Strutture algebriche in natura
Vorrei proporre un post un pò diverso dal solito..
girovagando sul ueb ho scoperto (e sto tutt ora verificando
che le mosse possibili del cubo di rubik con la composizione formano un gruppo!! (non abeliano a mio parere, sto ancora cercando di verificare l' associatività..)
Perciò mi è venuta quest' idea... che ognuno scriva se ne ha in mente i più vari e svariati esempi presenti in "natura", ovvero che tocchiamo con mano tutti i giorni di gruppi o altre strutture algebriche, magari con anche più di una legge di composizione!! XD
Passo la palla e vediamo chi la prende.. magari qualcuno è anche disposto a trovare un sottogruppo normale del cubo rompicapo...
girovagando sul ueb ho scoperto (e sto tutt ora verificando
che le mosse possibili del cubo di rubik con la composizione formano un gruppo!! (non abeliano a mio parere, sto ancora cercando di verificare l' associatività..)Perciò mi è venuta quest' idea... che ognuno scriva se ne ha in mente i più vari e svariati esempi presenti in "natura", ovvero che tocchiamo con mano tutti i giorni di gruppi o altre strutture algebriche, magari con anche più di una legge di composizione!! XD
Passo la palla e vediamo chi la prende.. magari qualcuno è anche disposto a trovare un sottogruppo normale del cubo rompicapo...
Risposte
Certo, figurati che io un giorno mi sono messo a calcolare l'ordine di un certo movimento del cubo (mi pare fosse una rotazione in orizzontale seguita da una in verticale) ripetendolo continuamente fino a riottenere la situazione di partenza 
Un altro esempio secondo me molto bello è questo: l'insieme dei modi di appendere un quadro (rettangolare) su $n$ chiodi (usando un filo partendo dal vertice in alto a sinistra del quadro e finendo nel vertice in alto a destra) è il gruppo libero su $n$ generatori. L'elemento neutro corrisponde naturalmente alla situazione in cui il quadro non è appeso. Se avete voglia pensate al ruolo dei commutatori [tex][g,h] := ghg^{-1}h^{-1}[/tex] in questa situazione. Ricordando che sostituire uno dei generatori con l'elemento neutro è equivalente a togliere il rispettivo chiodo.
Il gioco del 15, poi. Supponiamo di prendere il gioco nella sua configurazione finale (tutti i numeri in ordine da 1 a 15 e spazio vuoto in basso a destra) e di scambiare il 14 col 15. Si può risolvere ora il gioco? L'insieme di tutti i movimenti (composizioni di scambi) è ovviamente un sottogruppo di [tex]S_{16}[/tex]. Lo scambio di 14 e 15 è una permutazione dispari, e non è difficile dimostrare che le permutazioni che lasciano lo spazio vuoto fissato sono pari. Quindi se 14 e 15 sono scambiati il gioco non si può risolvere.
Un esempio più complesso: wallpaper group. Consideriamo l'insieme di tutti i possibili tassellamenti di una superficie, e diciamo che due di essi sono equivalenti se i gruppi di isometrie che li lasciano fissi sono isomorfi (definizione ragionevole, basta pensarci qualche minuto). Allora modulo questa equivalenza ragionevole, i possibili tassellamenti del piano sono esattamente 17. L'analogo tridimensionale riguarda i cosiddetti "gruppi cristallografici", in questo caso è un po' come proporsi di classificare i fiocchi di neve
Un altro esempio secondo me molto bello è questo: l'insieme dei modi di appendere un quadro (rettangolare) su $n$ chiodi (usando un filo partendo dal vertice in alto a sinistra del quadro e finendo nel vertice in alto a destra) è il gruppo libero su $n$ generatori. L'elemento neutro corrisponde naturalmente alla situazione in cui il quadro non è appeso. Se avete voglia pensate al ruolo dei commutatori [tex][g,h] := ghg^{-1}h^{-1}[/tex] in questa situazione. Ricordando che sostituire uno dei generatori con l'elemento neutro è equivalente a togliere il rispettivo chiodo.
Il gioco del 15, poi. Supponiamo di prendere il gioco nella sua configurazione finale (tutti i numeri in ordine da 1 a 15 e spazio vuoto in basso a destra) e di scambiare il 14 col 15. Si può risolvere ora il gioco? L'insieme di tutti i movimenti (composizioni di scambi) è ovviamente un sottogruppo di [tex]S_{16}[/tex]. Lo scambio di 14 e 15 è una permutazione dispari, e non è difficile dimostrare che le permutazioni che lasciano lo spazio vuoto fissato sono pari. Quindi se 14 e 15 sono scambiati il gioco non si può risolvere.
