Soluzioni congruenza

[Sk_Anonymous]

Ciao, volevo chiedere chiarimenti per determinare tutte le soluzioni della seguente congruenza:

$x^7-=5 mod 77$

Per il teorema di Fermat-Eulero non dovrei trovarmi come soluzione $x=5^d$? Non so però come andare avanti e calcolare $d$, poichè se applico Euclide a $7$ e $Phi(77)=60$ ottengo un coefficiente di $7$ che è $-17$. Trovo infatti che: $(1=(2)60+(-17)7)$.

Dove sbaglio?

[blackbishop13]

Non ho capito niente del tuo procedimento, non capisco cosa c'entri il teorema di Fermat o quello di Eulero, e perchè ti aspetti un risultato così.

Comunque ti suggerisco quello che a me è sembrato un buon modo di risolvere l'esercizio (a me è venuto):
applichi il teorema cinese del resto, e invece di lavorare in $ZZ_77$ che è un po' improponibile, risolvi il sistema:

$\{(x^7=5 (7)),(x^7=5 (11)):}$

per la prima, adesso sì, usi il teorema di Eulero o Fermat, noti che siccome $o(ZZ_7)=7$, sarà vero che $AAx in ZZ_7$, $x^7=x$
quindi per la prima è banale trovare $x$,
nella seconda invece non mi viene in mente nulla di furbo, e allora si prova! tanto sono una decina scarsa di elementi, e si guardano le potenza successive.
io ho trovato una (unica) soluzione anche della seconda.

poi sempre per il teorema cinese, sai che esiste ed è unica una soluzione in $ZZ_77$, e la trovi con i metodi noti.