Somma di quadrati

[giuliacarlino1993]

Se ho un intero b congruo a 7mod 8 come posso dimostrare che b non è somma di tre quadrati??

[Gi81]

Tieni presente che il quadrato di un generico numero intero può essere uguale congruo modulo $8$ solo a $0$, $1$ oppure $4$.

[giuliacarlino1993]

Ah perfetto!!allora dovrei considerare tutte le possibile combinazioni!!...e per far vedere che m4^k non è somma di tre quadrati??

[Gi81]

Spiegati meglio: $m* 4^k$ con $m,k in ?$ E i quadrati possono anche essere nulli?

Perchè se $m=k=1$ hai $m*4^k= 4$ che è uguale a $2^2+0^2+0^2$, dunque è somma di tre quadrati.

[giuliacarlino1993]

scusate se non ho specificato. Per m intendo sempre l'intero congruo a 7mod8 mentre per k un intero maggiore o uguale a zero.

[Gi81]

Preliminarmente, ti consiglio di dimostrare questo: \(\displaystyle 4 \mid a^2 +b^2+c^2 \implies a,b,c \text{ pari}\)

Passiamo al problema:

Sia $m-= 7 (mod 8)$ . Dimostriamo per induzione su $k in {0,1,2,...}$ che $m*4^k$ non è somma di tre quadrati.

Base: $k=0$. Dobbiamo dimostrare che $m$ non è somma di tre quadrati.
Ma l'abbiamo già fatto prima, quindi siamo a posto.

Passo induttivo: Sia $k>=1$. Supponiamo che $m*4^{k-1}$ non sia somma di tre quadrati,
e dimostriamo che $m* 4^k$ non è somma di tre quadrati.
Se per assurdo $m*4^k$ fosse somma di tre quadrati, allora $m*4^k = a^2+b^2+c^2$ \((*)\).
Dunque \(\displaystyle 4 \mid a^2+b^2+c^2 \), da cui $a,b,c$ sono tutti pari.
Dividiamo \((*)\) per $4$ ottenendo $(a^2+b^2+c^2)/4= (m*4^k)/4$, cioè $(a/2)^2+(b/2)^2 +(c/2)^2 = m*4^(k-1)$,
dunque anche $m*4^(k-1)$ è somma di tre quadrati (perchè $a/2$, $b/2$ e $c/2$ sono numeri interi). Contraddizione.