Risoluzione Congruenze lineari Semplici
Salve ragazzi,
Sto da poco studiando le congruenze lineari. Mi blocco stranamente su congruenze lineari del tipo:
$ x -= 7 (mod 5) $
Io seguo la definizione e quindi imposto l'equazione diofantea
$ x - 5y = 1 $ essendo il MCD tra 1 e 5 uguale a 1.
Poi mi blocco perchè ovviamente se effettuo la divsione tra 5 e 1 ottengo resto zero e provando a fare delle semplificazioni non riesco ad arrivare ad una soluzione.
Se potete aiutarmi per favore. Grazie
Sto da poco studiando le congruenze lineari. Mi blocco stranamente su congruenze lineari del tipo:
$ x -= 7 (mod 5) $
Io seguo la definizione e quindi imposto l'equazione diofantea
$ x - 5y = 1 $ essendo il MCD tra 1 e 5 uguale a 1.
Poi mi blocco perchè ovviamente se effettuo la divsione tra 5 e 1 ottengo resto zero e provando a fare delle semplificazioni non riesco ad arrivare ad una soluzione.
Se potete aiutarmi per favore. Grazie
Risposte
Le soluzioni dovrebbero essere nella forma $x=7-5y$ per $y in ZZ$
scusami dalla definizione di congruenza dovrebbero essere nella forma $ x = 5y - 7 $ ?
Una equazione congruenziale è nella forma $ax-=b_(mod n)$ che ha soluzione se e solo se $(a,n)=1$. Questo significa
anche che $n|ax-b$ ossia esiste un intero $y in ZZ$ tale che $ax-b=ny$ da cui $ax=b+ny$. Questo in generale, prima però ti devi calcolare l'inverso moltiplicativo al fine di semplificare quell'$a$ al primo termine, ma non è il tuo caso.
anche che $n|ax-b$ ossia esiste un intero $y in ZZ$ tale che $ax-b=ny$ da cui $ax=b+ny$. Questo in generale, prima però ti devi calcolare l'inverso moltiplicativo al fine di semplificare quell'$a$ al primo termine, ma non è il tuo caso.
ok quindi le soluzioni sono nella forma $ x = 7 + 5y $ ? anche se per y = 0 x non è soluzione...
Si, infatti l'equazioni diofantee hanno infinite soluzioni; con $y=0$ però avresti nel tuo caso che $x=7$ ma non soddisferebbe la relazione di congruenza in quanto $5$ non divide $7$.
OT: aiuto, non ricordo più come ottenere in ascimath il simbolo "non divide" che sarebbe lo slash barrato
OT: aiuto, non ricordo più come ottenere in ascimath il simbolo "non divide" che sarebbe lo slash barrato
però ad esempio ho provato ad inserire $ x = 7 (mod 5) $ su walfram alpha e mi da come soluzione 2 che è corretto nella forma di soluzioni che mi hai dato inizialmente $ x = 7 − 5y $ per y = 1. Come l'hai trovata? Perchè se seguo la definizione per me le soluzioni sono del tipo $ x = 7 + 5y $
Te l'ho scritto sopra come si ottiene.
Forse non hai chiaro il concetto di relazione di congruenza?
Forse non hai chiaro il concetto di relazione di congruenza?
"GundamRX91":
Una equazione congruenziale è nella forma $ax-=b_(mod n)$ che ha soluzione se e solo se $(a,n)=1$. Questo significa
anche che $n|ax-b$ ossia esiste un intero $y in ZZ$ tale che $ax-b=ny$ da cui $ax=b+ny$. Questo in generale, prima però ti devi calcolare l'inverso moltiplicativo al fine di semplificare quell'$a$ al primo termine, ma non è il tuo caso.
Se seguo questa definizione che mi hai dato che è quella di congruenza lineare ottengo $ x = 7+5y$ e non $ x=7 - 5y$ scusami ma è un argomento nuovo per me
EDIT:
Scusami ora ho capito sbagliavo nel costruire l'equazione diofantea. Praticamente partendo dalla congruenza lineare l'equazione diofantea è $ ax + ny = b $ invece io la impostavo come $ ax - ny = b $ dannati segni!
Esatto
Comunque nel caso chiedi pure
Comunque nel caso chiedi pure
Grazie per la disponibilità ... comunque se considerò la soluzione 2 questa è soluzione se la congruenza lineare la imposto come $ 7 -= x = 2 (mod 5) $ e non se considero l'originale $ x -= 7 (mod 5) $
... comunque se considerò la soluzione 2 questa è soluzione se la congruenza lineare la imposto come $ 7 -= x = 2 (mod 5) $ e non se considero l'originale $ x -= 7 (mod 5) $
qualcuno può aiutarmi?
Scusami, qual'è il dubbio?
"LS005":
Se considerò la soluzione 2 questa è soluzione se la congruenza lineare la imposto come $ 7 -= x = 2 (mod 5) $ e non se considero l'originale $ x -= 7 (mod 5) $
Questo che ti quoto
La congruenza originale, $x-=7_(mod 5)$ dice semplicemente che l'intero $5$ divide la differenza tra $x$ e $7$, che altro
non è che la definizione di relazione di congruenza, ok? Quindi significa che $x-7$ è un multiplo di $5$: $x-7=5y$ per $y in ZZ$, e infine possiamo scrivere che $x=7+5y$. Se questo è chiaro, allora la tua congruenza algebrica ammette infinite soluzioni che sono date da $ZZ$; infatti:
$AAy in ZZ$ hai che $x=7+5y$
per esempio, per $y=1$, $x=7+5=12$, ma $12-=7_(mod5)$ in quanto $5|12-7=5$ quindi $5/5=1$
per $y=2$, $x=7+5*2=17$, ma $17-=7_(mod 5)$ in quanto $5|17-7=10$ quindi $10/5=2$
per $y=-2$, $x=7+5*(-2)=7-10=-3$, ma $-3-=7_(mod 5)$ in quanto $5|-3-7=-10$ quindi $-10/5=-2$
e così via. Spero di non aver scritto fesserie e, soprattutto, di aver risposto al tuo dubbio
altrimenti sii paziente e riprova 
non è che la definizione di relazione di congruenza, ok? Quindi significa che $x-7$ è un multiplo di $5$: $x-7=5y$ per $y in ZZ$, e infine possiamo scrivere che $x=7+5y$. Se questo è chiaro, allora la tua congruenza algebrica ammette infinite soluzioni che sono date da $ZZ$; infatti:
$AAy in ZZ$ hai che $x=7+5y$
per esempio, per $y=1$, $x=7+5=12$, ma $12-=7_(mod5)$ in quanto $5|12-7=5$ quindi $5/5=1$
per $y=2$, $x=7+5*2=17$, ma $17-=7_(mod 5)$ in quanto $5|17-7=10$ quindi $10/5=2$
per $y=-2$, $x=7+5*(-2)=7-10=-3$, ma $-3-=7_(mod 5)$ in quanto $5|-3-7=-10$ quindi $-10/5=-2$
e così via. Spero di non aver scritto fesserie e, soprattutto, di aver risposto al tuo dubbio
altrimenti sii paziente e riprova
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