Teoremi di isomorfismo tra anelli

[Teschio4]

Qualcuno potrebbe spiegarmi questi due teoremi. Le dimostrazioni le ho capite ma non comprendo la loro importanza e utilità. Non riesco proprio a figurarmeli... un aiutino?

Siano I,J ideali dell'anello A allora sussiste l'isomorfismo tra anelli quozienti:

\[\frac{I+J}{I} \cong \frac{J}{I\cap J}\]

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sia I contenuto in J a sua volta contenuto nell'anello A (con I e J ideali di A) allora i seguenti anelli quozienti sono isomorfi:
\[\frac{A/I}{J/I}\cong \frac{A}{J}\]

Grazie per l'aiuto

[killing_buddha]

Il secondo vuol dire che gli ideali si comportano come frazioni quando dividi due quozienti. Credo che la prima intuizione di questo comportamento fu di Emmy Noether.
Il primo è un po' più fideistico: se hai la somma di due ideali, e quozienti per uno dei due, moralmente il risultato della frazione dovrebbe essere $J/I$; del resto per fare un quoziente il denominatore deve essere una sotto-struttura del numeratore; il modo migliore di renderla tale è considerare $J\cap I$.

Riguardo al significato di una costruzione matematica vale la solita regola: è importante quello che usi spesso e che usi per dimostrare degli altri risultati. E queste due cose fanno parte del calcolo elementare con gli ideali che si usa praticamente dappertutto.