Sommatorie e induzione
Salve a tutti volevo un aiuto per risolvere questi esercizi per poter poi avere uno schema mentale per poter poi svilupparne altri . Grazie in anticipo
Provare per induzione che :
$ sum_(k=0)^(n) 3^k = (3^(n+1) - 1 ) / 2 $
Provare per induzione che :
$ sum_(k=0)^(n) 3^k = (3^(n+1) - 1 ) / 2 $
Risposte
Per dimostrare qualcosa per induzione puoi lavorare in differenti modi (se non sbaglio c'è una differenza tra induzione e "induzione forte" o simili ma non ne ho idea).
Comunque questo sicuramente si risolve con il metodo di induzione che credo tutti conoscano.
Inizialmente hai bisogno di capire se il problema è verificato per il caso iniziale, cioè quello di partenza.
Infatti l'induzione si sviluppa su certi valori interi, dunque prima di tutto devi verificarlo per il primo intero da cui parti a lavorare per induzione, in questo caso ad esempio è $n = 0$ poichè la sommatoria parte da 0 e finisce per un certo valore arbitrario $n$.
Questa prima parte generalmente è banale ed è la "base induttiva" del processo di induzione.
vedi subito che se la sommatoria partisse da 0 e finisse con solo quell'unico termine:
$3^0 = 1 = (3^1 - 1)/2$
Sarebbe verificata.
In secondo luogo devi dimostrare il "passo induttivo". Ovvero devi dimostrare che "Se fosse valido per un certo valore $n$ allora sarebbe valido per il valore successivo $n+1$". Praticamente l'ipotesi induttiva è che sia valido per ogni valore $n-1$ e sia da convalidare il termine successivo. Appunto il "passo" dal precedente al successivo è da dimostrare vero. Poichè se sarà vero il passo successivo dato vero il passo precedente, allora è vera l'espressione per ogni passo.
A questo punto quindi lavoriamo per $n +1$.
$\sum_{k=0}^(N+1) 3^k = \sum_{k=0}^(N) 3^k + 3^(n+1)$
Ovvero ho scomposto la somma fino al termine $(n+1)$-esimo nella somma dei primi $n$ termini sommandogli l'ultimo termine mancante.
A questo punto entra in gioco l'ipotesi induttiva! Sappiamo che per $n$ qualsiasi precedente a $n+1$ valeva la formula prima presentata, ergo possiamo sostituire al secondo membro dell'identità che dobbiamo verificare, al posto della sommatoria la formula corrispondente.
Ovvero, risolvendo:
$\sum_{k=0}^(N+1) 3^k = (3^(n+1) -1)/2 + 3^(n+1) = (3^(n+1) - 1 + 2*3^(n+1))/2 = (3*3^(n+1) - 1) / 2 = (3^(n+2) - 1)/2$
E così abbiamo terminato, visto che la formula vale per il passo successivo quando vero il passo precedente.
Comunque questo sicuramente si risolve con il metodo di induzione che credo tutti conoscano.
Inizialmente hai bisogno di capire se il problema è verificato per il caso iniziale, cioè quello di partenza.
Infatti l'induzione si sviluppa su certi valori interi, dunque prima di tutto devi verificarlo per il primo intero da cui parti a lavorare per induzione, in questo caso ad esempio è $n = 0$ poichè la sommatoria parte da 0 e finisce per un certo valore arbitrario $n$.
Questa prima parte generalmente è banale ed è la "base induttiva" del processo di induzione.
vedi subito che se la sommatoria partisse da 0 e finisse con solo quell'unico termine:
$3^0 = 1 = (3^1 - 1)/2$
Sarebbe verificata.
In secondo luogo devi dimostrare il "passo induttivo". Ovvero devi dimostrare che "Se fosse valido per un certo valore $n$ allora sarebbe valido per il valore successivo $n+1$". Praticamente l'ipotesi induttiva è che sia valido per ogni valore $n-1$ e sia da convalidare il termine successivo. Appunto il "passo" dal precedente al successivo è da dimostrare vero. Poichè se sarà vero il passo successivo dato vero il passo precedente, allora è vera l'espressione per ogni passo.