Un esempio più complesso: wallpaper group. Consideriamo l'insieme di tutti i possibili tassellamenti di una superficie, e diciamo che due di essi sono equivalenti se i gruppi di isometrie che li lasciano fissi sono isomorfi (definizione ragionevole, basta pensarci qualche minuto). Allora modulo questa equivalenza ragionevole, i possibili tassellamenti del piano sono esattamente 17. L'analogo tridimensionale riguarda i cosiddetti "gruppi cristallografici", in questo caso è un po' come proporsi di classificare i fiocchi di neve
Puoi dare un'occhiata a questo: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... /rubik.pdf
Per quanto riguarda la questione dei giochi è stato creato un gioco basato sui gruppi sporadici.
Per quanto riguarda la questione dei giochi è stato creato un gioco basato sui gruppi sporadici.
"Martino":Aspetta aspetta, scusa Martino non riesco a capire quale sarebbe l'operazione in questo caso. Per la verità non riesco a capire bene proprio l'esempio... Il quadro può essere appeso a più di un chiodo?
Un altro esempio secondo me molto bello è questo: l'insieme dei modi di appendere un quadro (rettangolare) su $n$ chiodi (usando un filo partendo dal vertice in alto a sinistra del quadro e finendo nel vertice in alto a destra) è il gruppo libero su $n$ generatori. L'elemento neutro corrisponde naturalmente alla situazione in cui il quadro non è appeso. Se avete voglia pensate al ruolo dei commutatori [tex][g,h] := ghg^{-1}h^{-1}[/tex] in questa situazione. Ricordando che sostituire uno dei generatori con l'elemento neutro è equivalente a togliere il rispettivo chiodo.
Sì in effetti non sono stato chiarissimo, ma questa figura dovrebbe essere esplicativa 
Edit: ho modificato l'immagine, non era troppo chiara.
Edit: ho modificato l'immagine, non era troppo chiara.
"Martino":
Certo, figurati che io un giorno mi sono messo a calcolare l'ordine di un certo movimento del cubo (mi pare fosse una rotazione in orizzontale seguita da una in verticale) ripetendolo continuamente fino a riottenere la situazione di partenza
Un altro esempio secondo me molto bello è questo: l'insieme dei modi di appendere un quadro (rettangolare) su $n$ chiodi (usando un filo partendo dal vertice in alto a sinistra del quadro e finendo nel vertice in alto a destra) è il gruppo libero su $n$ generatori. L'elemento neutro corrisponde naturalmente alla situazione in cui il quadro non è appeso. Se avete voglia pensate al ruolo dei commutatori [tex][g,h] := ghg^{-1}h^{-1}[/tex] in questa situazione. Ricordando che sostituire uno dei generatori con l'elemento neutro è equivalente a togliere il rispettivo chiodo.
Il gioco del 15, poi. Supponiamo di prendere il gioco nella sua configurazione finale (tutti i numeri in ordine da 1 a 15 e spazio vuoto in basso a destra) e di scambiare il 14 col 15. Si può risolvere ora il gioco? L'insieme di tutti i movimenti (composizioni di scambi) è ovviamente un sottogruppo di [tex]S_{16}[/tex]. Lo scambio di 14 e 15 è una permutazione dispari, e non è difficile dimostrare che le permutazioni che lasciano lo spazio vuoto fissato sono pari. Quindi se 14 e 15 sono scambiati il gioco non si può risolvere.
Un esempio più complesso: wallpaper group. Consideriamo l'insieme di tutti i possibili tassellamenti di una superficie, e diciamo che due di essi sono equivalenti se i gruppi di isometrie che li lasciano fissi sono isomorfi (definizione ragionevole, basta pensarci qualche minuto). Allora modulo questa equivalenza ragionevole, i possibili tassellamenti del piano sono esattamente 17. L'analogo tridimensionale riguarda i cosiddetti "gruppi cristallografici", in questo caso è un po' come proporsi di classificare i fiocchi di neve
Martino potresti esplicitare per il primo e l' ultimo esempio qual' è l' insieme e qual' è la legge di composizione...??... soprattutto l' ultimo mi ha lasciato un pò perplesso... >_>
Inoltre tempo fa, quando ho sentito parlare per la prima volta di strutture algebriche, mi era venuto in mente un altro esempio:
immaginiamo di avere una tavolozza di colori, e questi colori possiamo mischiarli..
chiaramente se mischiamo un colore con un altro otteniamo un colore (chiusura)
inoltre è indifferente aggiungere prima il rosso al blu e poi il verde o prima il blu al verde e poi il rosso (associatività, circa)
ma nessun colore aggiunto ad un altro lascia il colore invariato (non abbiamo il colore "trasparente"),
dunque la nostra struttura algebrica è un semigruppo abeliano!!
