[Teoria degli insiemi] Paradosso di Russell
Come da titolo, sto riflettendo sul paradosso di Russell. Mi sono chiesto in particolare qual è il problema che origina questa antinomia e quali sono le sue conseguenze...
Sono un po' confuso e per questo motivo ho bisogno del vostro aiuto
Problema:
"Se qualcuno precisa una condizione (un predicato logico $P$) che permette di distinguere tra oggetti che la soddisfano e oggetti che non la soddisfano, allora l'insieme ${x : P(x)}$ è un insieme "ben definito"."
Questa supposizione è falsa, ed è ciò che permette a Russell di formulare l'antinomia.
Al contrario, dato un insieme $A$ e un predicato $P$, l'insieme ${x in A : P(x)}$ è "ben definito".
Conseguenze:
$(1)$ Prima di creare nuovi insiemi selezionando gli oggetti che soddisfano una determinata condizione dobbiamo avere un insieme. In altre parole:
"L'universo $U$ di tutti i possibili oggetti non può essere un insieme."
$(2)$ Per evitare il paradosso di Russell la teoria degli insiemi è stata "assiomatizzata" e, come conseguenza di alcuni assiomi, segue che:
"Un insieme non può appartenere a se stesso."
Mi piacerebbe sapere da voi se ho descritto correttamente il problema e le varie conseguenze, ma soprattutto se ho tralasciato qualcosa.
Grazie in anticipo e buona serata
Sono un po' confuso e per questo motivo ho bisogno del vostro aiuto
Problema:
"Se qualcuno precisa una condizione (un predicato logico $P$) che permette di distinguere tra oggetti che la soddisfano e oggetti che non la soddisfano, allora l'insieme ${x : P(x)}$ è un insieme "ben definito"."
Questa supposizione è falsa, ed è ciò che permette a Russell di formulare l'antinomia.
Al contrario, dato un insieme $A$ e un predicato $P$, l'insieme ${x in A : P(x)}$ è "ben definito".
Conseguenze:
$(1)$ Prima di creare nuovi insiemi selezionando gli oggetti che soddisfano una determinata condizione dobbiamo avere un insieme. In altre parole:
"L'universo $U$ di tutti i possibili oggetti non può essere un insieme."
$(2)$ Per evitare il paradosso di Russell la teoria degli insiemi è stata "assiomatizzata" e, come conseguenza di alcuni assiomi, segue che:
"Un insieme non può appartenere a se stesso."
Mi piacerebbe sapere da voi se ho descritto correttamente il problema e le varie conseguenze, ma soprattutto se ho tralasciato qualcosa.
Grazie in anticipo e buona serata
Risposte
sei in ZFC mi sembra di capire.
Se la memoria non mi inganna, oramai uso NBG da tempo, Russell con una serie di lettere fa osservare a Frege la contraddizione nella sua teoria degli insiemi, detta alcune volte "Teoria F", e Frege, da "buon matematico" (in veritá gli interessava fondare l aritmetica), fa finta di niente e pubblica lo stesso il suo lavoro scrivendo all inizio o fine, non ricordo, di quanto Russel gli aveva fatto osservare ringraziandolo anche.
Poi Zermelo e Fraenkel terranno conto del lavoro di Frege e del paradosso di Russel creando la teoria ZFC e l assioma a cui tu alludi creato ad hoc per evitare il paradosso (e questo dovresti mostrarlo formalmente!). E poi, mi spieghi come dimostri che scritto alla Frege il predicato di Russel in ZFC non genera un insieme quando non esiste una definizione di insieme che ti permetta di farlo (stessa cosa per l insieme universale), ammesso si possa scrivere un predicato in quel modo proprio in ZFC da usare lo schema d assiomi? Píu che altro e fare notare il paradosso o meno (nel senso logico del termine), sarebbe meglio che vedi giusto gli assiomi e le condizioni).
