Scomposizione polinomi in $ZZ_p$
Salve ragazzi,
ho dei dubbi riguardo la scomposizione dei polinomi in $ZZ_p$
Ad esempio se voglio scomporre il polinomio $p(x) = 5x^7+30x^5+90x^3+60$ in $ZZ_2$ (basandomi sul modulo p) trovo il polinomio corrispondente, ovvero $bar{p}(x)=x^7$ e dunque è evidentemente scomponibile in quanto la radice è $0$
Fin qui tutto chiaro per me.
Ma se ad esempio considero il polinomio $p(x)=x^6-1$
so che la sua scomposizione in $RR$ e $QQ$ è la seguente: $(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$
ma in questo caso se voglio ridurlo in fattori primi in $ZZ_3$ come devo procedere?
ho dei dubbi riguardo la scomposizione dei polinomi in $ZZ_p$
Ad esempio se voglio scomporre il polinomio $p(x) = 5x^7+30x^5+90x^3+60$ in $ZZ_2$ (basandomi sul modulo p) trovo il polinomio corrispondente, ovvero $bar{p}(x)=x^7$ e dunque è evidentemente scomponibile in quanto la radice è $0$
Fin qui tutto chiaro per me.
Ma se ad esempio considero il polinomio $p(x)=x^6-1$
so che la sua scomposizione in $RR$ e $QQ$ è la seguente: $(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$
ma in questo caso se voglio ridurlo in fattori primi in $ZZ_3$ come devo procedere?
Risposte
$p(x)=x^6-1$ in $RR[x]$ si ha $p(x)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
e quindi è così anche in $ZZ_3[x]$, perchè non dovrebbe esserlo?
ogni scomposizione in $ZZ[x]$ è valida in uno $ZZ_p[x]$, e ogni scomposizione in $QQ[x]$ vale in $ZZ[x]$...
insomma se scomponi nell'anello più "grande" vale poi in quello "piccolo", credo che valga in generale.
poi nel caso specifico, in $ZZ_3[x]$ il polinomio è ulteriormente riducibile, uno dei 4 fattori è ancora riducibile.
vedi tu quale!
EDIT due dei 4 fattori sono ancora riducibili, scusate.
e quindi è così anche in $ZZ_3[x]$, perchè non dovrebbe esserlo?
ogni scomposizione in $ZZ[x]$ è valida in uno $ZZ_p[x]$, e ogni scomposizione in $QQ[x]$ vale in $ZZ[x]$...
insomma se scomponi nell'anello più "grande" vale poi in quello "piccolo", credo che valga in generale.
poi nel caso specifico, in $ZZ_3[x]$ il polinomio è ulteriormente riducibile, uno dei 4 fattori è ancora riducibile.
vedi tu quale!
EDIT due dei 4 fattori sono ancora riducibili, scusate.
"blackbishop13":
$p(x)=x^6-1$ in $RR[x]$ si ha $p(x)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
e quindi è così anche in $ZZ_3[x]$, perchè non dovrebbe esserlo?
Perchè in $ZZ_3$ non è la forma migliore questa, infatti:
$x^2+x+1\equiv x+2 (mod3)$
dal fatto che $x^2\equiv 1 (mod3)$ ed analogamente nell'altro caso... quindi:
$x^2+x+1=(x-1)^2 (mod3)$
ed analogamente:
$x^2-x+1=(x+1)^2 (mod3)$
La scomposizione è quindi: $p(x)=(x-1)^3(x+1)^3$
Enjoy!
"Lord K":
Perchè in $ZZ_3$ non è la forma migliore questa, infatti:
infatti dopo ho scritto che in $ZZ_3$ è ulteriormente riducibile
...in effetti il polinomio è alla fine $(x-1)^3(x+1)^3$
ma il risultato cozza con il procedimento (se è vero che $x^2+x+1=x+2$$mod3$, come si giustifica l'esponente 3 di $x-1$ ???dovrebbe essere 2....)
