[Risolto]Esiste questo teorema?
$ (1+3x)^3 $
Premessa:
avevo sviluppato questo cubo di binomio un centinaio di volte, sempre con x intero e positivo,
su un foglio elettronico, affianco mio figlio sommava le cifre dei risultati a mente,
cioè trovava la radica numerica (lui dice per allenamento...) e mi fa notare
che al penultimo passaggio il risultato è sempre una potenza di 10 , da 10 alla prima in poi...
Ho fatto circa 200 prove (comunque una quantità limitata) con diversi valori di x,
ottenendo sempre il 10.
Vi chiedo:
esiste una teoria o un teorema che affermi e dimostri che la radice numerica di questo binomio
sia sempre 1, e alla penultima riduzione sia sempre 10,
per qualunque valore di x (positivo, intero) [size=150]?[/size]
(Sono esordiente nel Forum, se ho sbagliato categoria prego i moderatori di aggiustare, grazie)
Premessa:
avevo sviluppato questo cubo di binomio un centinaio di volte, sempre con x intero e positivo,
su un foglio elettronico, affianco mio figlio sommava le cifre dei risultati a mente,
cioè trovava la radica numerica (lui dice per allenamento...) e mi fa notare
che al penultimo passaggio il risultato è sempre una potenza di 10 , da 10 alla prima in poi...
Ho fatto circa 200 prove (comunque una quantità limitata) con diversi valori di x,
ottenendo sempre il 10.
Vi chiedo:
esiste una teoria o un teorema che affermi e dimostri che la radice numerica di questo binomio
sia sempre 1, e alla penultima riduzione sia sempre 10,
per qualunque valore di x (positivo, intero) [size=150]?[/size]
(Sono esordiente nel Forum, se ho sbagliato categoria prego i moderatori di aggiustare, grazie)
Risposte
Non penso che esita un teorema per una cosa del genere, si usa quel termine per risultati più riutilizzabili. Comunque, se è vero, sarà già stato scoperto. È comunque apprezzabile che tuo figlio lo abbia scoperto da solo.
Per dimostrarlo userei l'aritmetica modulare e i prodotti notevoli.
Per dimostrarlo userei l'aritmetica modulare e i prodotti notevoli.
Non ho capito, provo a tradurre: hai preso il polinomio \((1+3x)^3\), lo hai valutato in \(n_1,\dots, n_{100}\), dove ogni \(n_i\) è un intero positivo, e quando sommi le cifre di ogni \(p(n_i)\), iterativamente, fino ad arrivare ad un numero a una cifra (?), al penultimo passaggio ti viene sempre \(10^{k_i}\)?
"vict85":
Non penso che esita un teorema per una cosa del genere, si usa quel termine per risultati più riutilizzabili. Comunque, se è vero, sarà già stato scoperto. È comunque apprezzabile che tuo figlio lo abbia scoperto da solo.
Per dimostrarlo userei l'aritmetica modulare e i prodotti notevoli.
Sono convinto che qualcuno lo abbia dimostrato, ma quando?
È proprio questa la mia curiosità: sapere quando, ma già sapere chi l'ha dimostrato permette di risalire al periodo.
Di certo so solo che è stato usato poco dopo il Fibonacci, XIII* Sec.
Potresti specificare più precisamente cosa intendi con la radice numerica di un numero e di quale procedimento stai parlando? Perchè io non l'ho capito.
"fulcanelli":
Non ho capito, provo a tradurre: hai preso il polinomio \((1+3x)^3\), lo hai valutato in \(n_1,\dots, n_{100}\), dove ogni \(n_i\) è un intero positivo, e quando sommi le cifre di ogni \(p(n_i)\), iterativamente, fino ad arrivare ad un numero a una cifra (?), al penultimo passaggio ti viene sempre \(10^{k_i}\)?
Esattamente come scrivi tu.
Io non sono un matematico e mi sono espresso come meglio ho potuto;
sono muratore restauratore e uso questo binomio per computare le successioni dei conci nelle murature
medievali. Per questo motivo sto cercando di sapere se sia apparso da noi al tempo di Fibonacci, ho notato che era stato usato dagli architetti dell'epoca, oppure potrebbe essere molto più antico. Ma io non sono in grado di cercarlo... Se qualcuno trova chi l'ha dimostrato si può risalire all'epoca, almeno al secolo.
