Scomposizione in fattori irriducibili

[xavier86]

Salve a tutti,qualcuno può spiegarmi come si scompone in fattori irriducibili in z2 e z4 il seguente polinomio?

X^6 + X^4 + X^2 + X


in z2 1 è radice,quindi sono arrivato al seguente punto:

(x+1)(x^5 + x^4 + x) poi come si procede?Grazie

[Kashaman]

il tuo polinomio è questo
$f(x) = x^6+x^4+x^2+x$ consideriamolo in $ZZ_2[X]$
sia $[1]$ che $[0]$ sono radici di $f(X)$
pertanto $f(X)=x(x+1)(x^4+x^3+1)$
ora ti devi chiedere il polinomio $x^4+x^3+1$ è irriducibile in $ZZ_2[x]$?

si verifica facilmente che non ha radici in $ZZ_2$.. quindi una possibile fattorizzazione di $f$ può essere data da..

EDIT sicuro che ti chiede di scomporre anche in $ZZ_4[x]$? mi pare strano

[xavier86]

ciao,grazie della risposta,si chiede la scomposizione anche in z4,posso scomporre il polinomio in 2 polinomi di ordine 2?

[Kashaman]

si. provaci

[Kashaman]

in $ZZ_4[x]$ non so se abbia senso fattorizzarlo, la fattorizzazione, se non sbaglio non sarebbe unica.

[xavier86]

Suppongo venga un qualcosa del tipo

( x^2 + ax + b ) (x^2 +dx + e)

Ma non saprei come continuare per trovare il valore dei coefficienti.....

[Kashaman]

esatto,
tu supponi che
$x^4+x^3+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
quale principio posso usare ora? (magari dopo aver sviluppato il prodotto)?

[xavier86]

Ok dopo il prodotto ho bisogno

X^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd

Ora potrei sfruttare il principio di identità dei polinomi,ma non saprei proprio come procedere..

[Kashaman]

-

[xavier86]

Raccolgo la x?

[Kashaman]

accomuna i fattori comuni,si

[Kashaman]

il fatto che non sia unica in $ZZ_4$ si vede da quanto segue
$f(X)=x(x-1)(x^4+x^3+2x^2+3x+3)=$
$=x(x-3)(x^4+3x^3+2x^2+2x^2+3x+1) in ZZ_4[X]$
i fattori irriducibili del primo sono diversi dal secondo nella seconda uguaglianza

[xavier86]

X ( x^3 + ex^2 + dx + ax^2 + acx + ad + bx + bc) + bd

Ok?

[Kashaman]

altro esempio più evidente, considera in $ZZ_6$ il polinomio
$f(x)=x^2+x$
si ha che $f(X)=x(x+1)=(x-2)(x-3)$

[Kashaman]

non ci siamo
$x^4+x^3+1=X^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd =$
$=x^4+(c+a)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd$
hai capito?
ora applichi il principio di identità

[xavier86]

Si si perfetto,poi?

[Kashaman]

e poi ripassa la teoria.
Quando il polinomio di sinistra è uguale a quello di destra?

[xavier86]

Quando i coefficienti del primo sono uguali al secondo?

[Kashaman]

esatto, e quindi?

[xavier86]

c+a =1
d+ac+b=0
bd=1

[xavier86]

ok l'ultima è be e non bd