Strutture algebriche
ciao a tutti!!!
sto trovando difficoltà con le strutture algebriche allora:
nell' insieme $QQ-{0}$ è definita l'operazione $omega$ ponendo $xomegay=1/3xy$ verificare se è un gruppo abeliano.
io ho iniziato in questo modo:
verifico se esiste la proprietà commutativa quindi:
$AA x,y in QQ-{0}$ $xomegay=yomegax$
ed è verificata infatti:
$xomegay=1/3xy=1/3yx=yomegax$
ora il problema l'ho incontro nella verifica dell'esistenza dell'elemento neutro:
$AA x in QQ-{0}$ $EEeinQQ-{0} t.c. xomegae=x$
$xomegae=1/3xe=x$ come procedo ora?
in un altro esercizio simile a questo l'operazione era definita così $omega:RR->RR$ $AA x,y in RR$ $xomegay=x+y-sqrt(5)$
qui l'elemento neutro sono riuscito a trovarlo e ho fatto così:
$xomegay=x+e-sqrt(5)=x$ $=>$ $e=sqrt(5)$ $sqrt(5)inRR$ quindi l'elemento neutro è proprio $sqrt(5)$
però nell'esercizio di prima incontro quel problema, spero che qualcuno riesca ad aiutami, nell'attesa vi ringrazio anticipatamente
sto trovando difficoltà con le strutture algebriche allora:
nell' insieme $QQ-{0}$ è definita l'operazione $omega$ ponendo $xomegay=1/3xy$ verificare se è un gruppo abeliano.
io ho iniziato in questo modo:
verifico se esiste la proprietà commutativa quindi:
$AA x,y in QQ-{0}$ $xomegay=yomegax$
ed è verificata infatti:
$xomegay=1/3xy=1/3yx=yomegax$
ora il problema l'ho incontro nella verifica dell'esistenza dell'elemento neutro:
$AA x in QQ-{0}$ $EEeinQQ-{0} t.c. xomegae=x$
$xomegae=1/3xe=x$ come procedo ora?
in un altro esercizio simile a questo l'operazione era definita così $omega:RR->RR$ $AA x,y in RR$ $xomegay=x+y-sqrt(5)$
qui l'elemento neutro sono riuscito a trovarlo e ho fatto così:
$xomegay=x+e-sqrt(5)=x$ $=>$ $e=sqrt(5)$ $sqrt(5)inRR$ quindi l'elemento neutro è proprio $sqrt(5)$
però nell'esercizio di prima incontro quel problema, spero che qualcuno riesca ad aiutami, nell'attesa vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Banalmente e brutalmente: i.e. risolvi in [tex]\mathbb{Q}[/tex] l'equazione [tex]\frac{1}{3}x e = x[/tex] ottenendo [tex]e=3[/tex].
EDIT. Corretta la svista segnalata da Martino: avevo sparato un [tex]e=\frac{1}{3}[/tex].
EDIT. Corretta la svista segnalata da Martino: avevo sparato un [tex]e=\frac{1}{3}[/tex].
"WiZaRd":Ottenendo $e=3$
Banalmente e brutalmente: i.e. risolvi in [tex]\mathbb{Q}[/tex] l'equazione [tex]\frac{1}{3}x e = x[/tex] ottenendo [tex]e=\frac{1}{3}[/tex].
grazie mille a tutti e due!
quindi risolvendo l'equazione risulta $e=3$ e dato che $3inQ-{0}$ l'elemento neutro esiste ed è proprio $3$.
grazie mille di nuovo
quindi risolvendo l'equazione risulta $e=3$ e dato che $3inQ-{0}$ l'elemento neutro esiste ed è proprio $3$.
grazie mille di nuovo
un'altra cosa sono riuscito a verificare anche l'esistenza dell'elemento simmetrico, ora come procedo per verificare la proprietà associativa?
devo dimostrare che $AA x,y,z in QQ-{1}$ $(x omega y)omega z=x omega(y omega z)$
quindi:
$(x omega y)=1/3xy$
$(x omega y)omega z=(1/3xy)omega z$
una volta arrivato qui come devo procedere?
devo dimostrare che $AA x,y,z in QQ-{1}$ $(x omega y)omega z=x omega(y omega z)$
quindi:
$(x omega y)=1/3xy$
$(x omega y)omega z=(1/3xy)omega z$
una volta arrivato qui come devo procedere?
"Martino":Ottenendo $e=3$
[quote="WiZaRd"]Banalmente e brutalmente: i.e. risolvi in [tex]\mathbb{Q}[/tex] l'equazione [tex]\frac{1}{3}x e = x[/tex] ottenendo [tex]e=\frac{1}{3}[/tex].
[/quote]Ovviamente.
E' che mi sto facendo incantare dal nuovo giocattolo messoci a disposizione da stan per scrivere le formule e mi è partito un frac di troppo, preso dall'entusiasmo.
Correggo.
Applicando la definizione di [tex]\omega[/tex] al RHS dell'ultima uguaglianza, per ottenere un prodotto in [tex]\mathbb{Q}[/tex], poi giocare col prodotto e tornare ad [tex]\omega[/tex].
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