Confido in voi
Io non ho capito bene cosa intendi ma se ho capito la "traduzione" che ne ha fatto fulcanelli si spiega così ...
Quando tu fai il prodotto di due interi e somme le cifre del risultato, otterresti lo stesso risultato se sommassi prima le cifre dei fattori e poi le moltiplicassi; per esempio $732*57=41724 \ ->\ 18 \ -> \ 9$ oppure $3*3=9$
Quando la somma delle cifre è $9$ qualsiasi prodotto per quel $9$ darà come risultato $9$.
Ora quel cubo di binomio sviluppato, ha tutti termini che contengono $9$ come fattore tranne l'uno finale che sommato a $9$ fa appunto dieci ... IMHO.
Cordialmente, Alex
P.S. Questo "fatto" l'avevo già postato anni fa, quando iniziai a frequentare il Forum, e orsoulx mi rimbrotto forte perché diceva che avevo solo riscoperto la prova del nove ma io gli feci notare che questa "cosa" vale ANCHE e prima di tutto per le addizioni non solo per le moltiplicazioni (e ne diedi pure una dimostrazione che mi inventai lì per lì, non so come ...
)
Quando tu fai il prodotto di due interi e somme le cifre del risultato, otterresti lo stesso risultato se sommassi prima le cifre dei fattori e poi le moltiplicassi; per esempio $732*57=41724 \ ->\ 18 \ -> \ 9$ oppure $3*3=9$
Quando la somma delle cifre è $9$ qualsiasi prodotto per quel $9$ darà come risultato $9$.
Ora quel cubo di binomio sviluppato, ha tutti termini che contengono $9$ come fattore tranne l'uno finale che sommato a $9$ fa appunto dieci ... IMHO.
Cordialmente, Alex
P.S. Questo "fatto" l'avevo già postato anni fa, quando iniziai a frequentare il Forum, e orsoulx mi rimbrotto forte perché diceva che avevo solo riscoperto la prova del nove ma io gli feci notare che questa "cosa" vale ANCHE e prima di tutto per le addizioni non solo per le moltiplicazioni (e ne diedi pure una dimostrazione che mi inventai lì per lì, non so come ...
)
Se ho capito bene si tratta sostanzialmente della "prova del 9" delle scuole elementari.
Come detto da axpgn \((1+3x)^3 = 1 + (3x)^3 + 3(3x) + 3(3x)^2 = 1 + 9( 3x^3 + x + 3x^2) \) che modulo 9 dà ovviamente \(1\).
Per la parte relativa al dare sempre \(10\) al penultimo passaggio, non saprei come modellarlo. Tra l'altro dipende un po' da come fai le somme. Per esempio, se trovassi \(46\), faresti ancora un passaggio prima di dire \(1\)? E per \(19\)?
Come detto da axpgn \((1+3x)^3 = 1 + (3x)^3 + 3(3x) + 3(3x)^2 = 1 + 9( 3x^3 + x + 3x^2) \) che modulo 9 dà ovviamente \(1\).
Per la parte relativa al dare sempre \(10\) al penultimo passaggio, non saprei come modellarlo. Tra l'altro dipende un po' da come fai le somme. Per esempio, se trovassi \(46\), faresti ancora un passaggio prima di dire \(1\)? E per \(19\)?
[quote=axpgn]Io non ho capito bene cosa intendi ma se ho capito la "traduzione" che ne ha fatto fulcanelli si spiega così ...
Quando tu fai il prodotto di due interi e somme le cifre del risultato, otterresti lo stesso risultato se sommassi prima le cifre dei fattori e poi le moltiplicassi; per esempio $732*57=41724 \ ->\ 18 \ -> \ 9$ oppure $3*3=9$
Quando la somma delle cifre è $9$ qualsiasi prodotto per quel $9$ darà come risultato $9$.
Ora quel cubo di binomio sviluppato, ha tutti termini che contengono $9$ come fattore tranne l'uno finale che sommato a $9$ fa appunto dieci ... IMHO.
Grazie Alex,
credo tu abbia ragione ma non ho capito bene una parte, vorrei chiederti la gentilezza di sviluppare passo passo il binomio assumendo x=7 e poi mostrarmi il procedimento sommando prima le cifre dei fattori per poi moltiplicarle.
