiaro e leggibile, spero di adeguarmi al più presto, grazie.
Su un testo si proponeva di risolvere il seguente quesito: quanti automorfismi possiede un gruppo G di ordine primo p?
Procedevo nel seguente modo per la risoluzione del problema:
comunque presi a,b elementi generici appartenenti a (G,+) avremo usando la notazione additiva ta + tb = t(a+b) con t che varia nell'insieme (1,2,3,...p-1), la relazione suddetta è valida in quanto G ciclico e quindi abeliano; Di conseguenza l'applicazione che porta l'elemento generico x appartenente a G in tx è un omomorfismo il cui nucleo risulta essere costituito dal solo elemento neutro, in quanto G essendo di ordine primo , non può possedere sottogruppi non banali , pertanto l'applicazione è iniettiva ed essendo G finito anche suriettiva , quindi trattasi di un automorfismo. Variando t nell'insieme (1,2,3,...p-1) avrò esattamente p-1 automorfismi del tipo sudetto.
Viceversa comunque preso un automorfismo f ed un elemento generico x diverso dall' elemento neutro l'immagine f(x) risulterà essere potenza di x in quanto quest'ultimo sarà sicuramente generatore(per il teorema di lagrange), quindi avrò f(x)=tx con t appartenente all'insieme (1,2,3,....p-1), ma tx risulterà anch'esso generatore pertanto ogni elemento di G diverso dall'elemento neutro si potrà scrivere come potenza di tx quindi avremo: tx+tx+tx....+tx= t(x+x+x+...+x) cioè l'automorfismo risulta essere della forma suddetta, pertanto posso affermare che vi sono esattamente p-1 automorfismi.
Inoltre osservavo che se G non fosse di ordine primo p ma di ordine n non primo , so da un elementare teorema che avrà un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine di G, quindi il nucleo di tale omomorfismo sarà costituito dal solo elemento neutro quando per t che varia nell'insieme (1,2,3,...n-1) si ha (t,n)=1 cioè quando t ed n sono coprimi.In questo caso tx risulterà essere infatti generatore, quindi avrò esattamente tanti automorfismi quanti sono gli elementi coprimi con n cioè la funzione di eulero. Riassumendo applicando la funzione di eulero all'ordine n generico di un gruppo G finito otterrò il numero degli automorfismi del gruppo in questione.Vorrei un giudizio sull'esattezza o meno dell'esposto ,grazie.
Procedevo nel seguente modo per la risoluzione del problema:
comunque presi a,b elementi generici appartenenti a (G,+) avremo usando la notazione additiva ta + tb = t(a+b) con t che varia nell'insieme (1,2,3,...p-1), la relazione suddetta è valida in quanto G ciclico e quindi abeliano; Di conseguenza l'applicazione che porta l'elemento generico x appartenente a G in tx è un omomorfismo il cui nucleo risulta essere costituito dal solo elemento neutro, in quanto G essendo di ordine primo , non può possedere sottogruppi non banali , pertanto l'applicazione è iniettiva ed essendo G finito anche suriettiva , quindi trattasi di un automorfismo. Variando t nell'insieme (1,2,3,...p-1) avrò esattamente p-1 automorfismi del tipo sudetto.
Viceversa comunque preso un automorfismo f ed un elemento generico x diverso dall' elemento neutro l'immagine f(x) risulterà essere potenza di x in quanto quest'ultimo sarà sicuramente generatore(per il teorema di lagrange), quindi avrò f(x)=tx con t appartenente all'insieme (1,2,3,....p-1), ma tx risulterà anch'esso generatore pertanto ogni elemento di G diverso dall'elemento neutro si potrà scrivere come potenza di tx quindi avremo: tx+tx+tx....+tx= t(x+x+x+...+x) cioè l'automorfismo risulta essere della forma suddetta, pertanto posso affermare che vi sono esattamente p-1 automorfismi.
Inoltre osservavo che se G non fosse di ordine primo p ma di ordine n non primo , so da un elementare teorema che avrà un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine di G, quindi il nucleo di tale omomorfismo sarà costituito dal solo elemento neutro quando per t che varia nell'insieme (1,2,3,...n-1) si ha (t,n)=1 cioè quando t ed n sono coprimi.In questo caso tx risulterà essere infatti generatore, quindi avrò esattamente tanti automorfismi quanti sono gli elementi coprimi con n cioè la funzione di eulero. Riassumendo applicando la funzione di eulero all'ordine n generico di un gruppo G finito otterrò il numero degli automorfismi del gruppo in questione.Vorrei un giudizio sull'esattezza o meno dell'esposto ,grazie.
[mod="Martino"]francicko, un paio di cose:
1. Ti chiedo di imparare ad usare le formule (clic) per scriverle in modo più chiaro, con il mathml oppure il tex. Non è difficile.
2. Se l'argomento di cui parli non c'entra col resto del filone devi aprirne uno nuovo, se no si va "OT". Quindi ti chiedo di aprire un nuovo argomento per parlare degli automorfismi dei gruppi di ordine primo.
Grazie.[/mod]
1. Ti chiedo di imparare ad usare le formule (clic) per scriverle in modo più chiaro, con il mathml oppure il tex. Non è difficile.
2. Se l'argomento di cui parli non c'entra col resto del filone devi aprirne uno nuovo, se no si va "OT". Quindi ti chiedo di aprire un nuovo argomento per parlare degli automorfismi dei gruppi di ordine primo.
Grazie.[/mod]
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