$x^2=1$ $mod3$ da dove salta fuori??? si considerano i polinomi mica le funzioni polinomiali! il teorema di Fermat non si può usare, non centra niente di niente.
inoltre $0 in ZZ_3$ e direi che $0^2 != 1$ $mod 3$ , se per caso si intendeva che per ogni $x in ZZ_3$ vale $x^2=1$$mod3$...
semmai notiamo che $x^2 +x+1=(x-1)^2$ $mod3$
"blackbishop13":
[quote="Lord K"]
Perchè in $ZZ_3$ non è la forma migliore questa, infatti:
infatti dopo ho scritto che in $ZZ_3$ è ulteriormente riducibile
...in effetti il polinomio è alla fine $(x-1)^3(x+1)^3$
[/quote]
Non avevo letto tutto
ma il risultato cozza con il procedimento (se è vero che $x^2+x+1=x+2$$mod3$, come si giustifica l'esponente 3 di $x-1$ ???dovrebbe essere 2....)
Non ci cozza per nulla, è un modo come un altro per trovare una radice dei polinomi che mi servono...
$x^2=1$ $mod3$ da dove salta fuori??? si considerano i polinomi mica le funzioni polinomiali! il teorema di Fermat non si può usare, non centra niente di niente.
Non sono d'accordo, il metodo funziona ed è utilizzabile a patto che si intenda come una ricerca di radici... in ogni caso cercare radici e chiedersi dove il polinomio si annulla o equivalentemente ove la funzione polinoomiale ammette zeri...
inoltre $0 in ZZ_3$ e direi che $0^2 != 1$ $mod 3$ , se per caso si intendeva che per ogni $x in ZZ_3$ vale $x^2=1$$mod3$...
semmai notiamo che $x^2 +x+1=(x-1)^2$ $mod3$
Hai ragione, ma nel teorema $x in ZZ: 3|x$ non è preso in considerazione
"Lord K":
Perchè in $ZZ_3$ non è la forma migliore questa, infatti:
$x^2+x+1\equiv x+2 (mod3)$
dal fatto che $x^2\equiv 1 (mod3)$ ed analogamente nell'altro caso... quindi:
$x^2+x+1=(x-1)^2 (mod3)$
ed analogamente:
$x^2-x+1=(x+1)^2 (mod3)$
La scomposizione è quindi: $p(x)=(x-1)^3(x+1)^3$
Enjoy!
Non ho capito perchè hai scritto la prima congruenza? Come si ricava?
Poi gli altri passaggi potresti spiegarmeli meglio per favore?
N.B. Mi interessa capire come si scompongono i polinomi in $ZZ_p$! Della soluzione dell'esercizio non me ne faccio niente; ve l'ho proposto giusto come esempio!
Ragazzi, aspetto una risposta da 2 giorni! Chi è così gentile da darmi una spiegazione più chiara?
@ Lord K
sarà anche un metodo, ma se vedo scritto $x^2+x+1=x+2$$mod3$ non posso che commentare che è falso, perchè come ripeto sono polinomi.
poi se è un metodo per trovare le radici.. ma poi scivi anche $x^2=1$$mod3$ ma qui oltre a essere falso per i polinomi, è anche falso per trovare le radici!
insomma mi pare un po strano..
@ xsl
non so se qualcuno abbia un metodo magico per scomporre in $ZZ_p$ in un paio di passaggi, ma secondo me non è un argomento che si può trattare esaurientemente qui, segui un testo universitario se proprio ti interessa. Io ho seguito un intero corso di aritmetica in cui buona parte del programma era sulla fattorizzazione.
sarà anche un metodo, ma se vedo scritto $x^2+x+1=x+2$$mod3$ non posso che commentare che è falso, perchè come ripeto sono polinomi.
poi se è un metodo per trovare le radici.. ma poi scivi anche $x^2=1$$mod3$ ma qui oltre a essere falso per i polinomi, è anche falso per trovare le radici!
insomma mi pare un po strano..
@ xsl
non so se qualcuno abbia un metodo magico per scomporre in $ZZ_p$ in un paio di passaggi, ma secondo me non è un argomento che si può trattare esaurientemente qui, segui un testo universitario se proprio ti interessa. Io ho seguito un intero corso di aritmetica in cui buona parte del programma era sulla fattorizzazione.
"blackbishop13":
@ xsl
non so se qualcuno abbia un metodo magico per scomporre in $ZZ_p$ in un paio di passaggi, ma secondo me non è un argomento che si può trattare esaurientemente qui, segui un testo universitario se proprio ti interessa. Io ho seguito un intero corso di aritmetica in cui buona parte del programma era sulla fattorizzazione.
Capisco! Sul libro ho trovato solo il test di irriducibilità $mod p$...nient'altro!