"Hop Frog":Per quanto riguarda il quadro, ho risposto a dissonance con un'immagine. Per quanto riguarda i gruppi cristallografici, parliamo di gruppi di isometrie, quindi l'operazione è la composizione.
Martino potresti esplicitare per il primo e l' ultimo esempio qual' è l' insieme e qual' è la legge di composizione...??... soprattutto l' ultimo mi ha lasciato un pò perplesso... >_>
Inoltre tempo fa, quando ho sentito parlare per la prima volta di strutture algebriche, mi era venuto in mente un altro esempio:Sì, immaginando di avere a disposizione tutti i possibili colori, che ragionevolmente sono infiniti.
immaginiamo di avere una tavolozza di colori, e questi colori possiamo mischiarli..
chiaramente se mischiamo un colore con un altro otteniamo un colore (chiusura)
inoltre è indifferente aggiungere prima il rosso al blu e poi il verde o prima il blu al verde e poi il rosso (associatività, circa)
ma nessun colore aggiunto ad un altro lascia il colore invariato (non abbiamo il colore "trasparente"),
dunque la nostra struttura algebrica è un semigruppo abeliano!!
Ma non è così sorprendente trovare strutture algebriche in "natura": d'altronde ci siamo ispirati a quello che abbiamo intorno nell'inventare le strutture. Il primo esempio di struttura algebrica che mi hanno fatto è il seguente: prendiamo l'insieme {topo, gatto, cane, lupo} con l'operazione data dalla "legge del più forte", con l'ordine di forza dato da topo < gatto < cane < lupo. Per esempio gatto*cane = cane, lupo*gatto=lupo, eccetera. Quello che otteniamo è un monoide abeliano, l'elemento neutro essendo il topo.
Comunque ogni insieme di processi completamente reversibili (come i movimenti del cubo di Rubik) forma un gruppo con l'operazione di giustapposizione. Da questo fatto si possono dedurre un sacco di esempi di gruppi nella realtà.
"Martino":
Sì in effetti non sono stato chiarissimo, ma questa figura dovrebbe essere esplicativa
Solo un algebrista appenderebbe così un quadro...
Bello il disegno! Quindi l'operazione è, in ultima analisi, la giustapposizione di parole del gruppo libero, se capisco bene. Invece non riesco a capire l'interpretazione del commutatore che suggerisci tu. Ho pasticciato alcuni fogli con chiodi e fili che si avvolgono ma non vedo nessun pattern. Se hai tempo, daresti qualche altro spunto?
"gugo82":E a ragione!
Solo un algebrista appenderebbe così un quadro...
"dissonance":Il problema originale è questo: dati [tex]n[/tex] chiodi sul muro, come si può appendere un quadro (avvolgendo il filo sui chiodi) in modo tale che togliendo uno qualsiasi dei chiodi il quadro cada?
Invece non riesco a capire l'interpretazione del commutatore che suggerisci tu. Ho pasticciato alcuni fogli con chiodi e fili che si avvolgono ma non vedo nessun pattern. Se hai tempo, daresti qualche altro spunto?
Ora il ruolo del commutatore dovrebbe essere chiaro. Prova ad appendere il quadro su due chiodi usando [tex][a,b]=aba^{-1}b^{-1}[/tex] e togli uno dei due chiodi. La cosa bella è che questo argomento si può generalizzare!
Ho passato una decina di minuti a fare esperimenti con un elastico come filo e delle penne appoggiate al bordo del tavolo come chiodi. Effettivamente, con le configurazioni provenienti da un commutatore, togliendo una penna l'elastico cade a terra. Che spasso!
Non oso immaginare cosa avrà pensato chi mi ha visto, però!
Non oso immaginare cosa avrà pensato chi mi ha visto, però!
"dissonance":Ora che mi ci fai pensare non ho mai provato a fare l'esperimento
Ho passato una decina di minuti a fare esperimenti con un elastico come filo e delle penne appoggiate al bordo del tavolo come chiodi. Effettivamente, con le configurazioni provenienti da un commutatore, togliendo una penna l'elastico cade a terra. Che spasso!
Non oso immaginare cosa avrà pensato chi mi ha visto, però!A priori qualsiasi cosa concepibile, come davanti ad ogni evento accadibile
Riesumo questo post perché ritengo di avere qualcosa da dire che non è stato detto.