B) resta aperta la questione di quanto può essere antica la dimostrazione, capisco che è un quesito di interesse storico ma comunque inerente la storia della matematica.
Quando tu fai il prodotto di due interi e somme le cifre del risultato, otterresti lo stesso risultato se sommassi prima le cifre dei fattori e poi le moltiplicassi; per esempio $732*57=41724 \ ->\ 18 \ -> \ 9$ oppure $3*3=9$
Quando la somma delle cifre è $9$ qualsiasi prodotto per quel $9$ darà come risultato $9$.
Ora quel cubo di binomio sviluppato, ha tutti termini che contengono $9$ come fattore tranne l'uno finale che sommato a $9$ fa appunto dieci ... IMHO.
Grazie Alex,
credo tu abbia ragione ma non ho capito bene una parte, vorrei chiederti la gentilezza di sviluppare passo passo il binomio assumendo x=7 e poi mostrarmi il procedimento sommando prima le cifre dei fattori per poi moltiplicarle.
B) resta aperta la questione di quanto può essere antica la dimostrazione, capisco che è un quesito di interesse storico ma comunque inerente la storia della matematica.
@vict85
L'ho scritto: questo "fatto" vale anche per l'addizione, anzi viene PRIMA della "prova del 9" della moltiplicazione e non necessita neppure che "esista" la moltiplicazione (come cercavo di far capire a suo tempo ad orsoulx ovvero che è qualcosa di analogo ma diverso ed antecedente alla "prova del 9")
Nello sviluppo di quel cubo di binomio tutti i termini tranne l'uno finale hanno il nove come fattore ne consegue che la somma (ripetuta) delle loro cifre darà sempre nove, ma non solo, per quanto ho detto, la somma (ripetuta) di tutti questi nove darà anch'essa nove e quindi sommandovi poi l'uno finale darà dieci ovvero un uno finale e definitivo.
Volendo si possono elencare tutti i casi ovvero ogni $x$ intera, sommando tutte le cifre darà una delle nove cifre (lo zero no perché dovrebbe essere zero per darlo, però è anche vero che il nove si comporta come lo zero
), quindi $3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=3, 3*5=6, 3*6=9, 3*7=3, 3*8=6, 3*9=9$ da cui $1+3=4, 1+6=7, 1+9=1$ che al cubo danno $4^3=64=10=1, 7^3=343=10=1, 10^3=1000=1$.
CVD
Cordialmente, Alex
L'ho scritto: questo "fatto" vale anche per l'addizione, anzi viene PRIMA della "prova del 9" della moltiplicazione e non necessita neppure che "esista" la moltiplicazione (come cercavo di far capire a suo tempo ad orsoulx ovvero che è qualcosa di analogo ma diverso ed antecedente alla "prova del 9")
Nello sviluppo di quel cubo di binomio tutti i termini tranne l'uno finale hanno il nove come fattore ne consegue che la somma (ripetuta) delle loro cifre darà sempre nove, ma non solo, per quanto ho detto, la somma (ripetuta) di tutti questi nove darà anch'essa nove e quindi sommandovi poi l'uno finale darà dieci ovvero un uno finale e definitivo.
Volendo si possono elencare tutti i casi ovvero ogni $x$ intera, sommando tutte le cifre darà una delle nove cifre (lo zero no perché dovrebbe essere zero per darlo, però è anche vero che il nove si comporta come lo zero
), quindi $3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=3, 3*5=6, 3*6=9, 3*7=3, 3*8=6, 3*9=9$ da cui $1+3=4, 1+6=7, 1+9=1$ che al cubo danno $4^3=64=10=1, 7^3=343=10=1, 10^3=1000=1$.CVD
Cordialmente, Alex
Per quanto riguarda l'antichità, io so che Dudeney l'ha usata nei suoi giochetti e la chiamava, mi par di ricordare, "digital root" quindi più di un secolo fa.
"vict85":
Per la parte relativa al dare sempre \(10\) al penultimo passaggio, non saprei come modellarlo. Tra l'altro dipende un po' da come fai le somme. Per esempio, se trovassi \(46\), faresti ancora un passaggio prima di dire \(1\)? E per \(19\)?
La radice numerica è il numero monocifra che si ottiene dopo uno o più passaggi (restrizioni?) di somma delle cifre.
