Teoremi di Sylow

[poncelet]

Qualcuno mi può aiutare per questo problema:
Dimostrare che un gruppo di ordine 108 ha un sottogruppo normale di ordine 9 o 27.

Applicando i Teoremi di Sylow sono riuscito solo a stabilire che ci possono essere 1 o 4 3-sottogruppi di Sylow (di ordine 27) e 1 o 3 o 9 o 27 2-sottogruppi di Sylow (di ordine 4) ma non riesco a escludere che ci siano 4 3-sottogruppi di Sylow in modo da rendere normale l'unico rimanente e non riesco a trovare un sottogruppo normale di ordine 9.

Se qualcuno mi aiuta gliene sarei infinitamente grato.

[Studente Anonimo]

Purtroppo non ho molta dimestichezza con le azioni di un gruppo su di un insieme. Me le devo rivedere con più attenzione

Secondo me ne vale la pena, risolvono un sacco di problemi senza sforzo.

Per dimostrare che se $G$ è un $p$-gruppo finito ogni sottogruppo di indice $p$ è normale si può procedere così: se $H le G$ ha indice $p$ e contiene elementi centrali (cioè appartenenti al centro di $G$) non banali (ne esistono, dato che $G$ è un $p$-gruppo finito) allora detto $g in H$ un elemento centrale si può procedere per induzione su $|G|$ osservando che se $H//$ è normale in $G//$ allora $H$ è normale in $G$. Altrimenti $H$ non contiene elementi centrali non banali, quindi detto $g in G$ un elemento centrale non banale si ha $G=H$ ($H$ è massimale: ha indice $p$) e quindi $H$ è normale in $G$.

[poncelet]

"Martino":[quote="maxsiviero"]Se invece $o(H_1\cap H_2)=9$ avremmo che $H_1\cap H_2$ sarebbe normale in $H_1$ e in $H_2$ in quanto il suo ordine è un quadrato di un numero primo.

Puoi chiarire meglio questo punto?[/quote]

Studiando ho trovato un teorema che dovrebbe giustificare il metodo che ho usato:

Sia $G$ un gruppo finito e sia $p$ il più piccolo divisore primo dell'ordine di $G$. Sia $H$ un sottogruppo di $G$ di indice $p$, allora $H$ è normale in $G$.

La dimostrazione utilizza l'azione per moltiplicazione a sinistra sull'insieme dei laterali sinistri di $H$ ed il I Teorema di Isomorfismo.

Come corollario abbiamo che in un gruppo finito di ordine $p^{n}$ con $p$ numero primo ed $n\geq 1$, ogni sottogruppo di indice $p$ è normale.

Ed il mio caso è proprio quello a cui si riferisce tale corollario.

[Studente Anonimo]

Certo, ma era più economico pensare alle azioni come ti ho segnalato qualche intervento fa...

[poncelet]

"Martino":Certo, ma era più economico pensare alle azioni come ti ho segnalato qualche intervento fa...

Mi sa che dovrò studiarmele per bene. Grazie comunque per il suggerimento.