Strutture
Mi sapreste fare l'esempio di una struttura algebrica che nn opossiede elento neutro? grazie
Risposte
$(NN-{0},+)$ ti soddisfa? 
(In $NN$ io, di solito, ci inserisco pure lo zero; gli algebristi di solito no e riservano il simbolo $NN$ per gli interi positivi ed $NN_0$ per gli interi non negativi... quindi se ti occupi di Algebra, può andare bene pure la scrittura $(NN,+)$.)
(In $NN$ io, di solito, ci inserisco pure lo zero; gli algebristi di solito no e riservano il simbolo $NN$ per gli interi positivi ed $NN_0$ per gli interi non negativi... quindi se ti occupi di Algebra, può andare bene pure la scrittura $(NN,+)$.)
Struttura algebrica: ({0,1},*), dove l'operazione * è così definita:
0*1 = 0,
1*0 = 1,
0*0 = 1,
1*1 = 0.
Questa struttura non ha elemento neutro perché:
- 0 non è neutro dato che 0*0 = 1;
- 1 non è neutro dato che 1*1 = 0.
Tra l'altro questa operazione non è nemmeno associativa perché (1*0)*0 = 1*0 = 1 e 1*(0*0) = 1*1 = 0.
A quanto ne so gli algebristi considerano lo zero un numero naturale. Pensa che io ero convinto che fossero i non-algebristi a non fare così
0*1 = 0,
1*0 = 1,
0*0 = 1,
1*1 = 0.
Questa struttura non ha elemento neutro perché:
- 0 non è neutro dato che 0*0 = 1;
- 1 non è neutro dato che 1*1 = 0.
Tra l'altro questa operazione non è nemmeno associativa perché (1*0)*0 = 1*0 = 1 e 1*(0*0) = 1*1 = 0.
"Gugo82":
In $NN$ io, di solito, ci inserisco pure lo zero; gli algebristi di solito no
A quanto ne so gli algebristi considerano lo zero un numero naturale. Pensa che io ero convinto che fossero i non-algebristi a non fare così
Altro esempio: in $ZZ$ considera l'operazione commutativa $x vee y = xy-1$. Se esistesse un elemento neutro, sia esso $e$, allora $e vee 1 = 1$, ovvero $e-1=1$, ovvero $e=2$. Ma 2 non è neutro perché $2 vee 2 = 4-1 = 3 ne 2$. L'operazione non è associativa perché $(x vee y) vee z = (xy-1)z-1 = xyz-z-1$ e $x vee (y vee z) = x vee (yz-1) = x(yz-1)-1 = xyz-x-1$.
Altro esempio: in $ZZ$ considera l'operazione $x vee y = x-y$. Tale operazione non è associativa né commutativa. Inoltre non ammette elemento neutro perché se $e$ è un elemento neutro allora da $e vee 1 = e-1$ segue $e=2$, ma $2 vee 2 = 0 ne 2$.
Altro esempio (associativo): in $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$), $x vee y = max(x,y)$. $vee$ è senz'altro associativa e commutativa. Ma $vee$ non ammette elemento neutro perché per ogni $x in ZZ$ si ha $x vee (x-1) = x ne x-1$. Ciò segue dal fatto che $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$) non ha minimo. Se avessi preso $NN$ l'elemento neutro c'era: era lo zero (cioè il minimo).
Analogamente se in $NN$ (risp. in $ZZ$, in $QQ$, in $RR$) prendo $x vee y = min(x,y)$ (associativa e commutativa) non c'è elemento neutro perché $x vee (x+1) = x ne x+1$ per ogni $x in NN$. Ciò succede perché $NN$ (risp. $ZZ$, $QQ$, $RR$) non ha massimo.
Secondo me ci sono altri esempi associativi utili. Ci penserò.
Altro esempio: in $ZZ$ considera l'operazione $x vee y = x-y$. Tale operazione non è associativa né commutativa. Inoltre non ammette elemento neutro perché se $e$ è un elemento neutro allora da $e vee 1 = e-1$ segue $e=2$, ma $2 vee 2 = 0 ne 2$.
