Se $n=6$ allora $|AutA_6:S_6|=2$
Non mi sono chiari alcuni punti della dimostrazione, potete chiarirmeli?
$A_6$ ha due classi di elementi di ordine 3 : $T=[(a b c)]$ e $S=[(abc)(def)]$ (ok, mi trovo).
Se ho un automorfismo di $A_6$ questo mi trasforma 3-cicli in 3-cicli (ok , mi trovo visto che gli automorfismi conservano la struttura ciclica).
Ora se L è un sottogruppo di $Aut(A_6)$ allora questo sottogruppo ha sicuramente indice 1 o 2 (perchè?, perchè è T o S?, è giusto?)
Ma, sappiamo che per ogni automorfismo di $A_n$ con $n>=5$ esiste una permutazione tale che l'automorfismo in questione è uguale alla restrizione dell'automorfismo interno indotto dalla permutazione al gruppo alterno (ok, mi trovo, sono 3 pagine di dimostrazione di un teorema), quindi $|AutA_6:S_6|=1 o 2$ (perchè?)
Costruiamo un automorfismo esterno di $S_6$. Poniamo $S_6=G$.
Sia $H=G_a$ il sottogruppo fissato da a. Allora $|G:H|=6$. Allora $|G:H|=6$ (perchè?).
Consideriamo $S_5$. Questo gruppo contiene sei 5-sottogruppi di Sylow che vengono permutati mediante coniugio(perchè?)
Visto che $A_5$ è l'unico sottogruppo normale proprio di $S_5$, possiamo dire che questa rappresentazione è corretta. Dunque $S_5$ è isomorfo ad un sottogruppo $K$ di $S_6$. Allora $|G:K|=6$ (perchè?)
ma K è diverso da ogni sottogruppo fissato da un elemento b visto che non possiamo avere in $S_5$ un sottogruppo normale $5-Sylow$ (segue dal fatto che l'unico sottogruppo normale non banale di $S_n$ è $A_n$?).
Siano $ {x_i} $ e $ {y_i} $ rispettivamente l'insieme dei laterali destri rappresentanti di $H$ e $K$.
G permuta i laterali H e K mediante le seguenti due applicazioni:
$\alpha : g \rarr ( ( Hx_1 , ... , Hx_6 ),( Hx_1g , ... , Hx_6g )$ e $ \beta : g \rarr ( ( y_1 , ... , Ky_6 ),( Ky_1g , ... , Ky_6g ) $
Possiamo allora costruire una funzione $\tau=\alpha \gamma \beta ^(-1)$ dove $\gamma$ scambia i laterali.
Se $x_1=y_1=1$ allora H viene trasformato mediante $\tau$ in K, quindi $\tau$ non è interno e H e K non sono coniugati.
$A_6$ è caratteristico in G e quindi $\tau$ ristretto ad $A_6$ è un automorfismo.
Se tale restrizione è uguale ad un automorfismo interno indotto da una permutazione ristretto ad $A_6$, allora:
$ (H nn A_6)^(g) =(K nn A_6) $ (segue dal fatto che $\tau$ fissa $A_6$ e manda H in K?)
, ciò mostra che ci sono sottogruppi normali (perchè) in $A_5$ non banali, assurdo.
$A_6$ ha due classi di elementi di ordine 3 : $T=[(a b c)]$ e $S=[(abc)(def)]$ (ok, mi trovo).
Se ho un automorfismo di $A_6$ questo mi trasforma 3-cicli in 3-cicli (ok , mi trovo visto che gli automorfismi conservano la struttura ciclica).
Ora se L è un sottogruppo di $Aut(A_6)$ allora questo sottogruppo ha sicuramente indice 1 o 2 (perchè?, perchè è T o S?, è giusto?)
Ma, sappiamo che per ogni automorfismo di $A_n$ con $n>=5$ esiste una permutazione tale che l'automorfismo in questione è uguale alla restrizione dell'automorfismo interno indotto dalla permutazione al gruppo alterno (ok, mi trovo, sono 3 pagine di dimostrazione di un teorema), quindi $|AutA_6:S_6|=1 o 2$ (perchè?)