La domanda che ci si può porre è: determinare esplicitamente la famiglia di tutti gli avvolgimenti possibili con questa proprietà di "pessimizzare l'appesa" (facendo riferimento ad un titolo recente di discreto successo).
Per semplicità spiegherò il caso dei due chiodi, ma capirete subito che la generalizzazione a [tex]n[/tex] nodi è immediata e naturale. Siano [tex]P,Q \in \mathbb R^2[/tex] due punti; sia [tex]X_1 = \mathbb R^2 \setminus \{P\}[/tex], [tex]X_2 = \mathbb R^2 \setminus \{Q\}[/tex] e [tex]X = \mathbb R^2 \setminus \{P,Q\}[/tex]. Abbiamo due inclusioni naturali, [tex]X \subset X_1[/tex] e [tex]X \subset X_2[/tex]. Sia [tex]x_0 \in X[/tex] un punto qualsiasi (per semplicità vi consiglio di prendere il punto medio del segmento PQ); allora la funtorialità di [tex]\pi_1(-)[/tex] produce due mappe [tex]f_1 \colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(X_1,x_0)[/tex], [tex]f_2 \colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(X_2,x_0)[/tex]. Ora, dovrebbe essere ben noto che [tex]\pi_1(X,x_0) = \mathbb Z * \mathbb Z[/tex], il gruppo libero su due generatori, che chiamerò [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Si osservi che [tex]a[/tex] può essere fatto corrispondere ad un giro in senso orario intorno a [tex]P[/tex] e [tex]b[/tex] ad un giro in senso orario intorno a [tex]Q[/tex].
Allora è chiaro che la famiglia degli avvolgimenti con la proprietà di pessimizzare l'appesa è proprio [tex]\ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex]. In particolare, si ritrova che il commutatore va bene: infatti, [tex]f_1(b) = 0[/tex] e [tex]f_2(a) = 0[/tex], quindi [tex]f_1([a,b]) = f_2([a,b]) = 0[/tex], ossia [tex][a,b] \in \ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex]. Osservo infine che l'inclusione [tex]\langle [a,b] \rangle \subset \ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex] è stretta: [tex][a^n,b^n] \in \ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex], ma non è una potenza di [tex]aba^{-1}b^{-1}[/tex].
La domanda che ci si può porre è: determinare esplicitamente la famiglia di tutti gli avvolgimenti possibili con questa proprietà di "pessimizzare l'appesa" (facendo riferimento ad un titolo recente di discreto successo).
Per semplicità spiegherò il caso dei due chiodi, ma capirete subito che la generalizzazione a [tex]n[/tex] nodi è immediata e naturale. Siano [tex]P,Q \in \mathbb R^2[/tex] due punti; sia [tex]X_1 = \mathbb R^2 \setminus \{P\}[/tex], [tex]X_2 = \mathbb R^2 \setminus \{Q\}[/tex] e [tex]X = \mathbb R^2 \setminus \{P,Q\}[/tex]. Abbiamo due inclusioni naturali, [tex]X \subset X_1[/tex] e [tex]X \subset X_2[/tex]. Sia [tex]x_0 \in X[/tex] un punto qualsiasi (per semplicità vi consiglio di prendere il punto medio del segmento PQ); allora la funtorialità di [tex]\pi_1(-)[/tex] produce due mappe [tex]f_1 \colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(X_1,x_0)[/tex], [tex]f_2 \colon \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(X_2,x_0)[/tex]. Ora, dovrebbe essere ben noto che [tex]\pi_1(X,x_0) = \mathbb Z * \mathbb Z[/tex], il gruppo libero su due generatori, che chiamerò [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Si osservi che [tex]a[/tex] può essere fatto corrispondere ad un giro in senso orario intorno a [tex]P[/tex] e [tex]b[/tex] ad un giro in senso orario intorno a [tex]Q[/tex].
Allora è chiaro che la famiglia degli avvolgimenti con la proprietà di pessimizzare l'appesa è proprio [tex]\ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex]. In particolare, si ritrova che il commutatore va bene: infatti, [tex]f_1(b) = 0[/tex] e [tex]f_2(a) = 0[/tex], quindi [tex]f_1([a,b]) = f_2([a,b]) = 0[/tex], ossia [tex][a,b] \in \ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex]. Osservo infine che l'inclusione [tex]\langle [a,b] \rangle \subset \ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex] è stretta: [tex][a^n,b^n] \in \ker(f_1) \cap \ker(f_2)[/tex], ma non è una potenza di [tex]aba^{-1}b^{-1}[/tex].
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