Nel caso di questo binomio la radice è sempre 1 che si può ottenere solo dal numero 10. Nei casi da me osservati il 10 l'ho ottenuto a volte da 19 oppure 28 oppure 37, non mi si sono presentati altri numeri a due cifre oltre questi, ma parlo di sole 200 osservazioni. Credo che anche questo possa avere una spiegazione.
Hai letto quanto ho scritto? È ok?
$(1+3*7)^3=22^3=10648\ ->\ 1+0+6+4+8=19\ -> \ 1+9=10\ -> \ 1+0=\1$
$(1+3*7)^3=1^3+3*3*7+3*3^2*7^2+3^3*7^3=1+63+1323+9261=1+10647=10648$
$1+63+1323+9261\ -> \ 1+9+9+18=1+9+9+9=1+27=1+9=10=1$
$(1+3*7)^3=1^3+3*3*7+3*3^2*7^2+3^3*7^3=1+63+1323+9261=1+10647=10648$
$1+63+1323+9261\ -> \ 1+9+9+18=1+9+9+9=1+27=1+9=10=1$
"axpgn":
Hai letto quanto ho scritto? È ok?
Ho letto e sono d'accordo con te, volevo essere sicuro di non aver fatto confusione io.
Ora, senza elencare i casi possibili (io uso x con 3 o 4 cifre) qual'è l'enunciato?
Abbi pazienza so' 'gnorante...
Ma hai letto anche tutta la pagina precedente? Perché mi viene il dubbio che tu ti sia perso qualcosa ...
Eventualmente chiedi pure però cerca di essere più preciso in modo che possiamo esserlo anche noi
Eventualmente chiedi pure però cerca di essere più preciso in modo che possiamo esserlo anche noi
"axpgn":
Ma hai letto anche tutta la pagina precedente? Perché mi viene il dubbio che tu ti sia perso qualcosa ...
L'enunciato del teorema di Pitagora recita: "in un triangolo rettangolo" "l'area del quadrato costruito... etc."
Ci sono varie dimostrazioni di quanto enunciato.
Nel nostro caso cosa dobbiamo dire?
Nei post precedenti tu hai dato la dimostrazione che "....." ? Non possiamo affermare che la radice numerica del risultato è 1 per qualsiasi cubo di binomio, bisogna definire a parole $ (3x+1)^3 $
Se no lo ha mai fatto nessuno lo chiameremo Teorema di Alex, che recita: "......"
A questo punto servono solo le parole con le quali si dichiara che cosa s’intende dimostrare (tesi) e sotto quali condizioni preliminari (ipotesi).
Grazie per la pazienza Alex.
"Ilquadrato":
[quote="axpgn"]Ma hai letto anche tutta la pagina precedente? Perché mi viene il dubbio che tu ti sia perso qualcosa ...
L'enunciato del teorema di Pitagora recita: "in un triangolo rettangolo" "l'area del quadrato costruito... etc."
Ci sono varie dimostrazioni di quanto enunciato.
Nel nostro caso cosa dobbiamo dire?
Nei post precedenti tu hai dato la dimostrazione che "....." ? Non possiamo affermare che la radice numerica del risultato è 1 per qualsiasi cubo di binomio, bisogna definire a parole $ (3x+1)^3 $ e che $x$ sia intero e positivo, etc.
Se no lo ha mai fatto nessuno lo chiameremo Teorema di Alex, che recita: "......"
A questo punto servono solo le parole con le quali si dichiara che cosa s’intende dimostrare (tesi) e sotto quali condizioni preliminari (ipotesi).
Grazie per la pazienza Alex.[/quote]
La radice numerica è una variante storica e, tutto sommato, abbandonata dall'aritmetica modulo 9. L'unica differenza è che in \(\mathbb{Z}_9\), \(0\) e \(9\) sono accumulati insieme.
Nota inoltre che il suo calcolo non è univoco in giro per il mondo, per esempio nel mondo anglosassone si escludono i 9 dalla somma.
Detto questo, dimostrare che \((1+3x)^3\equiv 1\pmod{9}\) è un banale esercizio di algebra modulare (come ho scritto sopra). Non tutti i risultati sono degni di chiamarsi teoremi, sono quelli che servono a qualcosa. E quello non ha alcuno scopo pratico. In caso contrario chiameremmo teoremi e metteremo un nome a tutti gli esercizi degli eserciziari. Tra l'altro, non tutti i teoremi hanno nomi neanche nei manuali.