Costruiamo un automorfismo esterno di $S_6$. Poniamo $S_6=G$.
Sia $H=G_a$ il sottogruppo fissato da a. Allora $|G:H|=6$. Allora $|G:H|=6$ (perchè?).
Consideriamo $S_5$. Questo gruppo contiene sei 5-sottogruppi di Sylow che vengono permutati mediante coniugio(perchè?)
Visto che $A_5$ è l'unico sottogruppo normale proprio di $S_5$, possiamo dire che questa rappresentazione è corretta. Dunque $S_5$ è isomorfo ad un sottogruppo $K$ di $S_6$. Allora $|G:K|=6$ (perchè?)
ma K è diverso da ogni sottogruppo fissato da un elemento b visto che non possiamo avere in $S_5$ un sottogruppo normale $5-Sylow$ (segue dal fatto che l'unico sottogruppo normale non banale di $S_n$ è $A_n$?).
Siano $ {x_i} $ e $ {y_i} $ rispettivamente l'insieme dei laterali destri rappresentanti di $H$ e $K$.
G permuta i laterali H e K mediante le seguenti due applicazioni:
$\alpha : g \rarr ( ( Hx_1 , ... , Hx_6 ),( Hx_1g , ... , Hx_6g )$ e $ \beta : g \rarr ( ( y_1 , ... , Ky_6 ),( Ky_1g , ... , Ky_6g ) $
Possiamo allora costruire una funzione $\tau=\alpha \gamma \beta ^(-1)$ dove $\gamma$ scambia i laterali.
Se $x_1=y_1=1$ allora H viene trasformato mediante $\tau$ in K, quindi $\tau$ non è interno e H e K non sono coniugati.
$A_6$ è caratteristico in G e quindi $\tau$ ristretto ad $A_6$ è un automorfismo.
Se tale restrizione è uguale ad un automorfismo interno indotto da una permutazione ristretto ad $A_6$, allora:
$ (H nn A_6)^(g) =(K nn A_6) $ (segue dal fatto che $\tau$ fissa $A_6$ e manda H in K?)
, ciò mostra che ci sono sottogruppi normali (perchè) in $A_5$ non banali, assurdo.
Risposte
Non ti so rispondere, però... che bella la teoria dei gruppi!
E' molto, molto bella, ma è un casino.....
Iniziamo con una domanda: [tex]$T$[/tex] ed $S$ sono sostegni di sottogruppi di [tex]$\mathrm{Alt}6$[/tex]?
Cambiando percorso, se vuoi: considera [tex]$Z(\mathrm{Alt}6)=Z$[/tex], chi è [tex]$\mathrm{Alt}6/_Z$[/tex]? In che rapporti è con [tex]$\mathrm{Aut}(\mathrm{Alt}6)$[/tex]?
Cambiando percorso, se vuoi: considera [tex]$Z(\mathrm{Alt}6)=Z$[/tex], chi è [tex]$\mathrm{Alt}6/_Z$[/tex]? In che rapporti è con [tex]$\mathrm{Aut}(\mathrm{Alt}6)$[/tex]?
Innanzitutto, come ricorda j18eos, vale la pena osservare che l'azione di coniugio di [tex]S_6[/tex] su [tex]A_6[/tex] determina un omomorfismo iniettivo [tex]S_6 \to \text{Aut}(A_6)[/tex], possiamo quindi pensare che [tex]A_6 < S_6 \leq \text{Aut}(A_6)[/tex]. Inoltre anche [tex]\text{Aut}(S_6)[/tex] si immerge in [tex]\text{Aut}(A_6)[/tex], tramite la restrizione ad [tex]A_6[/tex], che ha senso essendo [tex]A_6[/tex] caratteristico in [tex]S_6[/tex] (facile esercizio). Mostrare che tale restrizione è iniettiva è un altro facile esercizio.
