Somma di tre quadrati diversi
Il problema è il seguente:
Trovare tre quadrati diversi la cui somma sia uguale al doppio di un quadrato perfetto (anch'esso diverso dagli altri tre) e tali che il maggiore dei tre sia inferiore alla somma degli altri due
Quindi trovare 4 numeri tutti diversi e positivi tali che:
a^2+b^2+c^2=2d^2 con a>b>c e a^2
È da due giorni che cerco di risolvere questo problema ma niente, spero qualcuno abbia conoscenze maggiori delle mie e sia in grado di aiutarmi
Trovare tre quadrati diversi la cui somma sia uguale al doppio di un quadrato perfetto (anch'esso diverso dagli altri tre) e tali che il maggiore dei tre sia inferiore alla somma degli altri due
Quindi trovare 4 numeri tutti diversi e positivi tali che:
a^2+b^2+c^2=2d^2 con a>b>c e a^2
È da due giorni che cerco di risolvere questo problema ma niente, spero qualcuno abbia conoscenze maggiori delle mie e sia in grado di aiutarmi
Risposte
Eh ma è unica?
No, ce ne sono tante (probabilmente infinite) ... penso sia la più "piccola" (qualsiasi cosa significhi ... 
)
)
Confermo che sono infinite, si dimostra che $n=a^2+b^2+c^2$ è risolubile se e solo se $n$ non è della forma $4^m(8k+7)$.
Che metodo avete usato per arrivare alla risposta?
Per la teoria rivolgiti a dan ... ... io ho fatto qualche conto, preceduto da alcune considerazioni per ridurli, tipo che $a, b, c$ o sono tutti e tre pari oppure due dispari e un pari ... fortunatamente (per me 
) ci sono diverse soluzioni "piccole", trovate perciò velocemente ... 
Cordialmente, Alex
... io ho fatto qualche conto, preceduto da alcune considerazioni per ridurli, tipo che $a, b, c$ o sono tutti e tre pari oppure due dispari e un pari ... fortunatamente (per me ) ci sono diverse soluzioni "piccole", trovate perciò velocemente ... Cordialmente, Alex
Comunque ho trovato ora a=40 b=37 c=27 d=33
Questo mi fa pensare che forse a,b e c debbano sempre essere a due a due primi tra loro (quando comunque sono ridotti alla forma "primitiva")
Questo mi fa pensare che forse a,b e c debbano sempre essere a due a due primi tra loro (quando comunque sono ridotti alla forma "primitiva")
Mi pare di aver trovato un buon metodo:
Considero l'uguaglianza $ a^2+b^2+c^2=2d^2 $
Scrivo $ d $ come $ d=(p+q+r) $ quindi $ 2d^2=2p^2+2q^2+2r^2+4pq+4qr+4pr=(p+r)^2+(q+r)^2+[2(p+q)r+(p+q)^2+2pq] $ quindi il problema si riduce a trovare $ p,q,r $ tali che $ [2(p+q)r+(p+q)^2+2pq] $ sia un quadrato perfetto
Considero l'uguaglianza $ a^2+b^2+c^2=2d^2 $
Scrivo $ d $ come $ d=(p+q+r) $ quindi $ 2d^2=2p^2+2q^2+2r^2+4pq+4qr+4pr=(p+r)^2+(q+r)^2+[2(p+q)r+(p+q)^2+2pq] $ quindi il problema si riduce a trovare $ p,q,r $ tali che $ [2(p+q)r+(p+q)^2+2pq] $ sia un quadrato perfetto
Dubbi: come fai ad esser sicuro che l'espressione tra parentesi quadre sia un quadrato? come fai ad essere sicuro di rispettare l'altra condizione?
No infatti quell'espressione non è sempre un quadrato, mette l'altra condizione dev'essere comunque risolta a tentativi, ad esempio, ipotizziamo $p=1, q=2$ allora $[2(p+q)r+(p+q)^2+2pq]=6r+13$ che è quadrato perfetto con $r=2,18,46...=((5+6n)^2-13)/6$ tuttavia con $r=2$ otteniamo $a=5, b=4, c=3, d=5$ che non è una soluzione valida, invece con $r=18$ allora $a=20, b=19, c=11, d=21$ che rispetta le condizioni richieste
Ok, ma allora vai comunque per tentativi ed in questo caso è inutile complicarsi la vita nel trovare $p, q, r$ e relativi conteggi, tanto vale andare direttamente su $a, b, c$, è più veloce ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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