Teoremi di Sylow
Qualcuno mi può aiutare per questo problema:
Dimostrare che un gruppo di ordine 108 ha un sottogruppo normale di ordine 9 o 27.
Applicando i Teoremi di Sylow sono riuscito solo a stabilire che ci possono essere 1 o 4 3-sottogruppi di Sylow (di ordine 27) e 1 o 3 o 9 o 27 2-sottogruppi di Sylow (di ordine 4) ma non riesco a escludere che ci siano 4 3-sottogruppi di Sylow in modo da rendere normale l'unico rimanente e non riesco a trovare un sottogruppo normale di ordine 9.
Se qualcuno mi aiuta gliene sarei infinitamente grato.
Dimostrare che un gruppo di ordine 108 ha un sottogruppo normale di ordine 9 o 27.
Applicando i Teoremi di Sylow sono riuscito solo a stabilire che ci possono essere 1 o 4 3-sottogruppi di Sylow (di ordine 27) e 1 o 3 o 9 o 27 2-sottogruppi di Sylow (di ordine 4) ma non riesco a escludere che ci siano 4 3-sottogruppi di Sylow in modo da rendere normale l'unico rimanente e non riesco a trovare un sottogruppo normale di ordine 9.
Se qualcuno mi aiuta gliene sarei infinitamente grato.
Risposte
Ciao, benvenuto nel forum.
"maxsiviero":Quando i 3-Sylow sono 4 prova a considerare la loro intersezione.
non riesco a escludere che ci siano 4 3-sottogruppi di Sylow in modo da rendere normale l'unico rimanente e non riesco a trovare un sottogruppo normale di ordine 9.
"Martino":Quando i 3-Sylow sono 4 prova a considerare la loro intersezione.[/quote]
Ciao, benvenuto nel forum.[quote="maxsiviero"]non riesco a escludere che ci siano 4 3-sottogruppi di Sylow in modo da rendere normale l'unico rimanente e non riesco a trovare un sottogruppo normale di ordine 9.
Ti ringrazio per il suggerimento ma non riesco ancora a procedere
Chiama [tex]G[/tex] il tuo gruppo di ordine 108 e chiama [tex]N[/tex] l'intersezione dei quattro 3-Sylow. Osserva che poiché i 3-Sylow sono a due a due coniugati si ha [tex]N \unlhd G[/tex]. E non dimentichiamo che l'ordine di [tex]N[/tex] è una potenza di 3 minore di 27, quindi [tex]|N| \in \{1,3,9\}[/tex] (e per concludere basta mostrare che [tex]|N|=9[/tex]). Ora se sai cos'è un'azione di un gruppo, ti conviene considerare l'azione di [tex]G[/tex] sull'insieme dei (quattro) laterali destri di un fissato 3-Sylow per moltiplicazione a destra.
"maxsiviero":Quando i 3-Sylow sono 4 prova a considerare la loro intersezione.[/quote]
[quote="Martino"]Ciao, benvenuto nel forum.[quote="maxsiviero"]non riesco a escludere che ci siano 4 3-sottogruppi di Sylow in modo da rendere normale l'unico rimanente e non riesco a trovare un sottogruppo normale di ordine 9.
Ti ringrazio per il suggerimento ma non riesco ancora a procedere[/quote]
Ho trovato, se c'è un solo 3-Sylow esso è normale ed ha ordine 27. Se invece ce ne sono 4, considero l'intersezione di due tra questi e vedo che tale intersezione può avere ordine 1, 3, 9 o 27. Andando per esclusione trovo che l'unico ordine possibile è 9 e che tale intersezione è normale poiché il suo normalizzatore coincide con il gruppo G.
Se vuoi riporto tutti i passaggi.
E' giusto?
"maxsiviero":Sì, l'idea è quella!
E' giusto?
Prova a riportare i passaggi, così vediamo.
"Martino":Sì, l'idea è quella!
[quote="maxsiviero"]E' giusto?
