Sistema di congruenze lineari 78x≡16(mod 7), 6x≡30(mod 48), 14x≡8(mod 3)
Salve,
ho il seguente sistema di congruenze lineari:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 78x & \equiv & 16 & \mbox{ (mod 7) } \\ 6x & \equiv & 30 & \mbox{ (mod 48) } \\ 14x & \equiv & 8 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
se possibile risolverlo determinandone tutte le soluzioni.
ho eseguito il sistema su una utility online per conoscerne il risultato,
ecco il link http://comnuan.com/cmnn02/cmnn0200a/
che, stando all'utility, dovrebbe perciò essere: $37 + 168n, n \in ZZ$.
ho ripetuto lo svolgimento molte volte ma non esce il risultato desiderato.
Ecco il mio svolgimento:
il sistema può essere sostituito da un'altro equivalente, in quanto nella i) e nella iii) ho sostituito i numeri con altri congrui secondo la corrente congruenza, mentre nella ii) ho diviso per MCD. Ottengo perciò:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 7) } \\ x & \equiv & 5 & \mbox{ (mod 8) } \\ 2x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
i moduli sono a due a due relativamente primi perciò, posso utilizzare il Teorema Cinese del Resto.
[tex]M = 7 \cdot 8 \cdot 3 = 168, \\ M_1 = \frac{M}{7} = \frac{168}{7} = 24, \\ M_2 = \frac{M}{8} = \frac{168}{8} = 21, \\ M_3 = \frac{M}{3} = \frac{168}{3} = 56[/tex]
perciò, da quanto calcolato, ho considerato il seguente sistema ausiliario:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 24x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 7) } \\ 21x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 8) } \\ 56x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
e, in modo equivalente, ho ridotto secondo i singoli moduli, ottenendo:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 3x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 7) } \\ 5x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 8) } \\ 2x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
Ho risolto le congruenze.
Risolvere la i) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_7$:
[tex]\begin{array}{rcl} [3] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_7 \\ [3 \cdot 5] & = & [1] \\ [15] & = & [1] \\ [1] & = & [1] \end{array}[/tex]
perciò $x=5$
analogamente per la ii) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_8$:
[tex]\begin{array}{rcl} [5] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_8 \end{array}[/tex]
perciò $x=5$
analogamente per la iii) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_3$:
[tex]\begin{array}{rcl} [2] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_3 \end{array}[/tex]
perciò $x=3$
ora,
ho utilizzato la seguente formula per calcolare la soluzione del sistema:
[tex]\begin{array}{lcl} x & = & M_1 \cdot s_1 \cdot r_1 + \ldots + M_k \cdot s_k \cdot r_k \\ & = & 24 \cdot 5 \cdot 2 + 21 \cdot 5 \cdot 5 + 56 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = & 240 + 525 + 336 \\ & = & 1101 \\ & \equiv & 93 \mbox{ (mod 168) } \end{array}[/tex]
ma, ci deve essere un errore perchè dovrei ottenere $\equiv 37 \mbox{ (mod 168) }$.
Dove sta l'errore?
Ho provato e riprovato un sacco di volte, ma, ottengo sempre la stessa cosa!
Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
ho il seguente sistema di congruenze lineari:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 78x & \equiv & 16 & \mbox{ (mod 7) } \\ 6x & \equiv & 30 & \mbox{ (mod 48) } \\ 14x & \equiv & 8 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
se possibile risolverlo determinandone tutte le soluzioni.
ho eseguito il sistema su una utility online per conoscerne il risultato,
ecco il link http://comnuan.com/cmnn02/cmnn0200a/
che, stando all'utility, dovrebbe perciò essere: $37 + 168n, n \in ZZ$.
ho ripetuto lo svolgimento molte volte ma non esce il risultato desiderato.
Ecco il mio svolgimento:
il sistema può essere sostituito da un'altro equivalente, in quanto nella i) e nella iii) ho sostituito i numeri con altri congrui secondo la corrente congruenza, mentre nella ii) ho diviso per MCD. Ottengo perciò:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 7) } \\ x & \equiv & 5 & \mbox{ (mod 8) } \\ 2x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
i moduli sono a due a due relativamente primi perciò, posso utilizzare il Teorema Cinese del Resto.
[tex]M = 7 \cdot 8 \cdot 3 = 168, \\ M_1 = \frac{M}{7} = \frac{168}{7} = 24, \\ M_2 = \frac{M}{8} = \frac{168}{8} = 21, \\ M_3 = \frac{M}{3} = \frac{168}{3} = 56[/tex]
perciò, da quanto calcolato, ho considerato il seguente sistema ausiliario:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 24x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 7) } \\ 21x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 8) } \\ 56x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
e, in modo equivalente, ho ridotto secondo i singoli moduli, ottenendo:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 3x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 7) } \\ 5x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 8) } \\ 2x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
Ho risolto le congruenze.
