Sottogruppi di $S_4$
Mi sorge un dubbio.....
Un esrcizio mi chiede di verificare se il gruppo $H=<(12)(14)>$ è sottogruppo del gruppo simmetrico $S_4$.
Allora $(12)(14)^(-1)=(12)(41)=(124) in H$ e quindi il gruppo $H\subset S_4$.
Però se guardo gli ordini posso osservare che $o(124)=3$ che non divide l'ordine di H che è 4. E sarei tentata quindi di dire che $H$ non è sottogruppo di $ S_4$.Come mai questo fatto...?Cosa mi sfugge? Grazie mille per la pazienza.
Un esrcizio mi chiede di verificare se il gruppo $H=<(12)(14)>$ è sottogruppo del gruppo simmetrico $S_4$.
Allora $(12)(14)^(-1)=(12)(41)=(124) in H$ e quindi il gruppo $H\subset S_4$.
Però se guardo gli ordini posso osservare che $o(124)=3$ che non divide l'ordine di H che è 4. E sarei tentata quindi di dire che $H$ non è sottogruppo di $ S_4$.Come mai questo fatto...?Cosa mi sfugge? Grazie mille per la pazienza.
Risposte
L'ordine si $H$ è $4$? Perché?
Io, invece, non capisco questo calcolo 
"melli13":a che pro, per giunta?
...$(12)(14)^(-1)=(12)(41)=(124) in H$...
@mistake89
$H={(1),(12),(14),(12)(14)=(124)}$. Pensavo che H era composto solo da questi elementi (come è scritto alle soluzioni dell'eserizio e di cui mi ero fidata) e per questo ho detto che aveva ordine 4. Ma ora che me l'hai detto direi:
$H={(1),(12),(14),(124),(142)}$ (ma c'è un metodo per calcolarlo?io ho cercato di moltiplicare tutti gli elementi tra loro, non so se me ne è sfuggito qualcuno).
In questo modo l'ordine di H è 5 e non è diviso dall'ordine di $(124)$.
@j18eos
Ho applicato il criterio: $h_1*h_2^(-1) in H$ con $h_1,h_2 in H$ $\Rightarrow H\subsetG$
$H={(1),(12),(14),(12)(14)=(124)}$. Pensavo che H era composto solo da questi elementi (come è scritto alle soluzioni dell'eserizio e di cui mi ero fidata) e per questo ho detto che aveva ordine 4. Ma ora che me l'hai detto direi:
$H={(1),(12),(14),(124),(142)}$ (ma c'è un metodo per calcolarlo?io ho cercato di moltiplicare tutti gli elementi tra loro, non so se me ne è sfuggito qualcuno).
In questo modo l'ordine di H è 5 e non è diviso dall'ordine di $(124)$.
@j18eos
Ho applicato il criterio: $h_1*h_2^(-1) in H$ con $h_1,h_2 in H$ $\Rightarrow H\subsetG$
Bon, forse non ho capito bene la notazione. Ma il gruppo $H$ è quello generato dalla permutazione $(12)(14)=(142)$. Oppure dalle trasposizioni $(12),(14)$?
Nel primo caso $H$ ha ordine $3$. E' infatti costituito dalle potenze $(142)^h$ con $h in ZZ$.
Nel primo caso $H$ ha ordine $3$. E' infatti costituito dalle potenze $(142)^h$ con $h in ZZ$.
Il gruppo generato da (12) e (14) ha cardinalità 6:
$H = {(1), (12), (14), (24), (124), (142)}$
I prodotti io li svolgo come la composizione di funzioni, ovviamente, da destra a sinistra e mi sono venuti tutti questi facendo le composizioni una alla volta. E' un sottogruppo proprio, non banale, del gruppo simmetrico da te descritto, sia perchè convalida il criterio di prima, sia perchè è chiuso rispetto la composizione e presenta meno elementi del gruppo simmetrico stesso, compresi gli elementi inversi (le trasposizioni hanno come elemento inverso loro stesse, e i 3-cicli hanno come elemento inverso l'altro 3-ciclo rimanente) e l'elemento neutro identità, (1).
Gli ordini degli elementi dividono la cardinalità di H?
Si: (1) ha ordine 1 ; (12), (14), (24) hanno ordine 2 ; (124), (142) hanno ordine 3. (quindi ci sono tutti i divisori di 6)
$H = {(1), (12), (14), (24), (124), (142)}$
I prodotti io li svolgo come la composizione di funzioni, ovviamente, da destra a sinistra e mi sono venuti tutti questi facendo le composizioni una alla volta. E' un sottogruppo proprio, non banale, del gruppo simmetrico da te descritto, sia perchè convalida il criterio di prima, sia perchè è chiuso rispetto la composizione e presenta meno elementi del gruppo simmetrico stesso, compresi gli elementi inversi (le trasposizioni hanno come elemento inverso loro stesse, e i 3-cicli hanno come elemento inverso l'altro 3-ciclo rimanente) e l'elemento neutro identità, (1).
Gli ordini degli elementi dividono la cardinalità di H?
Si: (1) ha ordine 1 ; (12), (14), (24) hanno ordine 2 ; (124), (142) hanno ordine 3. (quindi ci sono tutti i divisori di 6)
@Mistake 89
Scusami.....mi sono saltata la virgola! Il gruppo H è generato dalle due trasposizioni....ti chiedo infinitamente scusa...
@Simonixx
Grazie...anche io faccio le composizioni una alla volta, ma la trsposizione $(24)$ me l'ero saltata...grazie!bhè ora si...H è gruppo di ordine 6. Adesso per vedere se è $H\subset S_4$ posso utilizzare il criterio del mio primo post e quindi ne deduco che $H\subset S_4$. Ecco...ora le cose ridanno.....grazie mille a tutti e due...
Scusami.....mi sono saltata la virgola! Il gruppo H è generato dalle due trasposizioni....ti chiedo infinitamente scusa...
@Simonixx
Grazie...anche io faccio le composizioni una alla volta, ma la trsposizione $(24)$ me l'ero saltata...grazie!bhè ora si...H è gruppo di ordine 6. Adesso per vedere se è $H\subset S_4$ posso utilizzare il criterio del mio primo post e quindi ne deduco che $H\subset S_4$. Ecco...ora le cose ridanno.....grazie mille a tutti e due...
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