Si poteva comunque dimostrare in modo ancora più semplice: infatti per ogni \(n, m\in \mathbb{N}\), \([n^3]_9 \equiv [n]_9^3\) e \([n+m]_9 = [[n]_9 + [m]_9]_9\) dove \([\bullet]_9\) è il resto della divisione per \(9\). In altre parole, ti basta dimostrare che \(1^3 = 1\equiv 1\pmod{9}\), \(4^3 = 64 \equiv 1\pmod{9}\) e \(7^3 = 343 \equiv 1\pmod{9}\) e lo hai dimostrato per tutti.
Detto questo, se Fibonacci usava già la radice numerica, allora quasi sicuramente era anche conosciuta da indiani e arabi. Siccome prima di Fibonacci si usavano i numeri romani per fare i calcoli, e la radice numerica è strettamente connessa al sistema posizionale, chiunque lo abbia notato per primo è probabilmente indiano o appartenente al mondo arabo (che a quel tempo comprendeva una vasta area geografica).
Nota inoltre che il suo calcolo non è univoco in giro per il mondo, per esempio nel mondo anglosassone si escludono i 9 dalla somma.
Detto questo, dimostrare che \((1+3x)^3\equiv 1\pmod{9}\) è un banale esercizio di algebra modulare (come ho scritto sopra). Non tutti i risultati sono degni di chiamarsi teoremi, sono quelli che servono a qualcosa. E quello non ha alcuno scopo pratico. In caso contrario chiameremmo teoremi e metteremo un nome a tutti gli esercizi degli eserciziari. Tra l'altro, non tutti i teoremi hanno nomi neanche nei manuali.
Si poteva comunque dimostrare in modo ancora più semplice: infatti per ogni \(n, m\in \mathbb{N}\), \([n^3]_9 \equiv [n]_9^3\) e \([n+m]_9 = [[n]_9 + [m]_9]_9\) dove \([\bullet]_9\) è il resto della divisione per \(9\). In altre parole, ti basta dimostrare che \(1^3 = 1\equiv 1\pmod{9}\), \(4^3 = 64 \equiv 1\pmod{9}\) e \(7^3 = 343 \equiv 1\pmod{9}\) e lo hai dimostrato per tutti.
Detto questo, se Fibonacci usava già la radice numerica, allora quasi sicuramente era anche conosciuta da indiani e arabi. Siccome prima di Fibonacci si usavano i numeri romani per fare i calcoli, e la radice numerica è strettamente connessa al sistema posizionale, chiunque lo abbia notato per primo è probabilmente indiano o appartenente al mondo arabo (che a quel tempo comprendeva una vasta area geografica).
"vict85":
Detto questo, se Fibonacci usava già la radice numerica, allora quasi sicuramente era anche conosciuta da indiani e arabi. Siccome prima di Fibonacci si usavano i numeri romani per fare i calcoli, e la radice numerica è strettamente connessa al sistema posizionale, chiunque lo abbia notato per primo è probabilmente indiano o appartenente al mondo arabo (che a quel tempo comprendeva una vasta area geografica).
Così dice Mathworld (sempre il caro Wolfram)
Comunque, non è vero che non serve a niente, ci si possono fare tanti giochetti (come insegnava Dudeney)
(sei troppo serio )Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="vict85"]Detto questo, se Fibonacci usava già la radice numerica, allora quasi sicuramente era anche conosciuta da indiani e arabi. Siccome prima di Fibonacci si usavano i numeri romani per fare i calcoli, e la radice numerica è strettamente connessa al sistema posizionale, chiunque lo abbia notato per primo è probabilmente indiano o appartenente al mondo arabo (che a quel tempo comprendeva una vasta area geografica).
Così dice Mathworld (sempre il caro Wolfram)
Comunque, non è vero che non serve a niente, ci si possono fare tanti giochetti (come insegnava Dudeney)
(sei troppo serio )Cordialmente, Alex[/quote]
Con inutile mi riferivo al fatto che \( (1+3x)^3\equiv 1\pmod{9} \), la radice numerica ha una sua utilità.
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