Suriettività funzione

[giulio013]

Salve avrei un dubbio su un esercizio su cui bisogna studiare la suriettività di una funzione

Sia $f$ l'applicazione $(a,b)$ appartenente $QxQ -> a(a+2b)$ appartenente $Q$
dire se suriettiva

applicando la definizione trovo che $a(a+2b) = y$ isolo la $a$ quindi $a = y/(a) - 2b$
isolo la $b$ quindi $b = (y-a)/(2)$

La funzione è suriettiva perché entrambi i risultati appartengono a Q?

[apatriarca]

Sinceramente non sono sicuro di aver capito il tuo esercizio/post. Suppongo che la domanda sia se \(f(a, b) = a\,(a + 2\,b)\) è suriettiva dove \(f \colon \mathbb Q \times \mathbb Q \to \mathbb Q\). Nella tua risposta stai quindi cercando di trovare se, dato un qualsiasi valore \(y \in \mathbb Q,\) esistono due valori \((a, b)\) per cui \(f(a, b) = y\).

Se è così, i tuoi passaggi non sono in effetti corretti. Hai infatti
\[ b = \frac{y/a - a}{2} \neq \frac{y - a}{2} \].
A questo punto puoi osservare che fissato un valore qualsiasi di \(a \neq 0,\) puoi risolvere l'equazione per \(b\). Per ogni \(a \neq 0\) hai quindi una coppia \((a, b)\) per cui \(f(a, b) = y\). La funzione è quindi suriettiva. Hai in effetti trovato che tutte le mappe \(f_a(b) = f(a, b)\) sono suriettive se \(a \neq 0\). Se \(a = 0\) l'immagine è ovviamente solo lo zero.