Piú in la nascerá la teoria NBG, quella che piú di tutti uso, in cui si distinguono insiemi e classi, e il paradosso di Russel non viene evitato o bypassato, anzi il predicato di Russel forma la "classe di Russel" (in onore a Bernard) che non é un insieme (e questo qui si puó dimostroare cosí come anche per la classe universale); in NBG ti basta che ogni predicato contenga solo insiemi come variabili legate (nel senso di quantificate) e le classi proprie devono eventualmente essere variabili libere (nel senso di non quantificate), se una "formuala" soddisfa queste caratteristiche allora dicesi "predicativa" in caso contrario "impredicativa" (nel senso di non predicativa); e nel caso dell impredicativitá (ammetto che é un termine abusato per definire quei predicati) non ci puoi fare niente all interno di quella assiomatica e non puoi applicare l assioma da avere una classe, ti rimane lí scritta da essere solo ammirata o in attesa che la rendi predicativa (stessi modi di dire, spero avrai capito, si usano in ZFC e F in base alle condizioni che deve avere una formula per applicare l assioma di esistenza, dato un predicato, di un insieme)
Al giorno d oggi esiste la Teorie MK, quella dove nelle formule é ammesso che che anche le classi proprie vengano quantificate, ma in merito non so tanto purtroppo...
PS=morale, detto cosí naive potrebbe andare bene per il primo punto, per il secondo punto o lo eviti proprio bypassandolo col discorsi di formule predicative o meno oppure devi vedere un po meglio gli assiomi per capirlo... ti consiglio una lettura almeno per le prima pagine per quanto a te interessa "C. Marchini: La teoria alternativa degli insiemi sue ragioni e confronto con teorie classiche - 1990" (sul suo sito dovresti trovare anche ottime slides sui fondamenti della matematica, o almeno tanti anni fa ricordo che vi erano, eventualmente posso vedere se ho ancora la sua mail con gli allegati e te li mando in PM)
Se la memoria non mi inganna, oramai uso NBG da tempo, Russell con una serie di lettere fa osservare a Frege la contraddizione nella sua teoria degli insiemi, detta alcune volte "Teoria F", e Frege, da "buon matematico" (in veritá gli interessava fondare l aritmetica), fa finta di niente e pubblica lo stesso il suo lavoro scrivendo all inizio o fine, non ricordo, di quanto Russel gli aveva fatto osservare ringraziandolo anche.
Poi Zermelo e Fraenkel terranno conto del lavoro di Frege e del paradosso di Russel creando la teoria ZFC e l assioma a cui tu alludi creato ad hoc per evitare il paradosso (e questo dovresti mostrarlo formalmente!). E poi, mi spieghi come dimostri che scritto alla Frege il predicato di Russel in ZFC non genera un insieme quando non esiste una definizione di insieme che ti permetta di farlo (stessa cosa per l insieme universale), ammesso si possa scrivere un predicato in quel modo proprio in ZFC da usare lo schema d assiomi? Píu che altro e fare notare il paradosso o meno (nel senso logico del termine), sarebbe meglio che vedi giusto gli assiomi e le condizioni).
Piú in la nascerá la teoria NBG, quella che piú di tutti uso, in cui si distinguono insiemi e classi, e il paradosso di Russel non viene evitato o bypassato, anzi il predicato di Russel forma la "classe di Russel" (in onore a Bernard) che non é un insieme (e questo qui si puó dimostroare cosí come anche per la classe universale); in NBG ti basta che ogni predicato contenga solo insiemi come variabili legate (nel senso di quantificate) e le classi proprie devono eventualmente essere variabili libere (nel senso di non quantificate), se una "formuala" soddisfa queste caratteristiche allora dicesi "predicativa" in caso contrario "impredicativa" (nel senso di non predicativa); e nel caso dell impredicativitá (ammetto che é un termine abusato per definire quei predicati) non ci puoi fare niente all interno di quella assiomatica e non puoi applicare l assioma da avere una classe, ti rimane lí scritta da essere solo ammirata o in attesa che la rendi predicativa (stessi modi di dire, spero avrai capito, si usano in ZFC e F in base alle condizioni che deve avere una formula per applicare l assioma di esistenza, dato un predicato, di un insieme)
Al giorno d oggi esiste la Teorie MK, quella dove nelle formule é ammesso che che anche le classi proprie vengano quantificate, ma in merito non so tanto purtroppo...
