Sottogruppo commutatore di $S_3$
Ciao a tutti, studiando mi sono imbattuto in questo esercizio:
Dalla teoria ho la seguente definizione:
Sia un gruppo $G$ . Per $a, b ∈ G$ il loro commutatore è l’elemento $[a, b] = a*b*a^-1*b^-1$.
Il sottogruppo generato dall'insieme di tutti i commutatori è detto sottogruppo commutatore di $G$ e si indica con
$K(G) = < { [a, b] | a, b ∈ G} >$.
Ora, so che c'è un legame tra il gruppo alterno (insieme delle permutazioni pari e nucleo di un certo omomorfismo) e il gruppo simmetrico, in quanto $A_n$ è sottogruppo normale di $S_n$ e $S_n \/A_n ~= ZZ \/2ZZ$.
So anche che i commutatori sono permutazioni pari, che $A_n$ è generato da 3-cicli (e un 3-ciclo è prodotto di commutatori) allora i commutatori sono contenuti in $A_n$.
Infine so che in $S_3$ ci sono due sottogruppi normali: il sottogruppo banale e $A_3$. Ma $S_3$ non è abeliano dunque $K(S_3)!={id}$ e deve essere che $K(S_3)=A_3= <(id),(123),(132)> ?$
Sono giusti i passaggi?
Determinare il sottogruppo commutatore del gruppo simmetrico $S_3={(id),(12),(13),(23),(123),(132)}$
Dalla teoria ho la seguente definizione:
Sia un gruppo $G$ . Per $a, b ∈ G$ il loro commutatore è l’elemento $[a, b] = a*b*a^-1*b^-1$.
Il sottogruppo generato dall'insieme di tutti i commutatori è detto sottogruppo commutatore di $G$ e si indica con
$K(G) = < { [a, b] | a, b ∈ G} >$.
Ora, so che c'è un legame tra il gruppo alterno (insieme delle permutazioni pari e nucleo di un certo omomorfismo) e il gruppo simmetrico, in quanto $A_n$ è sottogruppo normale di $S_n$ e $S_n \/A_n ~= ZZ \/2ZZ$.
So anche che i commutatori sono permutazioni pari, che $A_n$ è generato da 3-cicli (e un 3-ciclo è prodotto di commutatori) allora i commutatori sono contenuti in $A_n$.
Infine so che in $S_3$ ci sono due sottogruppi normali: il sottogruppo banale e $A_3$. Ma $S_3$ non è abeliano dunque $K(S_3)!={id}$ e deve essere che $K(S_3)=A_3= <(id),(123),(132)> ?$
Sono giusti i passaggi?
Risposte
Sì sono giusti.
Ah ottimo!
Ma c'è qualche passaggio superfluo?
Perché se mi dovesse capitare all'esame scritto vorrei scriverlo in forma compatta.
Ma c'è qualche passaggio superfluo?
Perché se mi dovesse capitare all'esame scritto vorrei scriverlo in forma compatta.
È tutto superfluo tranne le ultime quattro righe.
Ottimo grazie della disponibilità!
In realtà con "ultime quattro righe" intendevo l'ultimo paragrafo. Prego ciao!
Ah! Però se non preciso che $A_n$ è generato da 3-cicli, non è ovvio che $A_3$ sia generato dagli elementi che ho scritto, no?
Il gruppo $S_3$ ha sei elementi, è piccolo, le permutazioni pari le trovi a mano. Hai $A_3 = \{1,(123),(132)\}$.
In effetti hai ragione! Grazie anche per questa Martino!
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