Prova a riportare i passaggi, così vediamo.[/quote]
Siano $n_3$ e $n_2$ il numero dei 3-sottogruppi di Sylow e dei 2-sottogruppi di Sylow rispettivamente. Il III Teorema di Sylow dice che ci sono le seguenti possibilità: $n_3=1, 4$ e $n_2=1, 3, 9, 27$. Concentriamoci sui 3-sottogruppi di Sylow. Se ce ne fosse uno solo esso sarebbe normale in quanto unico nel suo ordine. Supponiamo allora che ce ne siano 4 e scegliamone 2 che chiamiamo $H_1$ e $H_2$. Essi hanno ordine 27. Consideriamo la loro intersezione $H_1\cap H_2$, l'ordine di tale sottogruppo deve dividere 27 (Teorema di Lagrange) e le possibilità sono dunque: $o(H_1\cap H_2)=1, 3, 9, 27$. Se $o(H_1\cap H_2)=27$ avremo $o(H_1\cap H_2)=o(H_1)=o(H_2)\Rightarrow H_1=H_1\cap H_2=H_2$ che è una contraddizione dato che si tratta di sottogruppi distinti. Se invece $o(H_1\cap H_2)=9$ avremmo che $H_1\cap H_2$ sarebbe normale in $H_1$ e in $H_2$ in quanto il suo ordine è un quadrato di un numero primo. Ma sappiamo che il normalizzatore $N(H_1\cap H_2)$ è il più grande sottogruppo in cui $H_1\cap H_2$ \`e normale. Quindi avremo $H_1, H_2\subseteq N(H_1\cap H_2) \Rightarrow H_1H_2\subseteq N(H_1\cap H_2)\subseteq G$. Abbiamo inoltre che $o(H_1H_2)=\frac{o(H_1)o(H_2)}{o(H_1\cap H_2)}=\frac{27*27}{9}=81 \Rightarrow o(N(H_1\cap H_2))\geq 81$ e $o(N(H_1\cap H_2))\vert o(G)=108 \Rightarrow o(N(H_1\cap H_2))=108 = o(G) \Rightarrow$ $N(H_1\cap H_2)=G$ quindi $H_1\cap H_2$ è normale in $G$ (poiché il suo normalizzatore coincide con $G$) ed ha ordine 9. Se fosse invece $o(H_1\cap H_2)=3$ allora $H_1\cap H_2$ sarebbe un sottogruppo proprio di $H_1$ e $H_2$ con $o(H_1H_2)=\frac {o(H_1)o(H_2)}{o(H_1\cap H_2)}=\frac {27\cdot 27}{3}=\frac {729}{3}=243 > o(G)$ assurdo. Se fosse infine $o(H_1\cap H_2)=1$ avremmo $o(H_1H_2)=\frac {o(H_1)o(H_2)}{o(H_1\cap H_2)}=\frac {27 \cdot 27}{1}=729 < o(G)$ assurdo. Abbiamo così dimostrato che se c'è solo un 3-sottogruppo di Sylow esso è normale di ordine 27 e se ce ne sono invece 4 avremo che l'intersezione di due tra loro è normale di ordine 9.[tex]
Non ho capito invece come potevo utilizzare l'azione di gruppo
"maxsiviero":Puoi chiarire meglio questo punto?
Se invece $o(H_1\cap H_2)=9$ avremmo che $H_1\cap H_2$ sarebbe normale in $H_1$ e in $H_2$ in quanto il suo ordine è un quadrato di un numero primo.
"Martino":Puoi chiarire meglio questo punto?[/quote]
[quote="maxsiviero"]Se invece $o(H_1\cap H_2)=9$ avremmo che $H_1\cap H_2$ sarebbe normale in $H_1$ e in $H_2$ in quanto il suo ordine è un quadrato di un numero primo.
Può avere senso dire che essendo $o(H_1\cap H_2)=3^{2}$ esso è abeliano e quindi considerando i laterali abbiamo che $a\cdot (H_1\cap H_2)=(H_1\cap H_2)\cdot a$ e quindi laterali destri e sinistri coincidono e quindi $H_1\cap H_2$ è normale?
"maxsiviero":No, un sottogruppo abeliano può benissimo non essere normale (p. es. i 2-Sylow di $S_3$).
Può avere senso dire che essendo $o(H_1\cap H_2)=3^{2}$ esso è abeliano e quindi considerando i laterali abbiamo che $a\cdot (H_1\cap H_2)=(H_1\cap H_2)\cdot a$ e quindi laterali destri e sinistri coincidono e quindi $H_1\cap H_2$ è normale?
"Martino":No, un sottogruppo abeliano può benissimo non essere normale (p. es. i 2-Sylow di $S_3$).[/quote]
[quote="maxsiviero"]Può avere senso dire che essendo $o(H_1\cap H_2)=3^{2}$ esso è abeliano e quindi considerando i laterali abbiamo che $a\cdot (H_1\cap H_2)=(H_1\cap H_2)\cdot a$ e quindi laterali destri e sinistri coincidono e quindi $H_1\cap H_2$ è normale?
