Tavola degli opposti e degli inversi in $ZZ_7$
salve,
per favore sapreste spiegarmi qual è il procedimento per ottenere
una tavola degli inversi ed una tavola degli opposti in $ZZ_7$?
si tratterà sicuramente di ragionare in termini di congruenza modulo 7
ma in che modo?
mille grazie.
per favore sapreste spiegarmi qual è il procedimento per ottenere
una tavola degli inversi ed una tavola degli opposti in $ZZ_7$?
si tratterà sicuramente di ragionare in termini di congruenza modulo 7
ma in che modo?
mille grazie.
Risposte
[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione.[/mod]
Esatto.
Per ogni $n\in ZZ$ denotiamo con $bar{n}$ la classe di equivalenza di $n$ modulo $7$.
Dato un elemento $\bar{n}$ in $ZZ_7$, il suo opposto è l'elemento $\bar{m}\in ZZ_7$ tale che $bar{n}+bar{m}=\bar{0}$.
Per esempio, l'opposto di $\bar{3}$ è $\bar{4}$, perchè $\bar{3}+\bar{4}=\bar{0}$ (ricorda che $bar{0}=\bar{7}$ perchè $0$ e $7$ sono congrui modulo $7$).
Prova a calcolare l'opposto di ogni elemento di $ZZ_7$ e a postare qui i tuoi ragionamenti ed eventualmente i tuoi risultati. Sarò lieto di controllarli.
Per quanto riguarda l'inverso, il discorso è analogo. Dato un elemento $\bar{n}$ in $ZZ_7$, con $\bar{n}\ne\bar{0}$, il suo inverso è l'elemento $\bar{m}\in ZZ_7$ tale che $bar{n}\cdot bar{m}=\bar{1}$.
Per esempio, l'opposto di $\bar{3}$ è $\bar{5}$, perchè $\bar{3}\cdot\bar{5}=\bar{15}=\bar{1}$.
Anche in questo caso prova a calcolare l'inverso di ogni elemento di $ZZ_7\setminus\ \{\bar{0}\}$.
Per ogni $n\in ZZ$ denotiamo con $bar{n}$ la classe di equivalenza di $n$ modulo $7$.
Dato un elemento $\bar{n}$ in $ZZ_7$, il suo opposto è l'elemento $\bar{m}\in ZZ_7$ tale che $bar{n}+bar{m}=\bar{0}$.
Per esempio, l'opposto di $\bar{3}$ è $\bar{4}$, perchè $\bar{3}+\bar{4}=\bar{0}$ (ricorda che $bar{0}=\bar{7}$ perchè $0$ e $7$ sono congrui modulo $7$).
Prova a calcolare l'opposto di ogni elemento di $ZZ_7$ e a postare qui i tuoi ragionamenti ed eventualmente i tuoi risultati. Sarò lieto di controllarli.
Per quanto riguarda l'inverso, il discorso è analogo. Dato un elemento $\bar{n}$ in $ZZ_7$, con $\bar{n}\ne\bar{0}$, il suo inverso è l'elemento $\bar{m}\in ZZ_7$ tale che $bar{n}\cdot bar{m}=\bar{1}$.
Per esempio, l'opposto di $\bar{3}$ è $\bar{5}$, perchè $\bar{3}\cdot\bar{5}=\bar{15}=\bar{1}$.
Anche in questo caso prova a calcolare l'inverso di ogni elemento di $ZZ_7\setminus\ \{\bar{0}\}$.
ok ti ringrazio tantissimo!!
Allora vediamo un po'.... per quanto riguarda gli opposti in $ZZ_7$
$0=0$
$1=6$
$2=5$
$3=4$
$4=3$
$5=2$
$6=1$
praticamente dobbiamo trovare un numero che sommato al primo mi dia $7$
per esempio l'opposto di $3$ che è $4$
si potrebbe pensare come una congruenza di questo genere?
praticamente una somma di numeri che divisi per $7$ mi danno resto $0$. giusto?
$3+x -= 0 (mod 7)$
$x -= -3 (mod 7) \Rightarrow 7-3 = 4$
$x -= 4 (mod 7)$
Per quanto riguarda gli inversi in $ZZ_7$:
$1=1$
$2=4$
$3=5$
$4=2$
$5=3$
$6=6$
praticamente come detto sopra dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per il primo mi dia un risultato
che diviso 7 mi da resto 1.
per esempio l'inverso di 3, potremmo considerarlo come una congruenza di questo genere?
$3x -= 1 (mod 7)$
$7 = 3*2+1$
$x -= -2 (mod 7) \Rightarrow 7-2 = 5$
$x -= 5 (mod 7)$
è giusto pensarlo così?
inoltre mi chiedevo è giusto pensare di trovare l'opposto di -1 o comunque di un numero negativo in $ZZ_7$ ?
mille grazie ancora.
Allora vediamo un po'.... per quanto riguarda gli opposti in $ZZ_7$
$0=0$
$1=6$
$2=5$
$3=4$
$4=3$
$5=2$
$6=1$
praticamente dobbiamo trovare un numero che sommato al primo mi dia $7$
per esempio l'opposto di $3$ che è $4$
si potrebbe pensare come una congruenza di questo genere?
praticamente una somma di numeri che divisi per $7$ mi danno resto $0$. giusto?
$3+x -= 0 (mod 7)$
$x -= -3 (mod 7) \Rightarrow 7-3 = 4$
$x -= 4 (mod 7)$
Per quanto riguarda gli inversi in $ZZ_7$:
$1=1$
$2=4$
$3=5$
$4=2$
$5=3$
$6=6$
praticamente come detto sopra dobbiamo trovare un numero che moltiplicato per il primo mi dia un risultato
che diviso 7 mi da resto 1.
per esempio l'inverso di 3, potremmo considerarlo come una congruenza di questo genere?
$3x -= 1 (mod 7)$
$7 = 3*2+1$
$x -= -2 (mod 7) \Rightarrow 7-2 = 5$
$x -= 5 (mod 7)$
è giusto pensarlo così?
inoltre mi chiedevo è giusto pensare di trovare l'opposto di -1 o comunque di un numero negativo in $ZZ_7$ ?
mille grazie ancora.
quelli che hai segnato sono gli inversi in $U(ZZ_7)$ cioè tra gli elementi invertibili (appunto) di $ZZ_7$ che con l'usuale moltiplicazione formano un gruppo.
Ricorda che $ZZ_7$ è un quoziente, quindi puoi sempre vedere $-1$ (o un qualsiasi numero negativo) come appartenente ad una classe del quoziente. Facendo uso delle congruenza infatti si ha che $-1-=6mod7$, pertanto l'opposto di $-1$ sarà lo stesso di $6$.
EDIT: correzione mathML
Ricorda che $ZZ_7$ è un quoziente, quindi puoi sempre vedere $-1$ (o un qualsiasi numero negativo) come appartenente ad una classe del quoziente. Facendo uso delle congruenza infatti si ha che $-1-=6mod7$, pertanto l'opposto di $-1$ sarà lo stesso di $6$.
EDIT: correzione mathML
"mistake89":
Facendo uso delle congruenza infatti si ha che $-1=-6mod7$,
C'è un meno di troppo, come si deduce poi dal seguito. (ciao, a proposito
)
ehm hai ragione volevo fare il simbolo della congruenza, forse dovevo metterlo prima 
Correggo,grazie!
(ciao steven )
Correggo,grazie!(ciao steven
)
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