PS=morale, detto cosí naive potrebbe andare bene per il primo punto, per il secondo punto o lo eviti proprio bypassandolo col discorsi di formule predicative o meno oppure devi vedere un po meglio gli assiomi per capirlo... ti consiglio una lettura almeno per le prima pagine per quanto a te interessa "C. Marchini: La teoria alternativa degli insiemi sue ragioni e confronto con teorie classiche - 1990" (sul suo sito dovresti trovare anche ottime slides sui fondamenti della matematica, o almeno tanti anni fa ricordo che vi erano, eventualmente posso vedere se ho ancora la sua mail con gli allegati e te li mando in PM)
Prima di tutto ti ringrazio per avermi risposto
Diciamo che sto passando dalla teoria ingenua degli insiemi a quella assiomatica... Il paradosso di Russell lo vedo come "il mezzo" per passare da una teoria all'altra, dato che è ciò che ha effettivamente messo in crisi la teoria di Cantor.
Proprio per questo motivo avevo posto la domanda; volevo capire se avevo davvero colto i fatti più importanti che si possono trarre dall'antinomia.
Dalla tua risposta mi sembra di capire che non ho tralasciato nulla, vero?
Interessante, avevo capito che esistevano più teorie assiomatiche degli insiemi, ma pensavo che ZFC fosse "la migliore".
Non appena trovo cinque minuti liberi nella mia giornata, mi butto su questa lettura
"garnak.olegovitc":
sei in ZFC mi sembra di capire.
Diciamo che sto passando dalla teoria ingenua degli insiemi a quella assiomatica... Il paradosso di Russell lo vedo come "il mezzo" per passare da una teoria all'altra, dato che è ciò che ha effettivamente messo in crisi la teoria di Cantor.
Proprio per questo motivo avevo posto la domanda; volevo capire se avevo davvero colto i fatti più importanti che si possono trarre dall'antinomia.
Dalla tua risposta mi sembra di capire che non ho tralasciato nulla, vero?
"garnak.olegovitc":
Piú in la nascerá la teoria NBG, quella che piú di tutti uso
Interessante, avevo capito che esistevano più teorie assiomatiche degli insiemi, ma pensavo che ZFC fosse "la migliore".
"garnak.olegovitc":
ti consiglio una lettura almeno per le prima pagine per quanto a te interessa "C. Marchini: La teoria alternativa degli insiemi sue ragioni e confronto con teorie classiche - 1990"
Non appena trovo cinque minuti liberi nella mia giornata, mi butto su questa lettura
"foo":
Prima di tutto ti ringrazio per avermi risposto
[quote="garnak.olegovitc"]sei in ZFC mi sembra di capire.
Diciamo che sto passando dalla teoria ingenua degli insiemi a quella assiomatica... Il paradosso di Russell lo vedo come "il mezzo" per passare da una teoria all'altra, dato che è ciò che ha effettivamente messo in crisi la teoria di Cantor.[/quote] vedila cosí, scegli l assiomatica migliore che meglio si avvicina a quella ingenua in termini di semplicitá anche nelle dimostrazioni (in fin dei conto Frege non aveva torto, gli bastava dire parlare di classi e insiemi e la sua teoria potrebbe funzionare ingenuamente)
"foo":se leggi quel piccolo articoletto non potrai tralasciare piú nulla...
Dalla tua risposta mi sembra di capire che non ho tralasciato nulla, vero?
"foo":la ZFC non é assolutamente la migliore, mi sento di dire che oramai si segue la tradizione o la non "impredicativitá" o la paura di "paradossi" che si usa ZFC, ma credimi che certe cose sono davvero difficili a scovarle e dimostrarle soprattutto la definizione fondazionale a mo di insieme di numeri cardinali ma anche le semplici dimostrazioni come hai notato con altri post che riguardano la differenza insiemistica (in NBG te ne liberi con le sole definizioni e de morgan, mentre in ZFC devi passare per altre proprietá non tanto immediate)...
Interessante, avevo capito che esistevano più teorie assiomatiche degli insiemi, ma pensavo che ZFC fosse "la migliore".
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