[Risolto]Esiste questo teorema?
$ (1+3x)^3 $
Premessa:
avevo sviluppato questo cubo di binomio un centinaio di volte, sempre con x intero e positivo,
su un foglio elettronico, affianco mio figlio sommava le cifre dei risultati a mente,
cioè trovava la radica numerica (lui dice per allenamento...) e mi fa notare
che al penultimo passaggio il risultato è sempre una potenza di 10 , da 10 alla prima in poi...
Ho fatto circa 200 prove (comunque una quantità limitata) con diversi valori di x,
ottenendo sempre il 10.
Vi chiedo:
esiste una teoria o un teorema che affermi e dimostri che la radice numerica di questo binomio
sia sempre 1, e alla penultima riduzione sia sempre 10,
per qualunque valore di x (positivo, intero) [size=150]?[/size]
(Sono esordiente nel Forum, se ho sbagliato categoria prego i moderatori di aggiustare, grazie)
Premessa:
avevo sviluppato questo cubo di binomio un centinaio di volte, sempre con x intero e positivo,
su un foglio elettronico, affianco mio figlio sommava le cifre dei risultati a mente,
cioè trovava la radica numerica (lui dice per allenamento...) e mi fa notare
che al penultimo passaggio il risultato è sempre una potenza di 10 , da 10 alla prima in poi...
Ho fatto circa 200 prove (comunque una quantità limitata) con diversi valori di x,
ottenendo sempre il 10.
Vi chiedo:
esiste una teoria o un teorema che affermi e dimostri che la radice numerica di questo binomio
sia sempre 1, e alla penultima riduzione sia sempre 10,
per qualunque valore di x (positivo, intero) [size=150]?[/size]
(Sono esordiente nel Forum, se ho sbagliato categoria prego i moderatori di aggiustare, grazie)
Risposte
[quote=vict85]
Comincio a pensare che tu e axpgn siate dei buontemponi, ma son contento così che in tempo di virus ogni modo per divagare e allentare la tensione fa bene a tutti quanti
Questa volta però seriamente... dai, questo "affare" qua \((1+3x)^3\equiv 1\pmod{9}\) a parole, solo con le parole, come si dice?
E sempre usando solo le parole come si dice che la radice numerica del risultato dell'affare è sempre $1$ per qualsiasi $x$ positivo intero?
P.S.
Se lo scrivete in arabo o indiano costruisco una fionda e faccio tiro a segno con le lampadine che avete sotto il nik 
Comincio a pensare che tu e axpgn siate dei buontemponi, ma son contento così che in tempo di virus ogni modo per divagare e allentare la tensione fa bene a tutti quanti
Questa volta però seriamente... dai, questo "affare" qua \((1+3x)^3\equiv 1\pmod{9}\) a parole, solo con le parole, come si dice?
E sempre usando solo le parole come si dice che la radice numerica del risultato dell'affare è sempre $1$ per qualsiasi $x$ positivo intero?
P.S.
Se lo scrivete in arabo o indiano costruisco una fionda e faccio tiro a segno con le lampadine che avete sotto il nik
Allora ... se tu prendi un numero intero e sommi le sue cifre, e poi lo rifai con il risultato che ottieni e poi ancora e poi ancora e poi ancora, prima o poi arrivi ad ottenere una sola cifra, ok?
Per esempio $17486249637=57=12=3$
Quindi qualsiasi $x$ della tua formula alla fine si riduce sempre ad una delle nove cifre (zero escluso perché può essere generato solo dallo zero stesso), ok?
Perciò questa formula $(1+3x)^3$, invece di studiarla per infiniti casi, ci riduciamo a studiarla solo per nove casi, che sono quelli che ho già postato.
Prova a rileggerli e se c'è qualche dubbio, chiedi.
Cordialmente, Alex
Per esempio $17486249637=57=12=3$
Quindi qualsiasi $x$ della tua formula alla fine si riduce sempre ad una delle nove cifre (zero escluso perché può essere generato solo dallo zero stesso), ok?
Perciò questa formula $(1+3x)^3$, invece di studiarla per infiniti casi, ci riduciamo a studiarla solo per nove casi, che sono quelli che ho già postato.
Prova a rileggerli e se c'è qualche dubbio, chiedi.
Cordialmente, Alex
"Ilquadrato":
Questa volta però seriamente... dai, questo "affare" qua \((1+3x)^3\equiv 1\pmod{9}\) a parole, solo con le parole, come si dice?
E sempre usando solo le parole come si dice che la radice numerica del risultato dell'affare è sempre $1$ per qualsiasi $x$ positivo intero?
