Sotto- Gruppi,Anelli,Campi,SpVettoriali
Salve a tutti.. mi è nata una curiosità sui sotto-
per quanto riguarda i gruppi ad esempio ci sono delle verifiche accorciate che si possono fare (Ad esempio se il gruppo e' finito, basta dimostrare la chiusura rispetto all'operazione su H per dimsotrare che H è sottogruppo, perchè ci sono dei lemmi che ci dicono che se vale la chiusura, allora ci sono idnetita e inverso e quindi H è un gruppo a sua volta).
per gli spazi vettoriali c'è da verificare che se $a,b in W, h,k in K$campo, allora $ak+bh in W$, allora W è sottospazio.
Per gli anelli e per i campi esistono simili verifiche abbreviate?
Per i campi mi è venuto in mente (or ora) che si potrebbe far vedere che un dato insieme è sottogruppo rispetto alla prima e alla seconda operazione...
e poi vabbè la distributiva che vale per forza perchè vale a maggior ragione nel sovracampo (ho inventato una parola?)
per gli anelli?
Si dim che è sottogruppo ripsetto alla prima operazione, e poi per la seconda bisogna far vedere cchiusura ed elemento neutro?
o c'è una verifica più rapida? (E' già molto rapida, effettivamente)..
Rileggendo quello che ho scritto mi sembra veramente un dubbio sciocco, ma nessuno si è mai posto il mio problema?
Voi per dimostrare che qualcosa è un sottocampo come fate? Grazie e ciao a tutti
per quanto riguarda i gruppi ad esempio ci sono delle verifiche accorciate che si possono fare (Ad esempio se il gruppo e' finito, basta dimostrare la chiusura rispetto all'operazione su H per dimsotrare che H è sottogruppo, perchè ci sono dei lemmi che ci dicono che se vale la chiusura, allora ci sono idnetita e inverso e quindi H è un gruppo a sua volta).
per gli spazi vettoriali c'è da verificare che se $a,b in W, h,k in K$campo, allora $ak+bh in W$, allora W è sottospazio.
Per gli anelli e per i campi esistono simili verifiche abbreviate?
Per i campi mi è venuto in mente (or ora) che si potrebbe far vedere che un dato insieme è sottogruppo rispetto alla prima e alla seconda operazione...
e poi vabbè la distributiva che vale per forza perchè vale a maggior ragione nel sovracampo (ho inventato una parola?)
per gli anelli?
Si dim che è sottogruppo ripsetto alla prima operazione, e poi per la seconda bisogna far vedere cchiusura ed elemento neutro?
o c'è una verifica più rapida? (E' già molto rapida, effettivamente)..
Rileggendo quello che ho scritto mi sembra veramente un dubbio sciocco, ma nessuno si è mai posto il mio problema?
Voi per dimostrare che qualcosa è un sottocampo come fate? Grazie e ciao a tutti
Risposte
Che intendi per chiusura di un insieme in un gruppo?
Per i campi devi verificare che sia un anello commutativo unitario prima, poi che tutti gli elementi, ad eccezione dell'elemento rispetto alla prima operazione, siano invertibili!
Questi saprei dirti or ora.
Per i campi devi verificare che sia un anello commutativo unitario prima, poi che tutti gli elementi, ad eccezione dell'elemento rispetto alla prima operazione, siano invertibili!
Questi saprei dirti or ora.
no non mi hai capito...
per "chiusura" intendo che l'operazione è interna, cioè l'insieme è chiuso rispetto all'operazione che ho definito.
Quando c'è da dimostrare che, ad esempio, H è sottogruppo di G, G finito, basta verificare che H è chiuso rispetto all'operazione indotta da G. (perchè c'è un lemma che dice che la chiusura implica l'esistenza dell'inverso e dell'eleemnto neutro)
Oppure quando c'è da dimostrare che W è un sottospazio di $V(K)$ sp vettoriale, basta far vedere che $av+bw in W$ dove $a,b in K$ e $w,v in W$.
Mi chiedevo, quando c'è da dimsotrare che un campo F è sottocampo di un campo K, o che A è un sottoanello di un anello R, quali verifiche sono suffcienti (e quindi relativi lemmi)
per i campi io pensavo di dimostrare che è sottogruppo rispetto alla prima e rispetto alla seconda operazione.
Così facendo ho che valgono gli assiomi di gruppo per la prima e per la seconda (compresa l'esistenza di inversi moltiplicativi).
per "chiusura" intendo che l'operazione è interna, cioè l'insieme è chiuso rispetto all'operazione che ho definito.
Quando c'è da dimostrare che, ad esempio, H è sottogruppo di G, G finito, basta verificare che H è chiuso rispetto all'operazione indotta da G. (perchè c'è un lemma che dice che la chiusura implica l'esistenza dell'inverso e dell'eleemnto neutro)
Oppure quando c'è da dimostrare che W è un sottospazio di $V(K)$ sp vettoriale, basta far vedere che $av+bw in W$ dove $a,b in K$ e $w,v in W$.
Mi chiedevo, quando c'è da dimsotrare che un campo F è sottocampo di un campo K, o che A è un sottoanello di un anello R, quali verifiche sono suffcienti (e quindi relativi lemmi)
per i campi io pensavo di dimostrare che è sottogruppo rispetto alla prima e rispetto alla seconda operazione.
Così facendo ho che valgono gli assiomi di gruppo per la prima e per la seconda (compresa l'esistenza di inversi moltiplicativi).
Se $(R,+,*)$ è un anello. Per verificare che $S \subset R$ è un sottoanello si ha una condizione necessaria e sufficiente: precisamente $a-b \in S$ e $a*b \in S$ per ogni $a,b \in S$.
La prima condizione ti garantisce che $S$ è un gruppo (naturalmente abeliano, perché tutto $R$ lo è) rispetto a $+$, quindi ti rimane da verificare la seconda condizione, ossia la chiusura, poiché associatività e distributività valgono sicuramente.
Per i campi direi che va bene quel che hai detto tu: quindi secondo le notazioni che ho usato si tratta di verificare che $a-b \in S$ e $a*b^(-1) \in S$ per ogni $a,b \in S$.
La prima condizione ti garantisce che $S$ è un gruppo (naturalmente abeliano, perché tutto $R$ lo è) rispetto a $+$, quindi ti rimane da verificare la seconda condizione, ossia la chiusura, poiché associatività e distributività valgono sicuramente.
Per i campi direi che va bene quel che hai detto tu: quindi secondo le notazioni che ho usato si tratta di verificare che $a-b \in S$ e $a*b^(-1) \in S$ per ogni $a,b \in S$.
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