A questo punto quindi lavoriamo per $n +1$.
$\sum_{k=0}^(N+1) 3^k = \sum_{k=0}^(N) 3^k + 3^(n+1)$
Ovvero ho scomposto la somma fino al termine $(n+1)$-esimo nella somma dei primi $n$ termini sommandogli l'ultimo termine mancante.
A questo punto entra in gioco l'ipotesi induttiva! Sappiamo che per $n$ qualsiasi precedente a $n+1$ valeva la formula prima presentata, ergo possiamo sostituire al secondo membro dell'identità che dobbiamo verificare, al posto della sommatoria la formula corrispondente.
Ovvero, risolvendo:
$\sum_{k=0}^(N+1) 3^k = (3^(n+1) -1)/2 + 3^(n+1) = (3^(n+1) - 1 + 2*3^(n+1))/2 = (3*3^(n+1) - 1) / 2 = (3^(n+2) - 1)/2$
E così abbiamo terminato, visto che la formula vale per il passo successivo quando vero il passo precedente.
" Ovvero ho scomposto la somma fino al termine (n+1)-esimo nella somma dei primi n termini sommandogli l'ultimo termine mancante. "
Scusa , non ho tanto capito questo passaggio .....
Scusa , non ho tanto capito questo passaggio .....
La sommatoria va da 0 a $(n+1)$ sommando il termine $3^k$ con $k$ variabile, giusto?
In particolare quindi so che l'ultimo termine avrà $k = n+1$.
A questo punto posso spezzare la sommatoria (essendo una semplice somma finita) dal termine 0 al termine $n$ e sommando ad essa il termine che "ho spezzato", mancante, ovvero $3^(n+1)$.
Chiaro?
edit: ricorda che in ambito di induzione riguardante sommatorie, il metodo "spezza la sommatoria e usa l'ipotesi induttiva" credo sia la via più standard possibile e diretta rispetto al problema dato. Quindi se troverai altri problemi riguardanti sommatorie probabilmente si faranno in questa maniera... prova a verificare o a ri-dimostrare l'uguaglianza del binomio di Newton (penso che tu lo conosca) che è un buon esercizio di induzione di questo genere
In particolare quindi so che l'ultimo termine avrà $k = n+1$.
A questo punto posso spezzare la sommatoria (essendo una semplice somma finita) dal termine 0 al termine $n$ e sommando ad essa il termine che "ho spezzato", mancante, ovvero $3^(n+1)$.
Chiaro?
edit: ricorda che in ambito di induzione riguardante sommatorie, il metodo "spezza la sommatoria e usa l'ipotesi induttiva" credo sia la via più standard possibile e diretta rispetto al problema dato. Quindi se troverai altri problemi riguardanti sommatorie probabilmente si faranno in questa maniera... prova a verificare o a ri-dimostrare l'uguaglianza del binomio di Newton (penso che tu lo conosca) che è un buon esercizio di induzione di questo genere
si ... li mi è chiaro ora grazie . Ho solo quest'ultima domanda , da cosa capisco che vale per il passo successivo ? Non capisco cosa me lo fa capire nella soluzione ...
Lo capisci se concludi che la formula o la proposizione che avevi da dimostrare è convalidata per $n+1$ o insomma un certo $n$ se per ipotesi induttiva sono validi tutti i precedenti.
Io ho svolto la formula sostituendo $n+1$ a $n$ e ho fatto vedere che, con opportune modifiche, mi ha dato il risultato sperato cioè per $n+1$ ho come risultato la formula a secondo membro che ti dava il problema ma al posto di $n$ c'è appunto $n+1$ dunque ho vinto!
Io ho svolto la formula sostituendo $n+1$ a $n$ e ho fatto vedere che, con opportune modifiche, mi ha dato il risultato sperato cioè per $n+1$ ho come risultato la formula a secondo membro che ti dava il problema ma al posto di $n$ c'è appunto $n+1$ dunque ho vinto!
ho capito . Grazie , era chiaro ..... ma ora è perfetto 
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