Comunque generalmente mi conviene scomporre il polinomio in un anello più ampio, poi quando vado a scomporlo in $ZZ_p$ mi concentro su quelli che sono (nella scomposizione) ulteriormente riducibili?
Ma sì, in generale è così, però il punto è che si usa di più il contrario, cioè se hai un polinomio in $ZZ$ o $QQ$ che è la stessa cosa e vuoi vedere se è irriducibile lo passi in uno $ZZ_p$ che ti pare comodo, e sfrutti il fatto che
se un polinomio è irriducibile in uno $ZZ_p$ allora è irriducibile in $ZZ$
sottolineo perchè non bisogna fare l'errore di credere che sia un se e solo se.
infatti l'inverso è in generale falso.
a volte comunque può capitarti di trovare una fattorizzazione in uno $ZZ_p$ che vale anche in $ZZ$, ma devi verificarlo volta per volta.
se un polinomio è irriducibile in uno $ZZ_p$ allora è irriducibile in $ZZ$
sottolineo perchè non bisogna fare l'errore di credere che sia un se e solo se.
infatti l'inverso è in generale falso.
a volte comunque può capitarti di trovare una fattorizzazione in uno $ZZ_p$ che vale anche in $ZZ$, ma devi verificarlo volta per volta.
"blackbishop13":
Ma sì, in generale è così, però il punto è che si usa di più il contrario, cioè se hai un polinomio in $ZZ$ o $QQ$ che è la stessa cosa e vuoi vedere se è irriducibile lo passi in uno $ZZ_p$ che ti pare comodo, e sfrutti il fatto che
se un polinomio è irriducibile in uno $ZZ_p$ allora è irriducibile in $ZZ$
vero, purchè nella riduzione in $ZZ_p$ non si alteri il grado del polinomio di $QQ$
"blackbishop13":
@ Lord K
sarà anche un metodo, ma se vedo scritto $x^2+x+1=x+2$$mod3$ non posso che commentare che è falso, perchè come ripeto sono polinomi.
poi se è un metodo per trovare le radici.. ma poi scivi anche $x^2=1$$mod3$ ma qui oltre a essere falso per i polinomi, è anche falso per trovare le radici!
insomma mi pare un po strano..
Tra me e te ci sono molti punti di vista differenti, ma ti rivolgo una domanda... quanti sono i polinomi in $ZZ_3$ in una indeterminata?
"Lord K":La matematica non è questione di punti di vista. La risposta alla tua domanda è infiniti.
Tra me e te ci sono molti punti di vista differenti, ma ti rivolgo una domanda... quanti sono i polinomi in $ZZ_3$ in una indeterminata?
Fortuantamente la matematica è una questione di punti di vista. Pensa al solo fatto di voler basare il tutto sull'assioma della scelta o meno, oppure di costruire geometrie con il postulato delle parallele o meno...
Se pensassimo che non è un punto di vista, perderemmo molte ottime idee...
Se pensassimo che non è un punto di vista, perderemmo molte ottime idee...
Beh, un polinomio e' una sequenza finita di coefficienti $a_0,...,a_t$ (che poi si identifica alla scrittura $a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_tx^t$). Quindi per esempio il polinomio $x^2+x$ su $ZZ_2$ pur assumendo sempre il valore $0$ se valutato, rimane un polinomio non nullo.
Quanto alla scomposizione, mi rivolgo a xsl: non vedo il problema, "da che mondo e' mondo" i polinomi in una variabile si scompongono con Ruffini.
Non mi pare che scomporre un polinomio su $ZZ_p$ sia piu' difficile che scomporlo su $ZZ$ o su $QQ$.
Quanto alla scomposizione, mi rivolgo a xsl: non vedo il problema, "da che mondo e' mondo" i polinomi in una variabile si scompongono con Ruffini.
Non mi pare che scomporre un polinomio su $ZZ_p$ sia piu' difficile che scomporlo su $ZZ$ o su $QQ$.
"Martino":
Beh, un polinomio e' una sequenza finita di coefficienti $a_0,...,a_t$ (che poi si identifica alla scrittura $a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_tx^t$). Quindi per esempio il polinomio $x^2+x$ su $ZZ_2$ pur assumendo sempre il valore $0$ se valutato, rimane un polinomio non nullo.
Quanto alla scomposizione, mi rivolgo a xsl: non vedo il problema, "da che mondo e' mondo" i polinomi in una variabile si scompongono con Ruffini.