Eppure non so da dove mi viene questa intuizione ma mi sembra corretta. O mi sbaglio?
"maxsiviero":E' vero che $H_1 nn H_2$ è normale in $H_1$ e in $H_2$, ma l'argomento che hai usato per dimostrarlo non va bene.
Eppure non so da dove mi viene questa intuizione ma mi sembra corretta. O mi sbaglio?
Secondo me è più facile se anziché $H_1 nn H_2$ consideri $H_1 nn H_2 nn H_3 nn H_4$.
Mi è venuto: non è forse vero che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale?
"maxsiviero":Sì, se $G$ è abeliano allora ogni sottogruppo di $G$ è normale in $G$.
Mi è venuto: non è forse vero che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale?
"Martino":Sì, se $G$ è abeliano allora ogni sottogruppo di $G$ è normale in $G$.[/quote]
[quote="maxsiviero"]Mi è venuto: non è forse vero che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale?
Quindi visto che un gruppo che ha come ordine il quadrato di un numero primo è abeliano (si può dimostrarlo facendo vedere che un gruppo di ordine $p^{2}$ con $p$ numero primo, coincide con il suo centro), tornando al mio caso, abbiamo che $o(H_1\cap H_2)=3^{2}$ ed i suoi sottogruppi propri e impropri sono normali. Che ne dici?
"maxsiviero":Sono normali in $H_1 nn H_2$ ma non in $H_1$, e neanche in $H_2$ (in generale).
abbiamo che $o(H_1\cap H_2)=3^{2}$ ed i suoi sottogruppi propri e impropri sono normali. Che ne dici?
Ricorda il mio controesempio: i 2-Sylow di $S_3$ sono abeliani ma non sono normali in $S_3$.
Nota bene: mentre l'abelianità è una proprietà "assoluta" di un gruppo, la normalità è "relativa" a un altro gruppo. Se hai due sottogruppi H e K di un gruppo G con $H le K$ può succedere che H sia normale in K ma non in G.
"Martino":Sono normali in $H_1 nn H_2$ ma non in $H_1$, e neanche in $H_2$ (in generale).
[quote="maxsiviero"]abbiamo che $o(H_1\cap H_2)=3^{2}$ ed i suoi sottogruppi propri e impropri sono normali. Che ne dici?
Ricorda il mio controesempio: i 2-Sylow di $S_3$ sono abeliani ma non sono normali in $S_3$.
Nota bene: mentre l'abelianità è una proprietà "assoluta" di un gruppo, la normalità è "relativa" a un altro gruppo. Se hai due sottogruppi H e K di un gruppo G con $H le K$ può succedere che H sia normale in K ma non in G.[/quote]
Mi arrendo, eppure mi sembrava funzionasse. Qual è il tuo suggerimento?
Vediamo di procedere con una strada un po' diversa... Ma solo poco. Su questo forum ho usato una dimostrazione simile recentemente per i gruppi di ordine 48...
Supponiamo che ci siano [tex]4[/tex] [tex]3[/tex]-Sylow. Siano [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex] due di essi. L'insieme [tex]S_1S_2[/tex] ha cardinalità [tex]\frac{|S_1||S_2|}{|S_1\cap S_2|}[/tex]. Sia [tex]|S_1\cap S_2|=3^r[/tex] allora [tex]3^6 = 3^33^3 \le |G|3^r = 3^{r+3}4[/tex]. Quindi [tex]r\le 2[/tex], d'altra parte esso è minore di [tex]3[/tex] e quindi [tex]r=2[/tex]. Quindi abbiamo che [tex]|S_1\cap S_2|=3^2 = 9[/tex].
Supponiamo che [tex]T=|S_1\cap S_2|[/tex] sia normale in [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex] (è vero ma la dimostrazione del perché lo è richiede un po' di spazio e non voglio distoglierlo dalla dimostrazione centrale). Quindi sia [tex]S_1[/tex] che [tex]S_2[/tex] sono sottogruppi di [tex]N_G(T)[/tex]. Quindi [tex]H=\langle S_1, S_2\rangle[/tex] è un sottogruppo di [tex]N_G(T)[/tex] e [tex]T[/tex] è normale in [tex]H[/tex]. Siccome [tex]H[/tex] è un sottogruppo esso contiene [tex]S_1S_2[/tex] e quindi [tex]|H|\ge |S_1S_2| = 3^6/3^2 = 3^4 = 3/4|G|[/tex] e quindi [tex]H=G[/tex] e [tex]T[/tex] è normale in [tex]G[/tex].
