Scomposizione polinomi in $ZZ_p$

[xsl]

Salve ragazzi,

ho dei dubbi riguardo la scomposizione dei polinomi in $ZZ_p$

Ad esempio se voglio scomporre il polinomio $p(x) = 5x^7+30x^5+90x^3+60$ in $ZZ_2$ (basandomi sul modulo p) trovo il polinomio corrispondente, ovvero $bar{p}(x)=x^7$ e dunque è evidentemente scomponibile in quanto la radice è $0$
Fin qui tutto chiaro per me.

Ma se ad esempio considero il polinomio $p(x)=x^6-1$
so che la sua scomposizione in $RR$ e $QQ$ è la seguente: $(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$

ma in questo caso se voglio ridurlo in fattori primi in $ZZ_3$ come devo procedere?

[Martino]

"xsl":$x^2+x+1$ e $x^2-x+1$ con ruffini non riesco proprio a scomporli!

Ma come no?

Un polinomio di secondo grado se non ammette zeri è irriducibile. Quindi cercane gli zeri. Se ne trovi lo fattorizzi con Ruffini, altrimenti ti fermi lì e basta.

Per cercare gli zeri basta che sostituisci i "candidati" e vedi se il risultato è zero... proprio come fai se sei su $ZZ$.

[xsl]

"Martino":[quote="xsl"]$x^2+x+1$ e $x^2-x+1$ con ruffini non riesco proprio a scomporli!

Ma come no?

Un polinomio di secondo grado se non ammette zeri è irriducibile. Quindi cercane gli zeri. Se ne trovi lo fattorizzi con Ruffini, altrimenti ti fermi lì e basta.

Per cercare gli zeri basta che sostituisci i "candidati" e vedi se il risultato è zero... proprio come fai se sei su $ZZ$.[/quote]

$x^2+x+1 = p(x)$
$x^2-x+1 = g(x)$

$p(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$
$p(-1) = (-1)^2 - 1 + 1 = 1$

$g(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$
$g(-1) = (-1)^2 + 1 + 1 = 3$

Non ottengo mai zero..

[Gatto891]

"xsl":

$p(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$

$g(-1) = (-1)^2 + 1 + 1 = 3$

Non ottengo mai zero..

Ti ricordi il campo in cui stai lavorando?

[xsl]

Ops! Vero! Ho perso solo tempo non ho fatto i conti fino alla fine
$3 in [0]_3$

Grazie infinite!

[NightKnight1]

"blackbishop13":
ogni scomposizione in $ZZ[x]$ è valida in uno $ZZ_p[x]$, e ogni scomposizione in $QQ[x]$ vale in $ZZ[x]$...
insomma se scomponi nell'anello più "grande" vale poi in quello "piccolo", credo che valga in generale.
.

Occhio che possono succedere cose non troppo banali. Ad esempio sia $f(X) = 2X$;
$f$ è irriducibile in $QQ[X]$: infatti è l'ideale da lui generato $(2X) = (X)$ è massimale ${QQ[X]} / ((X)) = QQ$.
$f$ non è irriducibile in $ZZ[X]$: infatti lo posso scrivere come prodotto di due elementi non invertibili $2,X$.
La differenza sta nel fatto che $2$ è invertibile in $QQ$ ma non in $ZZ$.

[blackbishop13]

Ok NighKnight, ciò che dici è vero.

però la mia affermazione è:

"ogni scomposizione in $QQ[x]$ vale in $ZZ[x]$"

tu hai trovato un esempio (uno degli infiniti) di un polinomio che è riducibile in $ZZ[x]$ e irriducibile in $QQ[x]$...

non vedere una coimplicazione dove non c'è.

[Gatto891]

Però se non ricordo male (correggetemi se sbaglio) il lemma si può invertire se il polinomio è primitivo in $ZZ[x]$