Altro esempio (associativo): in $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$), $x vee y = max(x,y)$. $vee$ è senz'altro associativa e commutativa. Ma $vee$ non ammette elemento neutro perché per ogni $x in ZZ$ si ha $x vee (x-1) = x ne x-1$. Ciò segue dal fatto che $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$) non ha minimo. Se avessi preso $NN$ l'elemento neutro c'era: era lo zero (cioè il minimo).
Analogamente se in $NN$ (risp. in $ZZ$, in $QQ$, in $RR$) prendo $x vee y = min(x,y)$ (associativa e commutativa) non c'è elemento neutro perché $x vee (x+1) = x ne x+1$ per ogni $x in NN$. Ciò succede perché $NN$ (risp. $ZZ$, $QQ$, $RR$) non ha massimo.
Secondo me ci sono altri esempi associativi utili. Ci penserò.
"Martino":
Altro esempio (associativo): in $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$), $x vee y = max(x,y)$. $vee$ è senz'altro associativa e commutativa. Ma $vee$ non ammette elemento neutro perché per ogni $x in ZZ$ si ha $x vee (x-1) = x ne x-1$. Ciò segue dal fatto che $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$) non ha minimo. Se avessi preso $NN$ l'elemento neutro c'era: era lo zero (cioè il minimo).
Analogamente se in $NN$ (risp. in $ZZ$, in $QQ$, in $RR$) prendo $x vee y = min(x,y)$ (associativa e commutativa) non c'è elemento neutro perché $x vee (x+1) = x ne x+1$ per ogni $x in NN$. Ciò succede perché $NN$ (risp. $ZZ$, $QQ$, $RR$) non ha massimo.
Eheheh... curiose conseguenze della struttura d'ordine, la quale induce su $ZZ$ la struttura di reticolo (se ricordo bene, in Algebra non sono il massimo
) con le due operazioni binarie $max{x,y}$ e $min{x,y}$.Un altro esempio di struttura reticolare è $NN$ con le operazioni $"MCD"{x,y}$ e $"mcm"{x,y}$ (che sono indotte dalla relazione di divisibilità, la quale è un ordinamento non totale in $NN$).
Innanzitutto grazie per la risposta, però il mio professore di algebra nn considera lo zero come numero naturale ed infatti N li consideriamo come numeri che vanno da 1 in poi..
"Gugo82":
[quote="Martino"]Altro esempio (associativo): in $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$), $x vee y = max(x,y)$. $vee$ è senz'altro associativa e commutativa. Ma $vee$ non ammette elemento neutro perché per ogni $x in ZZ$ si ha $x vee (x-1) = x ne x-1$. Ciò segue dal fatto che $ZZ$ (risp. $QQ$, $RR$) non ha minimo. Se avessi preso $NN$ l'elemento neutro c'era: era lo zero (cioè il minimo).
Analogamente se in $NN$ (risp. in $ZZ$, in $QQ$, in $RR$) prendo $x vee y = min(x,y)$ (associativa e commutativa) non c'è elemento neutro perché $x vee (x+1) = x ne x+1$ per ogni $x in NN$. Ciò succede perché $NN$ (risp. $ZZ$, $QQ$, $RR$) non ha massimo.
Eheheh... curiose conseguenze della struttura d'ordine, la quale induce su $ZZ$ la struttura di reticolo (se ricordo bene, in Algebra non sono il massimo
) con le due operazioni binarie $max{x,y}$ e $min{x,y}$.[/quote]Io più che ai reticoli pensavo agli ordini... ho visto talmente tante definizioni di reticolo che ho deciso di consultare il libro di turno in proposito
"valy":
Innanzitutto grazie per la risposta, però il mio professore di algebra nn considera lo zero come numero naturale ed infatti N li consideriamo come numeri che vanno da 1 in poi..
Non è grave, no? Puoi riadattare i nostri esempi alla luce di ciò
"valy":
Innanzitutto grazie per la risposta, però il mio professore di algebra nn considera lo zero come numero naturale ed infatti N li consideriamo come numeri che vanno da 1 in poi..
Allora $(NN,+)$ è la struttura senza elemento neutro che fa per te: è un semigruppo ($+$ è associativa) ma non un monoide ($+$ non ha elemento neutro in $NN$).
si infatti!
grazie tante!
grazie tante!
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