Mi sembra che te l'abbiano detto: se tu hai un numero $n$ qualsiasi e vuoi sapere qual è la radice numerica, non c'è bisogno di svolgere tutte le operazioni: basta guardare quanto vale il resto della divisione per 9. Esempio: vuoi sapere qual è la radice numerica di $1052378$? Esegui la divisione per $9$, troverai come resto $8$. Quindi la radice numerica è $8$, non c'è bisogno di svolgere i conti. Se prendi un numero della forma $3x+1$ e lo elevi al cubo, il resto della divisione per 9 sarà sempre 1, quindi la radice numerica è 1. Questo fatto non ha motivo di essere chiamato teorema, è un esercizio di algebra del primo anno.
axpgn
Ho capito tutto, sono d'accordo su tutto, e ringrazio sinceramente tutti.
Solo per un garbo dialettico:
" Il triplo di un numero intero più uno, elevato al cubo, ha un risultato che ha come radice numerica $1$".
Questa frase afferma il vero, ma è il miglior modo di esprimere il concetto?
Si può dire diversamente, in maniera più piacevole per l'ascoltatore?
A me non convince tanto...
Ho capito tutto, sono d'accordo su tutto, e ringrazio sinceramente tutti.
Solo per un garbo dialettico:
" Il triplo di un numero intero più uno, elevato al cubo, ha un risultato che ha come radice numerica $1$".
Questa frase afferma il vero, ma è il miglior modo di esprimere il concetto?
Si può dire diversamente, in maniera più piacevole per l'ascoltatore?
A me non convince tanto...
Perché no? Mi sembra sintetica oltreché precisa, poi certamente si può dire in mille maniere, basta saperci fare con le parole ... 
" Il triplo di un numero intero più uno, elevato al cubo, ha un risultato che ha come radice numerica 1".
Leggendola vediamo la virgola tra uno, elevato mentre parlando forse sarebbe meglio
" Il triplo di un numero intero più uno il tutto elevato al cubo ha un risultato che ha come radice numerica 1".
Bho??
Leggendola vediamo la virgola tra uno, elevato mentre parlando forse sarebbe meglio
" Il triplo di un numero intero più uno il tutto elevato al cubo ha un risultato che ha come radice numerica 1".
Bho??
Se eleviamo al cubo il triplo di un numero intero aumentato di una unità, otterremo sempre che la radice numerica del risultato di tale operazione è l'unità.
Ti piace di più?
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[ot]Il problema che al momento mi affligge è: capire perché qualcuno che vuole scrivere un eserciziario per le medie o i primi anni delle superiori si prenda la briga di inventarsi tutta una biografia ed una storia sui pargoli prodigio al posto di chiedere semplicemente una mano...[/ot]
"gugo82":
[ot]Il problema che al momento mi affligge è: capire perché qualcuno che vuole scrivere un eserciziario per le medie o i primi anni delle superiori si prenda la briga di inventarsi tutta una biografia ed una storia sui pargoli prodigio al posto di chiedere semplicemente una mano...[/ot]
[ot]Il qualcuno che ha generato "il problema che ti affligge" sono io, sono in dovere di correre ai ripari.
[ot] Se anche mi avessi chiesto di chiarire la faccenda per una tua semplice curiosità non ti avrei negato la cortesia.
Provvedo a chiarire:
nel post di apertura ho usato la parola "figlio" per far capire che quell'osservazione sulla radice numerica non era farina del mio sacco, non conoscevo neanche l'esistenza di tale operazione e stavo facendo tutt'altra cosa.
Un mitomane sparafrottole in cerca di adulazione avrebbe usato la parola "pargolo", probabilmente, affiancandola a qualche concetto molto più complesso che si può reperire in rete.
Mi sono attenuto semplicemente ai fatti, sono consapevole che tu non abbia dei solidi motivi per credermi sulla parola, però mi tranquillizza la certezza che non abbia neanche un solo sgangherato motivo per dimostrare un qualsiasi mio basso comportamento.
Io ho solo delle nozioni rudimentali di Matematica, in mezzo a questa mia miseria c'è il concetto che una teoria deve essere dimostrata altrimenti è fuffa; proprio per questo motivo mi sono rivolto al Forum, per chiedere la dimostrazione di quella che mi sembrava potesse essere una teoria verificabile.
L'esito è stato positivo grazie alla disponibilità di alcuni forumisti, che ho sinceramente ringraziato per l'attenzione e tempo che mi hanno dedicato.
Mi hanno mostrato varie dimostrazioni, ma soprattutto, con il loro sostegno e senza suggerimenti espliciti, hanno messo un ignorante come me in condizioni di riuscire a formulare l'enunciato della suddetta teoria. Tutto questo in meno di tre pagine di commenti. Voglio elogiare questo metodo che avete usato nei miei riguardi, perché se mi aveste messo nel primo commento la dimostrazione e l'enunciato sarebbe finita di colpo, invece mi avete guidato fino ad arrivare all'enunciato da solo anche se tutti voi lo conoscevate.
Grazie ancora a tutti e saluti.
P.S.
Credo sia il caso di non continuare con i fuori tema, resto eventualmente disponibile per i M.P.
Ilquadrato[/ot]
Sconcertante rivelazione quindi: non hai un figlio
Deduzione errata: non è suo figlio il "figlio" citato nell'OP ma ciò non implica che non abbia figli
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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