Non mi pare che scomporre un polinomio su $ZZ_p$ sia piu' difficile che scomporlo su $ZZ$ o su $QQ$.
Ok quindi in base a ciò che hai affermato (e spero di aver capito) per scomporre il polinomio $x^6-1$ in $ZZ_3$
devo convincermi che tra ${0, 1, 2}$ c'è sicuramente una radice del polinomio.
Poi trovata questa radice, in questo caso $1$, applico Ruffini per trovare la scomposizione di $x^6-1$.
Devo fare questo ragionamento? Oppure non mi basta?
Grazie ancora per la pazienza.
Sì devi fare quel ragionamento. Poi ci possono essere fattori irriducibili di grado maggiore di 1, per trovarli fai come su $ZZ$: scrivi una generica fattorizzazione e uguagli i coefficienti. Ma non c'è davvero nessuna differenza concettuale con la scomposizione su $ZZ$.
"Martino":
Sì devi fare quel ragionamento. Poi ci possono essere fattori irriducibili di grado maggiore di 1, per trovarli fai come su $ZZ$: scrivi una generica fattorizzazione e uguagli i coefficienti. Ma non c'è davvero nessuna differenza concettuale con la scomposizione su $ZZ$.
Ci ho provato ma ho ottenuto scarsi risultati: (ecco quello che ho fatto)
$p(1) = 0 => (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ (con ruffini)
$p(-1) =0 => (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$
$x^4+x^2+1$ diventa $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ aggiungendo e sottraendo $x^2$ ma adesso non so più andare avanti! E' la stessa scomposizione che ho ottenuto in $RR$ e $QQ$
Help!
"Lord K":
Fortuantamente la matematica è una questione di punti di vista. Pensa al solo fatto di voler basare il tutto sull'assioma della scelta o meno, oppure di costruire geometrie con il postulato delle parallele o meno...
Se pensassimo che non è un punto di vista, perderemmo molte ottime idee...
Lascia perdere le sviolinate, è chiaro cosa voglio dire: polinomi e funzioni polinomiali associate sono cose distinte, non è questione di punti di vista. Il concetto di "punto di vista" cui ti riferisci te è qualcosa di molto bello e importante ma che non valeva la pena di scomodare in questo misero contesto. Comunque quando scrivi $x^2 \equiv 1 (mod 3)$ abbi almeno la compiacenza di specificare che non vale per $0$, se non altro per non confondere xsl.
@xsl
Adesso, $x^2+x+1$ ha ancora la radice $1$ (siamo in $ZZ_3$, è qui che essenzialmente lo usi!), e lo stesso $x^2-x+1$ (ha la radice $-1$). Quindi un ultimo ruffini e arrivi a $(x+1)^3(x-1)^3$, e ora hai finito.
$x^2+x+1$ e $x^2-x+1$ con ruffini non riesco proprio a scomporli!
Seguendo il consiglio di Martino:
prendo $x^2+x+1$ e scrivo:
$x^2+x+1 = (x+a_0)(x+b_0) = x^2 + (a_0+b_0)x + a_0*b_0$
so che $(a_0+b_0)=1$ e $(a_0*b_0)=1$ ma non so più andare avanti..
Seguendo il consiglio di Martino:
prendo $x^2+x+1$ e scrivo:
$x^2+x+1 = (x+a_0)(x+b_0) = x^2 + (a_0+b_0)x + a_0*b_0$
so che $(a_0+b_0)=1$ e $(a_0*b_0)=1$ ma non so più andare avanti..
sai che in $ZZ_3$ ci sono soltanto $3$ elementi prova a vedere se sostituendo ad $a_0$ e $b_0$ questi elementi riesci a risolvere il sistema senza entrare in contraddizione...
ES
$a_0+b_0=1$ può voler dire per esempio che $a_0=0$ e $b_0=1$ ma se sostituisci questi valori nella seconda condizione $a_0*b_0$ questo prodotto fa $0$ che è in contraddizione con il polinomio che dobbiamo ottenere... ora prova con gli altri elementi e ricorda che siamo in $ZZ_3$
ES
$a_0+b_0=1$ può voler dire per esempio che $a_0=0$ e $b_0=1$ ma se sostituisci questi valori nella seconda condizione $a_0*b_0$ questo prodotto fa $0$ che è in contraddizione con il polinomio che dobbiamo ottenere... ora prova con gli altri elementi e ricorda che siamo in $ZZ_3$
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