Ora bisogna dimostrare la normalità di [tex]T[/tex] in [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex]. Per la dimostrazione puoi far riferimento a questo risultato http://planetmath.org/encyclopedia/Norm ... Index.html anche se probabilmente puoi trovare altri modi più semplici data la particolare struttura dei p-gruppi.
Supponiamo che ci siano [tex]4[/tex] [tex]3[/tex]-Sylow. Siano [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex] due di essi. L'insieme [tex]S_1S_2[/tex] ha cardinalità [tex]\frac{|S_1||S_2|}{|S_1\cap S_2|}[/tex]. Sia [tex]|S_1\cap S_2|=3^r[/tex] allora [tex]3^6 = 3^33^3 \le |G|3^r = 3^{r+3}4[/tex]. Quindi [tex]r\le 2[/tex], d'altra parte esso è minore di [tex]3[/tex] e quindi [tex]r=2[/tex]. Quindi abbiamo che [tex]|S_1\cap S_2|=3^2 = 9[/tex].
Supponiamo che [tex]T=|S_1\cap S_2|[/tex] sia normale in [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex] (è vero ma la dimostrazione del perché lo è richiede un po' di spazio e non voglio distoglierlo dalla dimostrazione centrale). Quindi sia [tex]S_1[/tex] che [tex]S_2[/tex] sono sottogruppi di [tex]N_G(T)[/tex]. Quindi [tex]H=\langle S_1, S_2\rangle[/tex] è un sottogruppo di [tex]N_G(T)[/tex] e [tex]T[/tex] è normale in [tex]H[/tex]. Siccome [tex]H[/tex] è un sottogruppo esso contiene [tex]S_1S_2[/tex] e quindi [tex]|H|\ge |S_1S_2| = 3^6/3^2 = 3^4 = 3/4|G|[/tex] e quindi [tex]H=G[/tex] e [tex]T[/tex] è normale in [tex]G[/tex].
Ora bisogna dimostrare la normalità di [tex]T[/tex] in [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex]. Per la dimostrazione puoi far riferimento a questo risultato http://planetmath.org/encyclopedia/Norm ... Index.html anche se probabilmente puoi trovare altri modi più semplici data la particolare struttura dei p-gruppi.
"vict85":
Ora bisogna dimostrare la normalità di [tex]T[/tex] in [tex]S_1[/tex] e [tex]S_2[/tex]. Per la dimostrazione puoi far riferimento a questo risultato http://planetmath.org/encyclopedia/Norm ... Index.html anche se probabilmente puoi trovare altri modi più semplici data la particolare struttura dei p-gruppi.
Ti ringrazio per la dimostrazione. Sono andato a vedere il link che mi hai consigliato. In effetti è un po' complicato. Mi piacerebbe trovare un modo un po' più semplice. Grazie ancora!!
La questione è molto semplice.
Sia $N$ l'intersezione dei quattro 3-Sylow di $G$. $G$ agisce sui quattro laterali destri di un fissato 3-Sylow $H$ per moltiplicazione a destra, e succede che il nucleo di questa azione è proprio $N$. Ricordiamo che $N$ è un 3-gruppo e $|N| in {1,3,9}$. L'azione descritta determina un omomorfismo iniettivo $G//N to S_4$, e questo ha delle conseguenze decisive.
Sia $N$ l'intersezione dei quattro 3-Sylow di $G$. $G$ agisce sui quattro laterali destri di un fissato 3-Sylow $H$ per moltiplicazione a destra, e succede che il nucleo di questa azione è proprio $N$. Ricordiamo che $N$ è un 3-gruppo e $|N| in {1,3,9}$. L'azione descritta determina un omomorfismo iniettivo $G//N to S_4$, e questo ha delle conseguenze decisive.
"Martino":
La questione è molto semplice.
Sia $N$ l'intersezione dei quattro 3-Sylow di $G$. $G$ agisce sui quattro laterali destri di un fissato 3-Sylow $H$ per moltiplicazione a destra, e succede che il nucleo di questa azione è proprio $N$. Ricordiamo che $N$ è un 3-gruppo e $|N| in {1,3,9}$. L'azione descritta determina un omomorfismo iniettivo $G//N to S_4$, e questo ha delle conseguenze decisive.
Purtroppo non ho molta dimestichezza con le azioni di un gruppo su di un insieme. Me le devo rivedere con più attenzione
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