Ridurre polinomio in R[x]

[thedarkhero]

Sia $f(x)=x^5-1$.
Una radice razionale (e quindi anche reale) è sicuramente $1$.
$f(x)=(x-1)*(x^4+x^3+x^2+x+1)$.
Il primo fattore è irriducibile perchè di grado 1 ma il secondo è sicuramente riducibile perchè di grado maggiore di 2...ma come lo fattorizzo?

[rubik2]

avevo scritto una stupidaggine, guarda qua il tuo polinomio dovrebbe essere irriducibile

[thedarkhero]

Ma i polinomi irriducibili in $RR[x]$ non sono tutti e soli i polinomi di grado 1 e i polinomi di grado 2 con delta negativo?

[salvozungri]

"thedarkhero":Ma i polinomi irriducibili in $RR[x]$ non sono tutti e soli i polinomi di grado 1 e i polinomi di grado 2 con delta negativo?

Sì hai ragione, infatti un modo per scomporre $r(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ è determinare due polinomi di grado 2 $p(x), q(x)\in RR[x]$ tali che $p(x)*q(x)=r(x)$
In questo caso ad esempio puoi supporre
$p(x)= x^2+a x+ b$, con $a, b\in RR$
$q(x)=x^2+\alpha x+\beta$ con $\alpha, \beta in RR$
Moltiplichi i polinomi, e uguagli ad $r(x)$ determinando così le incognite $a,b, \alpha, \beta$

[rubik2]

"thedarkhero":Ma i polinomi irriducibili in $RR[x]$ non sono tutti e soli i polinomi di grado 1 e i polinomi di grado 2 con delta negativo?

non devo rispondere prima di aver fatto colazione , riscrivo quello ho cancellato, i conti a me non tornano però magari qualche idea giusta c'è


le radici di $x^4+x^3+x^2+x+1$ sono anche radici di $x^5-1$ quindi sono radici quinte dell'unità (escludendo 1). Queste quattro radici saranno a due a due coniugate, dette $mu,lambda$ due non coniugate tra loro
i polinomi $(x-mu)(x-bar(mu))$ e $(x-lambda)(x-bar(lambda))$ sono a coefficienti reali e fattorizzano il tuo polinomio

edit: i conti mi tornano (avevo sbagliato 2 segni)

[thedarkhero]

Ho $(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)=x^4+x^3+x^2+x+1$ quindi:
$\{(A+C=1),(AC+B+D=1),(AD+BC=1),(BD=1):}$
ma non riesco a risolvere il sistema...

[rubik2]

le radici quinte dell'unità diverse da 1 sono $(sqrt(5)-1)/4 \pm sqrt(((5+sqrt(5)) / 8 )i$ e $(-sqrt(5)-1)/4 \pm sqrt(((5-sqrt(5)) / 8 )$

per calcolare $(x-mu)(x-bar(mu))$ basta prendere due volte la parte reale della prima radice quindi $(sqrt(5)-1)/2$ e il modulo che è 1 (sono radici dell'unità)

viene $x^2-(sqrt(5)-1)/2x+1$ e per le altre due radici coniugate $x^2+(sqrt(5)+1)/2x+1$

[Studente Anonimo]

"thedarkhero":Ho $(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)=x^4+x^3+x^2+x+1$ quindi:
$\{(A+C=1),(AC+B+D=1),(AD+BC=1),(BD=1):}$
ma non riesco a risolvere il sistema...

E' conveniente cercare soluzioni con $B=D=1$ (non lo dico perche' conosco la soluzione, ma perche' farei cosi' in ogni situazione simile).

[thedarkhero]

ma per trovare le radici quinte dell'unita' diverse da 1 calcolo:
$cos(2pik/5)+isin(2pik/5)$ per k=1,2,3,4
ma come faccio a sapere quanto vale $cos(2pi/5)+isin(2pi/5)$?

[rubik2]

"thedarkhero":ma per trovare le radici quinte dell'unita' diverse da 1 calcolo:
$cos(2pik/5)+isin(2pik/5)$ per k=1,2,3,4
ma come faccio a sapere quanto vale $cos(2pi/5)+isin(2pi/5)$?

in effetti non è importante la scomposizione è sicuramente quella, hai quattro radici con i coefficienti espressi in termini di seni e coseni, quelle coniugate sono quelle con la stessa parte reale. Lasciando i coseni indicati ti verrà qualcosa di questo tipo

$x^2-2cos((2pi)/5)x+1$ e $x^2-2cos((4pi)/5)x+1$ per forza di cose questa è la scomposizione corretta.

Altrimenti puoi usare questa informazione per imporre che $B=D=1$ (come dice Martino del resto) perchè sai che sono il modulo di radici dell'unità e cercare di ricavarti A,C

[thedarkhero]

non ho capito l'ultima cosa...perchè B e D sono il modulo di radici dell'unità?

[rubik2]

"thedarkhero":non ho capito l'ultima cosa...perchè B e D sono il modulo di radici dell'unità?

le radici del polinomio $x^4+x^3+x^2+x+1$ sono radici dell'unità, quindi lo sono anche le radici di $x^2+Ax+B$ suo fattore, in questo polinomio $B$ è il prodotto di una radice per il suo coniugato, quindi il modulo è 1

[Studente Anonimo]

"thedarkhero":non ho capito l'ultima cosa...perchè B e D sono il modulo di radici dell'unità?

Ricorda che in generale il termine noto di un polinomio monico e' uguale, a meno del segno, al prodotto dei suoi zeri.

[thedarkhero]

Grazie a entrambi, tutto chiaro!