Risolvere la i) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_7$:
[tex]\begin{array}{rcl} [3] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_7 \\ [3 \cdot 5] & = & [1] \\ [15] & = & [1] \\ [1] & = & [1] \end{array}[/tex]
perciò $x=5$
analogamente per la ii) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_8$:
[tex]\begin{array}{rcl} [5] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_8 \end{array}[/tex]
perciò $x=5$
analogamente per la iii) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_3$:
[tex]\begin{array}{rcl} [2] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_3 \end{array}[/tex]
perciò $x=3$
ora,
ho utilizzato la seguente formula per calcolare la soluzione del sistema:
[tex]\begin{array}{lcl} x & = & M_1 \cdot s_1 \cdot r_1 + \ldots + M_k \cdot s_k \cdot r_k \\ & = & 24 \cdot 5 \cdot 2 + 21 \cdot 5 \cdot 5 + 56 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = & 240 + 525 + 336 \\ & = & 1101 \\ & \equiv & 93 \mbox{ (mod 168) } \end{array}[/tex]
ma, ci deve essere un errore perchè dovrei ottenere $\equiv 37 \mbox{ (mod 168) }$.
Dove sta l'errore?
Ho provato e riprovato un sacco di volte, ma, ottengo sempre la stessa cosa!
Potreste per cortesia aiutarmi? Grazie mille!
Risposte
credo di aver risolto, c'erano tre errori,
e siccome ci ho messo un sacco di tempo sia per trovarli e risolverli, ma, anche per trascriverlo qui nel forum,
allora ho deciso di postare ugualmente la soluzione in modo che per chi ne avesse bisogno possa utilizzarla!
Ecco gli errori e le relative correzioni:
il primo:
prima di impostare questo sistema, devo risolvere la terza congruenza, la cui soluzione è $x=4$.
Per cui il sistema diventa:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 7) } \\ x & \equiv & 5 & \mbox{ (mod 8) } \\ x & \equiv & 4 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
il secondo:
è sbagliato perchè per la iii) la soluzione è $x=2$.
il terzo, di conseguenza:
è sbagliato. Il risultato corretto è:
[tex]\begin{array}{lcl} x & = & M_1 \cdot s_1 \cdot r_1 + \ldots + M_k \cdot s_k \cdot r_k \\ & = & 24 \cdot 5 \cdot 2 + 21 \cdot 5 \cdot 5 + 56 \cdot 2 \cdot 4 \\ & = & 240 + 525 + 448 \\ & = & 1213 \\ & \equiv & 37 \mbox{ (mod 168) } \end{array}[/tex]
quindi, $x = 37$ è l'unica soluzione del sistema.
Ciao a tutti, alla prossima!
e siccome ci ho messo un sacco di tempo sia per trovarli e risolverli, ma, anche per trascriverlo qui nel forum,
allora ho deciso di postare ugualmente la soluzione in modo che per chi ne avesse bisogno possa utilizzarla!
Ecco gli errori e le relative correzioni:
il primo:
il sistema può essere sostituito da un'altro equivalente, in quanto nella i) e nella iii) ho sostituito i numeri con altri congrui secondo la corrente congruenza, mentre nella ii) ho diviso per MCD. Ottengo perciò:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 7) } \\ x & \equiv & 5 & \mbox{ (mod 8) } \\ 2x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
prima di impostare questo sistema, devo risolvere la terza congruenza, la cui soluzione è $x=4$.
Per cui il sistema diventa:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} x & \equiv & 2 & \mbox{ (mod 7) } \\ x & \equiv & 5 & \mbox{ (mod 8) } \\ x & \equiv & 4 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
il secondo:
e, in modo equivalente, ho ridotto secondo i singoli moduli, ottenendo:
[tex]\left \{ \begin{array}{rcl} 3x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 7) } \\ 5x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 8) } \\ 2x & \equiv & 1 & \mbox{ (mod 3) } \end{array}\right.[/tex]
analogamente per la iii) significa conoscere l'incognita nella seguente equazione in $ZZ_3$:
[tex]\begin{array}{rcl} [2] \odot [x] & = & [1] \in \mathbb{Z}_3 \end{array}[/tex]
perciò $x=3$
è sbagliato perchè per la iii) la soluzione è $x=2$.
il terzo, di conseguenza:
ho utilizzato la seguente formula per calcolare la soluzione del sistema:
[tex]\begin{array}{lcl} x & = & M_1 \cdot s_1 \cdot r_1 + \ldots + M_k \cdot s_k \cdot r_k \\ & = & 24 \cdot 5 \cdot 2 + 21 \cdot 5 \cdot 5 + 56 \cdot 3 \cdot 2 \\ & = & 240 + 525 + 336 \\ & = & 1101 \\ & \equiv & 93 \mbox{ (mod 168) } \end{array}[/tex]
è sbagliato. Il risultato corretto è:
[tex]\begin{array}{lcl} x & = & M_1 \cdot s_1 \cdot r_1 + \ldots + M_k \cdot s_k \cdot r_k \\ & = & 24 \cdot 5 \cdot 2 + 21 \cdot 5 \cdot 5 + 56 \cdot 2 \cdot 4 \\ & = & 240 + 525 + 448 \\ & = & 1213 \\ & \equiv & 37 \mbox{ (mod 168) } \end{array}[/tex]
quindi, $x = 37$ è l'unica soluzione del sistema.
Ciao a tutti, alla prossima!
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