Quanto segue si può riassumere in poche righe. L'azione transitiva di [tex]S_5[/tex] sui suoi sei [tex]5[/tex]-Sylow definisce un omomorfismo iniettivo [tex]S_5 \to S_6[/tex], chiamiamo [tex]H[/tex] la sua immagine. [tex]S_6[/tex] agisce per moltiplicazione a destra sui sei laterali destri di [tex]H[/tex] in [tex]S_6[/tex], e questo definisce un omomorfismo iniettivo [tex]S_6 \to S_6[/tex], che quindi è un automorfismo di [tex]S_6[/tex]. Per vedere che non è interno basta osservare che manda il sottogruppo transitivo [tex]H[/tex] in un sottogruppo non transitivo (l'immagine di [tex]H[/tex] ammette [tex]H[/tex] come punto fisso, dato che [tex]Hg=H[/tex] se [tex]g \in H[/tex]). Questo definisce per restrizione un automorfismo esterno di [tex]A_6[/tex] che non proviene da [tex]S_6[/tex].
In particolare [tex]\text{Aut}(A_6) \cong \text{Aut}(S_6)[/tex].
"biggest":Eh no, è proprio questo il punto! Se un automorfismo di [tex]A_6[/tex] manda [tex]3[/tex]-cicli in [tex]3[/tex]-cicli allora è il coniugio tramite un elemento di [tex]S_6[/tex] (questo è un fatto che si dimostra non troppo difficilmente, e lo chiamerò stellina).
Se ho un automorfismo di $A_6$ questo mi trasforma 3-cicli in 3-cicli (ok , mi trovo visto che gli automorfismi conservano la struttura ciclica).
Ora se L è un sottogruppo di $Aut(A_6)$ allora questo sottogruppo ha sicuramente indice 1 o 2 (perchè?, perchè è T o S?, è giusto?)Se [tex]L[/tex] è un sottogruppo di [tex]\text{Aut}(A_6)[/tex] che contiene [tex]S_6[/tex] allora ha indice 1 o 2, e il motivo è che se prendo due automorfismi di [tex]A_6[/tex] che non provengono da [tex]S_6[/tex], per stellina questi devono mandare i [tex]3[/tex]-cicli nei [tex](3,3)[/tex]-cicli (definiscono cioè una biiezione [tex]T \to S[/tex]), in particolare il loro prodotto manda [tex]3[/tex]-cicli in [tex]3[/tex]-cicli, quindi proviene da [tex]S_6[/tex] per stellina. Segue che il gruppo [tex]\text{Aut}(A_6)/S_6[/tex] ha la proprietà che il prodotto di due suoi elementi qualsiasi è l'identità. Non è difficile concludere che tale gruppo ha ordine [tex]1[/tex] oppure [tex]2[/tex]. Allo stesso modo anche [tex]|\text{Aut}(S_6)/S_6| \in \{1,2\}[/tex].
Sia $H=G_a$ il sottogruppo fissato da a. Allora $|G:H|=6$. Allora $|G:H|=6$ (perché?).Perché [tex]G_a \cong S_5[/tex] e [tex]|S_6|/|S_5|=6!/5!=6[/tex].
Quanto segue si può riassumere in poche righe. L'azione transitiva di [tex]S_5[/tex] sui suoi sei [tex]5[/tex]-Sylow definisce un omomorfismo iniettivo [tex]S_5 \to S_6[/tex], chiamiamo [tex]H[/tex] la sua immagine. [tex]S_6[/tex] agisce per moltiplicazione a destra sui sei laterali destri di [tex]H[/tex] in [tex]S_6[/tex], e questo definisce un omomorfismo iniettivo [tex]S_6 \to S_6[/tex], che quindi è un automorfismo di [tex]S_6[/tex]. Per vedere che non è interno basta osservare che manda il sottogruppo transitivo [tex]H[/tex] in un sottogruppo non transitivo (l'immagine di [tex]H[/tex] ammette [tex]H[/tex] come punto fisso, dato che [tex]Hg=H[/tex] se [tex]g \in H[/tex]). Questo definisce per restrizione un automorfismo esterno di [tex]A_6[/tex] che non proviene da [tex]S_6[/tex].
In particolare [tex]\text{Aut}(A_6) \cong \text{Aut}(S_6)[/tex].
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